Nowe spojrzenie na kryterium Kelly'ego (część 2): wersja ułamkowa

Wady klasycznej wersji kryterium Kelly'ego

Niechęć do ponoszenia strat oraz kryterium Kelly'ego

Ewolucyjne uzasadnienie niechęci do ponoszenia strat

Uzupełnienie kryterium Kelly'ego o wersję ułamkową

Nowe spojrzenie na kryterium Kelly'ego (część 2): wersja ułamkowa

Kryterium Kelly'ego jest częstym tematem debaty wśród obstawiających. W Pinnacle opublikowaliśmy wiele artykułów poruszających to zagadnienie, w których nie tylko omówiliśmy działanie tej strategii, ale i poddaliśmy ją dokładnej analizie. Na czym polega ułamkowe kryterium Kelly'ego i czy jest to najlepsze rozwiązanie dla graczy zajmujących się zakładami na poważnie? Czytaj dalej, jeśli chcesz dowiedzieć się więcej.

W opublikowanym w zeszłym miesiącu artykule kryterium Kelly'ego zostało przedstawione jako środek zarządzania środkami pieniężnymi. W ramach przypomnienia, Kelly jest zwolennikiem obstawiania zakładów proporcjonalnie do prawdopodobieństwa wygranej, mając jednocześnie na względzie domniemaną przewagę nad kursami bukmacherów.

Choć wydaje się to zaskakujące, Kelly zdołał wyeliminować ryzyko związane z brakiem znajomości dokładnej przewagi, o ile przewaga istnieje w formie uśrednionej. Joe Peta miał jednak rację, kiedy w swojej analizie Kryterium Kelly'ego napisał, że: „niezależnie od obliczonego oczekiwanego zwrotu wariancja jest ogromna i... zbyt wysoka, aby inwestować”.

W dalszej części sprawdzimy, co można zrobić, aby zmniejszyć ryzyko wariancji oraz jaki będzie to miało wpływ na oczekiwaną zyskowność.

Wady klasycznej wersji kryterium Kelly'ego

Często mówi się, że dużym problemem kryterium Kelly'ego jest zmienności stanu posiadania. Ciąg osiąganych zysków bywa przerywany znacznymi stratami. Innymi słowy, przypływ pieniędzy jest niestabilny.

Jeśli przypomnimy sobie, w jaki sposób obliczana jest wysokość stawki Kelly'ego (przewaga – 1 / kurs – 1), zauważymy nagłe i duże spadki środków przy zakładach o niskim kursie, które powinny charakteryzować się dodatnią wartością oczekiwaną, a bywają przegrane.

Dobrym przykładem powyższych obserwacji jest mecz Ligue 1 rozegrany w tym miesiącu. Konkurent z branży bukmacherskiej wycenił zwycięstwo PSG nad Caen na 1,35, natomiast Pinnacle na 1,20. Po uwzględnieniu marży oczekiwana przewaga wyniosłaby 11,5% (przy założeniu, że kursy Pinnacle są najdokładniejsze), a stawka procentowa Kelly'ego 32,8%.

Mecz PSG z Caen zakończył się remisem, więc prawie jedna trzecia postawionych środków w przypadku strategii Kelly'ego zostałaby utracona w jednym zakładzie. Nie jest to oczywiście sytuacja, która byłaby do łatwego zaakceptowania przez graczy, nawet jeśli istnieją inne możliwości uzyskania wygranych o podobnej skali.

Trudniej pogodzić się ze stratami niż cieszyć się zyskami

Dla większości osób, nawet tych lubiących ryzyko, trudność pogodzenia się z dużą stratą jest o wiele większa, niż radość z wygranej w podobnej skali. W swojej książce Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym, Daniel Kahneman przytacza prosty eksperyment myślowy, który wyjaśnia, dlaczego tak się dzieje.

A) Otrzymujesz dodatkowe 1000 USD do swojego budżetu. Poproszono Cię o wybranie jednej z dwóch opcji:

1) 50% szans na wygranie 1000 USD

2) Gwarantowane 500 USD

B) Otrzymujesz dodatkowe 2000 USD do swojego budżetu. Poproszono Cię o wybranie jednej z dwóch opcji:

1) 50% szans na utratę 1000 USD

2) Gwarantowana strata 500 USD

W przypadku ogólnie rozumianych środków (bez analizowania ich relatywnej wartości) wyniki dla problemów A i B są identyczne. Jeśli wybierzesz wypłatę/stratę gwarantowaną w scenariuszach A i B, to w obu przypadkach wzbogacisz się o 1500 USD. Jeśli zdecydujesz się zaryzykować, otrzymasz 2000 USD lub 1000 USD, w zależności od szczęścia. Która opcja była Twoim wyborem?

Kiedy Kahneman i jego kolega Amos Tversky przeprowadzili ten krótki eksperyment, stwierdzili, że w obliczu zysku w problemie A większość respondentów wolała wybrać opcję mniej ryzykowną (oferującą wartość gwarantowaną), a w obliczu straty w problemie B zaryzykować (podjąć wyzwanie).

Równorzędne stwierdzenia tego samego problemu decyzyjnego powinny skutkować identycznymi wyborami. Ponieważ w tym przypadku tak nie było, respondenci najwyraźniej nie zachowywali się racjonalnie. Wyjaśnienie tkwi w tym, że problemy A i B zawierają różne punkty odniesienia.

W przykładzie A środki początkowe zostały zwiększone o 1000 USD, a w przykładzie B o 2000 USD. Kahneman stwierdza, że skoro tylko nieliczni z nas przywiązują dużą wagę do tych punktów odniesienia, nasze nastawienie do zysków i strat nie wynika z oceny stanu środków początkowych, ale raczej od tych, powodują zmianę. A jeśli chodzi o podejście do samych zysków i strat, można stwierdzić jedno: bardziej nie lubimy przegrywać, niż lubimy wygrywać.

Czy zaakceptujesz uczciwy zakład (wygrana równa postawionej stawce), który dałby Ci szansę zwiększenia powiększenia stanu posiadania o jedną trzecią w razie wygranej, ale zmniejszyłby go o jedną trzecią w razie przegranej? Jeśli nie, jak podejrzewam większość z nas, to wykazujesz niechęć do ponoszenia strat. Jakie prawdopodobieństwo wygranej zachęciłoby Cię do rozważenia zmiany zdania? 60%? 70%? 95%? Wyższe?

Ewolucyjne uzasadnienie niechęci do ponoszenia strat

Z ewolucyjnego punktu widzenia nie można się dziwić, że porażki motywują nas bardziej niż zwycięstwa. Jak wyjaśnił Kahneman, istoty żywe, które w większym stopniu koncentrują się na ocenie zagrożeń niż możliwości, mają większe szanse na przetrwanie i przedłużenie gatunku.

Ponieważ z punktu widzenia ewolucji jesteśmy zwycięzcami – w końcu nadal istniejemy – oznacza to, że awersja do porażki jest preferowaną cechą adaptatywną związaną z doborem naturalnym.

Dzięki ewolucji nasze połączenia neuronowe zostały precyzyjnie dostrojone do wykrywania względnych zmian w bodźcach, a nie wartości bezwzględnych. Możesz to potwierdzić samodzielnie przy użyciu trzech naczyń z wodą, jednym z gorącą, jednym z zimną i kolejnym z wodą o temperaturze pokojowej.

Przez około minutę trzymaj lewą dłoń w gorącej wodzie, a prawą w zimnej, następnie zanurz obie jednocześnie w naczyniu z letnią wodą. Pomimo że obie ręce doświadczają tej samej bezwzględnej temperatury, lewa dłoń będzie odczuwała chłód, a prawa ciepło – wynika to z przyjęcia dla nich różnych punktów odniesienia.

Uzupełnienie kryterium Kelly'ego o wersję ułamkową

Jeśli nasze cechy osobowe związane z niechęcią do ponoszenia strat powodują niechęć do zbyt wysokiej zmienności ryzyka związanego z klasycznym kryterium Kelly'ego, oczywistym rozwiązaniem jest zmniejszenie stawek Kelly'ego. Ale w jaki dokładnie sposób wpłynie to na oczekiwaną zyskowność tej strategii zarządzania pieniędzmi?

Liczne źródła sugerują, że dzięki zmniejszeniu stawek Kelly'ego o połowę gracz może znacznie ograniczyć zmienność stanu posiadania przy zachowaniu większości oczekiwanych zysków. Przeprowadźmy kilka symulacji, aby dowiedzieć się, czy to prawda.

Mamy serię 250 gier o wygranych równych stawce, w których przewaga gracza wynosi 4% (oczekiwana wartość procentowa wygranej to 52%) – poniższa tabela pokazuje przykład pierwszej symulacji.

Porównywane są cztery systemy obstawiania: klasyczny Kelly, połowa Kelly'ego, jedna czwarta Kelly'ego i jedna ósma Kelly'ego. Jeśli stawka klasycznego Kelly'ego wynosiła 8%, wówczas stawki dla połowy, jednej czwartej i jednej ósmej Kelly'ego będą wynosiły odpowiednio 4%, 2% i 1%. Co zrozumiałe, zmienność zasobów finansowych jest największa w przypadku klasycznego Kelly'ego i najmniejsza w przypadku jednej ósmej Kelly'ego.

kelly-p2-in-article1.jpg

Następna tabela pokazuje również, że kiedy nasze wyniki są lepsze niż oczekiwaliśmy, klasyczne kryterium Kelly'ego będzie radzić sobie znacznie lepiej, niż jego ułamkowe odpowiedniki.

kelly-p2-in-article2.jpg

Ale gdy nie mamy szczęścia, klasyczny Kelly wygeneruje dużo większe straty. Trzecia tabela zawiera serię 10 strat z rzędu, które zmniejszyły dostępne środki pieniężne o 30%. W przypadku jednej ósmej Kelly'ego straty osiągnęły zaledwie 3,75%. Jak już wyjaśniliśmy sobie wcześniej, duże straty są szczególnie trudne do przełknięcia dla większości graczy, mimo potencjalnie większych korzyści oferowanych przez klasyczne kryterium Kelly'ego.

kelly-p2-in-article3.jpg

Są to jednak tylko trzy możliwe scenariusze dla gracza obstawiającego z 4% przewagą zakłady, w których wygrana jest równa stawce. Konieczne jest przeprowadzenie kolejnej symulacji Monte Carlo, aby określić, jakie mogą być średnie oczekiwane rezultaty.

Ta symulacja Monte Carlo przeprowadzona dla 10 000 gier ma na celu porównać cztery ułamkowe systemy Kelly'ego pod względem prawdopodobieństwa zmniejszenia stanu posiadania. Należy zaznaczyć, że około 14% przypadków zakończyło się spadkiem stanu posiadania do kwoty poniżej 60% budżetu początkowego, potwierdzając pierwotną krytykę strategii przez Joe Petę.

W nowej symulacji wynik ten został powtórzony z uwzględnieniem szans na wygraną. Kompletny zestaw prawdopodobieństw pokazano w poniższej tabeli.

Prawdopodobieństwa w ułamkowych systemach Kelly'ego

Pula zamknięcia

Klasyczny Kelly (4%)

Połowa Kelly'ego

Jedna czwarta Kelly'ego

Jedna ósma Kelly'ego

< 100%

38%

34%

29%

29%

< 80%

25%

12

2%

0%

< 60%

15%

2%

0%

0%

< 40%

5%

0%

0%

0%

< 20%

0%

0%

0%

0%

Chociaż obniżenie stawek Kelly'ego nie ma istotnego wpływu na prawdopodobieństwo braku zysku w przypadku 250 zakładów w formacie wygrana równa stawce, to chroni przed wysoce odczuwalnymi stratami o wartości 20% lub więcej.

Obniżenie stawek Kelly'ego o połowę zmniejsza o połowę prawdopodobieństwo utraty 20% środków pieniężnych. Ponowne obniżenie stawek o połowę zmniejsza je prawie do zera. W przypadku strat na poziomie 40% redukcja ryzyka jest jeszcze bardziej znacząca. Ale jakim kosztem dla oczekiwanej zyskowności?

Następna tabela prezentuje średnią i medianę dla budżetów po 250 zakładach dla każdej z czterech strategii.

Saldo po 250 zakładach

Pula zamknięcia

Klasyczny Kelly (4%)

Połowa Kelly'ego

Jedna czwarta Kelly'ego

Jedna ósma Kelly'ego

Średnia

147

121

110

105

Mediana

122

116

109

105

Chociaż średni oczekiwany zysk dla połowy Kelly'ego jest znacznie niższy niż w przypadku klasycznego Kelly'ego, mediana oczekiwań jest zmniejszona tylko o jedną czwartą. Należy pamiętać, że skoro proporcjonalne systemy obstawiania zniekształcają oczekiwaną średnią rentowność z powodu kilku bardzo dużych pul zamknięcia, mediana stanowi prawdopodobnie lepszą miarę oczekiwań. Na przykład mediana w wysokości 116 oznacza, że około 50% kont skończyło z zyskiem równym 116 jednostkom lub poniżej tej liczby, a około 50% z zyskiem przekraczającym 116 jednostek. Wydaje się więc, że obniżenie ryzyka poprzez zmniejszenie o połowę (lub więcej) stawek Kelly'ego jest ceną, którą warto zapłacić.

Ostatnia tabela pokazuje wyniki dla drugiej symulacji Monte Carlo, w której gracz ma przewagę 8% (prawdopodobieństwo wygranej wynosi 54%). Wnioski są zasadniczo podobne: ryzyko niepowodzenia można znacznie zmniejszyć, rezygnując jedynie z niewielkiej części oczekiwanej (mediany) zyskowności.

Ułamkowy Kelly

Pula zamknięcia

Klasyczny Kelly (4%)

Połowa Kelly'ego

Jedna czwarta Kelly'ego

Jedna ósma Kelly'ego

< 100%

28%

16%

13%

11%

< 80%

20%

9%

3%

0%

< 60%

13%

4%

0%

0%

< 40%

9%

1%

0%

0%

< 20%

2%

0%

0%

0%

Średnia

500

224

150

122

Mediana

223

182

142

121

Czy ułamkowa wersja kryterium Kelly'ego jest najlepszą metodą obstawiania?

Ułamkowe kryterium Kelly'ego wydaje się rozwiązywać problem związany ze zmiennością ryzyka, jaki towarzyszy klasycznej wersji Kelly'ego. Nie rezygnuje się przy tym zbytnio z przewagi, jaką oferuje strategia Kelly'ego nad metodą stałych stawek. Dla osób, które zniechęcają duże straty może to okazać się dobrą informacją.

Oczywiście, jak zawsze, o wiele trudniej jest zyskać pewność o swojej przewadze nad opublikowanymi kursami. Przypuszczenia i faktyczna wiedza nie są tym samym. Nie pozwól, aby zbytnia pewność siebie była błędnym doradcą w tej kwestii.

Przydatne informacje o zakładach — pomoc dla obstawiających

Dział przydatnych informacji o zakładach to jeden z najobszerniejszych zbiorów materiałów z poradami ekspertów, jaki został udostępniony online. Materiały przeznaczone są dla osób o wszystkich poziomach doświadczenia. Przede wszystkim staramy się pomóc osobom obstawiającym w podejmowaniu świadomych decyzji.