close
apr 30, 2018
apr 30, 2018

En ny titt på Kelly-kriteriet: en risikovurdering

Hva er Kelly-kriteriet?

Hvor sikkert er Kelly-kriteriet?

Derfor er det viktig å forstå fordelen din

En ny titt på Kelly-kriteriet: en risikovurdering

Det er viktig å bruke en innsatsmetode (også kalt pengestrategi) hvis man skal tjene penger på tipping på lang sikt. Kelly-kriteriet regnes av mange for å være den beste metoden, av flere grunner, men hvordan bruker man den i praksis? Hvor sikkert er Kelly-kriteriet? Les videre for å finne det ut.

Mye har blitt sagt om Kelly-kriteriet, som av mange regnes for å være den beste pengestrategien for tippespillere som ønsker å maksimere fortjenesten sin. Pinnacles Tipperessurser har publisert flere artikler om hvordan Kelly-kriteriet er, hvordan det fungerer og hvilke fordeler og ulemper det gir. I denne artikkelen gir jeg en enkel risikovurdering av innsatsmetoden.

Hva er Kelly-kriteriet?

Pinnacle-forfatteren Dominic Cortis, som også er matematiker ved universitetet i Malta, beskriver Kelly-kriteriet som en metode for å beregne hvor stor andel av spillemidlene dine du skal satse på et resultat med høyere odds enn forventet, slik at midlene dine vokser eksponensielt.

Kelly-kriteriet ble utviklet av John Kelly mens han jobbet ved AT&Ts Bell Labs i 1956 og gir en økonomisk begrunnet og matematisk presis måte å beregne optimale innsatsstørrelser på, slik at man kan maksimere vekstraten for spillemidlene basert på den forventede avkastningen og risikoen. Dette gjøres med følgende enkle løsning:

Kelly-innsatsprosent = Fordel – 1 / Odds – 1

Fordelen er fordelen du har (eller tror du har) over bookmakerens tippeodds. Hvis du for eksempel mener at den rettferdige oddsen for et resultat er 2,00 (50 % sjanse for suksess), men bookmakeren gir deg 2,10, kan du beregne at fordelen din er 2,10/2,00 = 1,05.

En "fordel" er bare en annen måte å beskrive forventet verdi. Oddsene i ligningen over må oppgis på desimalform. I dette eksempelet blir altså innsatsen din basert på Kelly-kriteriet 0,05 eller 5 %.

Kelly er et eksempel på en proporsjonal innsatsmetode, der innsatsene er proporsjonale med saldoen til spillemidlene dine. Derfor vokser og minsker innsatsbeløpene i takt med saldoen din, til forskjell fra nivåbaserte innsatsmetoder, der innsatsbeløpene er fastsatt på forhånd.

Det unike med Kelly er at man også tar med størrelsen på den antatte fordelen og lengden på tippeoddsene. Jo større fordel og/eller kortere odds du spiller med, desto større innsats bruker du.

Det finnes noen kjente problemer med å bruke prosentbaserte Kelly-innsatser når man tipper på flere enn én kamp eller ett resultat om gangen – Pinnacle har skrevet en artikkel om disse. I denne artikkelen velger jeg å kun se på den forenklede formen av Kelly, brukt på ett spill om gangen.

Hvor sikkert er Kelly-kriteriet?

Siden Kelly er en proporsjonal innsatsmetode, er det ganske innlysende at man teknisk sett ikke kan gå tom for penger med denne metoden. Jo mer du taper, desto mindre blir neste innsats. Teoretisk sett når innsatsen derfor aldri null. 

Til forskjell fra kasinospill, som er basert på kjente, matematiske algoritmer, er det i praksis umulig å fullt ut vite de reelle sannsynlighetene i et komplekst system som fotball.

I virkeligheten vil man derimot nå en grense der tapene blir større enn man har råd til. Derfor er det kanskje bedre å se på variansen i saldoen og hvorvidt du tåler større svingninger, basert på risikopreferansene dine.

Joe Peta, aksjemegler og gjesteforfatter for Pinnacle, har tidligere hevdet at problemet med å bruke Kelly-kriteriet er at uansett hva du beregner at den forventede avkastningen er, blir variansen latterlig høy, til slutt så høy at det ikke er en god investering. Han ber oss tenke på en teoretisk tippespiller som vinner 52 % av spillene sine til oddsen 2,00. Kelly antyder en innsats på 4 % av de totale spillemidlene. 

Hvis vi tenker oss en serie på 250 spill, hevder Peta at det er mer enn 10 % sjanse for at saldoen din har sunket med minst 40 % etter serien. Har han rett? 

Det kan nesten se slik ut. Hvis vi bruker disse parametrene i en Monte Carlo-simulering, ser vi at 14 % sluttsaldoene endte opp med å synke til under 60 % av det opprinnelige beløpet. Til sammenligning ser vi at det tilsvarende resultatet bare var 9 % for en strategi med en fast innsats på 4 på alle de 250 spillene (og 100 i spillemidler til å begynne med).

Tabellen under viser en sammenligning av Kelly-innsatser og faste innsatser. Som jeg har hevdet i en tidligere artikkel: Til tross for at proporsjonale innsatser er bedre egnet til å optimere fortjenesten (i denne simuleringen var sluttsaldoen for Kelly-innsatser og faste innsatser henholdsvis 149 og 140 enheter), tar det med denne metoden lenger tid å innhente seg etter tapsserier.

Den større andelen sluttsaldoer med tap, er bare en konsekvens av den større variansen man får med proporsjonale innsatser. Nesten fire av ti av disse simuleringene endte med tap når man brukte Kelly-innsatser, sammenlignet med bare én av fire for faste innsatser.

Sammenligning av Kelly-kriteriet

Sluttsaldo

Kelly-innsatser (4 %)

Faste innsatser (4 enheter)

<100 %

38 %

24 %

<80 %

24 %

17 %

<60 %

14 %

9 %

<40 %

4 %

6 %

<20 %

0 %

2 %

Hvordan endres risikoen hvis fordelen vår øker? Jeg kjørte simuleringen på nytt med 54 % vinnersjanse for 50/50-spill, og 8 % Kelly-innsats. Svært få tippespillere klarer å oppnå så gode resultater på lang sikt.

Det sier seg selv at hvis man tror man kommer til å vinne 52 % av 50/50-spill, men ender opp med bare å vinne 49 % av dem, taper man penger i det lange løp.

Forståelig nok er den forventede fortjenesten nå betydelig bedre for Kelly enn for faste innsatser, siden det er en dobbelt så stor fordel eller forventet verdi for hvert enkelt spill (gjennomsnittlig sluttsaldo på henholdsvis 494 og 250). Dessverre kommer dette fremdeles på bekostning av betydelig større varians i resultatene.

Den gjennomsnittlige sluttsaldoen er høyere fordi den påvirkes av et lite antall svært høye beløp. Det er også mange flere middelmådige og tapende sluttsaldoer enn det er for strategien med faste innsatser – medianen for sluttsaldoen er faktisk bare 223. Med Kelly-strategien er det fremdeles 14 % sjanse for å tape 40 % av spillemidlene etter 250 stykk 50/50-spill med 8 % fordel. Joe Peta ville utvilsomt hevdet at ingen investor med selvrespekt ville godtatt en sånn risiko med 8 % avkastning på investeringen.

Sammenligning av Kelly-kriteriet

Sluttsaldo

Kelly-innsatser (8 %)

Faste innsatser (8 enheter)

<100 %

29 %

9 %

<80 %

21 %

7 %

<60 %

14 %

6 %

<40 %

9 %

4 %

<20 %

3 %

3 %

Vet vi egentlig hva fordelen vår er?

Disse simuleringene er basert på at vi vet nøyaktig hva vinnersjansen er, slik at vi også vet nøyaktig hvilken fordel vi har over bookmakerens odds. Som Joe Peta minner oss på er det likevel forskjell på modellering av sportsresultater og kort-telling i blackjack.

Til forskjell fra kasinospill, som er basert på kjente, matematiske algoritmer, er det i praksis umulig å fullt ut vite de reelle sannsynlighetene i et komplekst system som fotball. I Twitter-feeden min diskuterte jeg nylig implikasjonene av at man ikke kan vite nøyaktig hvor stor fordel man har over bookmakerens odds. Jeg bestemte meg for å finne ut hva resultatet ville blitt.

Det er kun viktig å vite nøyaktig hva snittet er når man skal bruke Kelly til å fastsette innsatsbeløp og styre risikoen.

Det sier seg selv at hvis man tror man kommer til å vinne 52 % av 50/50-spill, men ender opp med bare å vinne 49 % av dem, taper man penger i det lange løp, uansett hvilken innsatsmetode man bruker. Her er det interessant hvorvidt variansen og risikoen forbundet med Kelly, øker fordi man ikke kan vite nøyaktig hvor stor fordelen er for spillene.

En lang tippehistorikk kan gi et hint om hva den gjennomsnittlige fordelen er. Hvis du satser 1 euro 1 000 ganger og vinner 1 050 euro, er det rimelig å anta at du har en 5 % fordel i snitt. En annen måte å beregne fordelen på er å sammenligne oddsene man spiller til, med sluttoddsene fra markedet.

Hvis du spiller til 2,10 og sluttoddsen til Pinnacle er 2,00, antyder min dataanalyse at du hadde hatt en fordel på 5 % (uten å ta med marginen i beregningen). Men denne analysen er basert på et stort antall fotballkamper. Selv om det er mulig at det finnes en gjennomsnittlig fordel, kan vi ikke anta at denne er den samme for alle spill. Siden det er så mye usikkerhet og tilfeldigheter involvert i resultatet av sportsarrangementer, er det rimelig å anta at den ikke er det.

Jeg gjorde en annen Monte Carlo-simulering med 250 stykk 50/50-spill i utvalget. Denne gangen brukte jeg ikke 52 % som fast vinnersjanse for hvert spill, jeg varierte isteden vinnersjansen basert på en normalfordeling av vinnersjanser. Snittet var 52 %, men de enkelte verdiene varierte. Noen var høyere og andre var lavere.

Jeg brukte 5 % som standardavvik, altså var to tredjedeler av verdiene mellom 47 % og 57 % og 95 % av verdiene mellom 42 % og 62 %. En tredjedel av dem lå faktisk under 50 % og hadde derfor negativ forventet verdi. 

Resultatene var meget overraskende. Til tross for at en tredjedel av spillene hadde negativ forventet verdi, var det så godt som ingen endringer i de tilknyttede risikoene for Kelly-strategien. Dette antyder at så lenge du har en god oversikt over det totale gjennomsnittet, er det ikke så viktig å vite det på enkeltspillbasis. 

Sammenligning av Kelly-kriteriet

Sluttsaldo

Kelly 1(4 %)

Kelly 2(4 %)

<100 %

38 %

37 %

<80 %

24 %

24 %

<60 %

14 %

14 %

<40 %

4 %

4 %

<20 %

0 %

0 %

Kelly 1 – Fordelen er kjent for hvert enkeltspill. Kelly 2 – Gjennomsnittlig fordel er kjent, men spesifikk fordel for enkeltspill er ukjent. 

For å undersøke hvor god denne teorien er, kjørte jeg enda en simulering, der jeg dramatisk økte antallet spill med negativ forventet verdi.

230 (eller 92 %) av de 250 spillene ble tildelt en vinnersjanse på 49 %, tilsvarende Pinnacles tippemargin for populære to- eller tredagers tippemarkeder. De siste 20 spillene ble tildelt en vinnersjanse på 86,5 % for å sikre at snittet for de 250 spillene fremdeles lå på 52 %. Resultatene var helt like.

I virkeligheten er det selvsagt veldig usannsynlig at en tippespilller som ikke har verdi i 92 % av spillene sine, plutselig skal finne en enorm forventet fortjeneste i de siste 8 %, men resultatene bekrefter likevel poenget fra tidligere: det er kun nødvendig å kjenne den gjennomsnittlige fordelen nøyaktig når man skal bruke Kelly til å fastslå hvor mye man skal satse og styre risikoene.

For de fleste tippespillere er det mye vanskeligere å finne en fordel i det hele tatt. Det er alt for lett å la seg lure av flaksen og illusoriske årsakssammenhenger som lokker tippespilleren til å tro at de er bedre enn de er. Hvis du vinner bare 49 % av 50/50-spillene dine, så mislykkes en 4 % Kelly-strategi overraskende ofte (3/4 sjanse for tap etter 250 stykk 50/50-spill. Til sammenligning er det 3/5 for faste innsatser).

Tipperessurser – Bli en bedre spiller

Pinnacles Tipperessurser er en av nettets mest omfattende samlinger av ekspertråd for tipping. Passer for alle erfaringsnivåer, og formålet er ganske enkelt å gi kundene våre støtten de trenger for å bli bedre spillere.