close
jun 7, 2018
jun 7, 2018

En ny titt på Kelly-kriteriet, del 2: Brøkdels-Kelly

Problemet med hel Kelly

Kelly-kriteriet og tapsaversjon

En evolusjonsbasert forklaring på tapsaversjon

Tilpasse Kelly-kriteriet med brøkdeler

En ny titt på Kelly-kriteriet, del 2: Brøkdels-Kelly

Kelly-kriteriet er ofte et omstridt emne blant tippespillere. Pinnacle har publisert en rekke artikler om emnet, alt fra enkle forklaringer til komplekse analyser. Hvordan fungerer Kelly-kriteriet med brøkdeler, og er dette det beste alternativet for seriøse tippespillere? Les videre for å finne det ut.

I en artikkel jeg skrev i forrige måned, tok jeg en ny titt på Kelly-kriteriet som pengestrategi. For å oppsummere: Kelly-tilhengere mener innsatser skal tilpasses sannsynligheten for å vinne og den antatte fordelen du har over oddsene til bookmakeren.

Overraskende nok oppdaget jeg at Kelly kunne takle risikoen ved å ikke vite nøyaktig hva fordelen din er, så lenge gjennomsnittet er nøyaktig. Det var likevel tydelig at Joe Peta hadde et poeng da han skrev «uansett hva du beregner at du får i forventet avkastning, blir variansen latterlig – og ikke minst ulønnsomt – høy» i sin analyse av Kelly-kriteriet.

I denne oppfølgingsartikkelen ser jeg på hva vi kan gjøre for å redusere risikoen fra denne variansen og hvilken effekt dette vil ha på forventet lønnsomhet.

Problemet med hel Kelly

Det hevdes ofte at ett av de store problemene med Kelly er at saldoen vil vokse uregelmessig og at fortjenesten vil påvirkes av til tider betydelige tap. Med andre ord er saldoveksten volatil.

Hvis vi tenker på hvordan innsatsbeløpene beregnes med Kelly (fordel - 1 / odds - 1), ser vi at det kan oppstå store tap når man taper et spill med korte odds, som man tror har betydelig positiv forventet verdi.

En Ligue 1-kamp fra denne måneden gir oss et eksempel på dette. En rivaliserende bookmaker tilbød oddsen 1,35 for at PSG skulle slå Caen, mens Pinnacles odds var 1,20. Når man trekker fra marginen, antyder dette en forventet fordel på 11,5 % (hvis vi antar at Pinnacles marked er best informert) og at Kelly-innsatsen skal være 32,8 %.

PSGs kamp mot Caen endte uavgjort, så man ville tapt nesten en tredjedel av en Kelly-saldo på ett enkelt spill. Dette er forståelig nok over grensen for hva de fleste tippespillere kan tolerere, selv om det finnes andre muligheter til å øke saldoen tilsvarende mye.

Man hater å tape mer enn man liker å vinne

For de fleste mennesker, selv de som elsker risiko, vil et så saftig tap gi betydelig mer ubehag enn den mengden glede man hadde følt over en tilsvarende gevinst. I boken Thinking, Fast and Slow forklarer Daniel Kahneman hvordan, ved hjelp av et enkelt tankeeksperiment.

A) Du mottar $ 1000 i tillegg til den formuen du allerede har. Du skal velge mellom to ting:

1) 50 % sjanse for å vinne $ 1000

2) Garantert vinne $ 500

B) Du mottar $ 2000 i tillegg til den formuen du allerede har. Du skal velge mellom to ting:

1) 50 % sjanse for å tape $ 1000

2) Garantert tape $ 500

Når det gjelder sammenlagt formue, er resultatene for scenario A og B identiske. Hvis du velger det sikre alternativet, ender du opp med $ 1500 i begge scenarioene (i tillegg til den eksisterende formuen din. Hvis du velger å gamble, ender du opp med enten $ 2000 eller $ 1000, avhengig av resultatet. Hva velger du?

Da Kahneman og hans kollega Amos Tversky prøvde ut dette tankeeksperimentet, oppdaget de at de fleste respondentene foretrakk å unngå risiko (og velge det sikre alternativet) når de ble spurt om økningen i alternativ A, mens de var risikosøkende (og valgte å gamble) når de ble spurt om tapet i alternativ B.

Likeverdige versjoner av det samme beslutningsproblemet bør gi identiske valg. Siden det ikke gjør det i dette tilfellet, betyr det at respondentene ikke valgte rasjonelt. Forklaringen er at spørsmål A og B har forskjellige start- eller referansepunkter.

I A var det eksisterende formue + $ 1000, i B var det eksisterende formue + $ 2000. Kahneman foreslår at siden få av oss faktisk tenker så nøye over disse referansepunktene, baserer vi ikke våre holdninger til tap og gevinst på evalueringer av absolutt formue, men på relative vurderinger. Når det gjelder nytteverdien av gevinster og tap, så misliker vi å tape mer enn vi liker å vinne.

Hadde du godtatt et rettferdig 50/50-spill der du kunne økt formuen med 1/3 hvis du vant, men redusert den med 1/3 hvis du tapte? Hvis du hadde sagt nei takk til det, noe som jeg mistenker at de fleste av oss hadde gjort, viser du tegn på tapsaversjon. Hvor høy vinnersjanse hadde du trengt for å ombestemme deg? 60 %? 70 %? 95 %? Høyere?

En evolusjonsbasert forklaring på tapsaversjon

Fra et evolusjonært perspektiv er det ikke så overraskende at vi har sterkere meninger om tap enn om gevinster. Som Kahneman har forklart, så har levende vesener som tolker trusler som mer akutte enn muligheter, bedre sjanse til å overleve og reprodusere seg.

Siden vi faktisk er vinnerne i en lang evolusjonær rekke (vi er tross alt her), antyder det at tapsaversjon er en fordelaktig tilpasning i henhold til prosessen med naturlig utvalg.

Evolusjonen har gjort nervekretsene våre til fintilpassede verktøy som er bedre til å registrere relative endringer enn absolutte verdier. Du kan bekrefte dette med tre beholdere fulle av vann: en med varmt vann, en med kaldt vann og en med lunkent vann.

Legg venstre hånd i beholderen med varmtvann og høyre hånd i beholderen med kaldt vann. La dem ligge der i ett minutt før du så samtidig legger begge hendene i beholderen med lunkent vann. Til tross for at begge hendene opplever den samme temperaturen, vil den venstre hånden oppleve det som kaldere og den høyre hånden oppleve det som varmere, kun fordi de to hendene har forskjellige referansepunkter.

Tilpasse Kelly-kriteriet med brøkdeler

Hvis vår predisposisjon for tapsaversjon får oss til å oppfatte de volatile risikoene ved heltallbaserte Kelly-innsatser som alt for høye, er den åpenlyse løsningen at vi reduserer størrelsen på Kelly-innsatsene. Men hvordan påvirker egentlig dette den forventede lønnsomheten til denne pengestrategien?

Det finnes mange kilder som antyder at hvis tippespilleren halverer størrelsen på Kelly-innsatsene, kan de redusere volatiliteten i saldoveksten betydelig, men likevel beholde mesteparten av den forventede fortjenesten. Vi skal gjøre noen simuleringer for å finne ut om dette er riktig.

Det første diagrammet under viser et eksempel på én simulering, basert på den samme serien med 250 repetisjoner av 50/50-spill der spilleren har en 4 % fordel (forventet seiersrate er 52 %).

Vi sammenligner fire innsatsplaner: hel Kelly, halv Kelly, kvart Kelly og åttendedels Kelly. Hvis en hel Kelly-innsats var 8 %, ville halv, kvart og åttendedels Kelly-innsats vært henholdsvis 4 %, 2 % og 1 %. Det er ikke overraskende at volatiliteten eller variansen for saldoens utvikling er størst for hel Kelly og minst for åttendedels Kelly.

kelly-p2-in-article1.jpg

Det neste diagrammet viser at når vi vinner mer enn forventet, gir hel Kelly mye bedre resultater, relativt sett, enn de brøkbaserte motstykkene.

kelly-p2-in-article2.jpg

Hvis vi er uheldige og taper mer enn forventet, går det betydelig dårligere med hel Kelly. Det tredje diagrammet viser en serie på 10 tap på rad, som reduserte saldoen med 30 %. For innsatser med åttendedels Kelly, ble det bare 3,75 %. Som vi allerede har påpekt vil de fleste tippespillere ha sterk aversjon mot å tape så mye som dette, til tross for at hel Kelly også vil gir større gevinster.

kelly-p2-in-article3.jpg

Dette er likevel bare tre mulige historier for en tippespiller som spiller 50/50-spill og har 4 % fordel. Vi må kjøre en Monte Carlo simulering til for å finne ut hva vi kan forvente i gjennomsnitt.

Jeg kjørte en Monte Carlo-simulering med 10 000 spill for å sammenligne de samme fire Kelly-metodene og finne sannsynligheten for å ende opp med mindre enn man startet med. Husk at vi fant ut at omtrent 14 % av historiene endte med mindre enn 60 % av startsaldoen, noe som bekrefter Joe Petas opprinnelige kritikk av metoden.

I den nye simuleringen gjenskapte vi resultatet basert på tilfeldighet. Hele utvalget sannsynligheter vises i tabellen nedenfor.

Kelly-sannsynligheter som brøkdeler

Sluttsaldo

Hel Kelly (4 %)

Halv Kelly

Kvart Kelly

Åttendedels Kelly

<100 %

38 %

34 %

29 %

29 %

<80 %

25 %

12 %

2 %

0 %

<60 %

15 %

2 %

0 %

0 %

<40 %

5 %

0 %

0 %

0 %

<20 %

0 %

0 %

0 %

0 %

Selv om en redusering av Kelly-innsatsstørrelsene ikke har noen betydelig effekt på sannsynligheten for å ende opp med fortjeneste etter 250 spill med 50/50-sjanse, gir det god beskyttelse mot større tap på 20 % eller høyere.

Ved å halvere størrelsen på Kelly-innsatsene, halveres også sannsynligheten for å tape 20 % av saldoen. Hvis vi halverer den en gang til, reduseres sannsynligheten til nesten null. For tap på 40 % er risikoreduksjonen enda mer betydelig. Men hvordan påvirker dette den forventede lønnsomheten?

Den neste tabellen viser gjennomsnitt og median for saldoen etter 250 spill med hver av de fire strategiene.

Saldoer etter 250 spill

Sluttsaldo

Hel Kelly (4 %)

Halv Kelly

Kvart Kelly

Åttendedels Kelly

Gjennomsnitt

147

121

110

105

Median

122

116

109

105

Selv om gjennomsnittlig forventet fortjeneste er betydelig lavere for halv Kelly enn for hel Kelly, blir medianforventningen bare redusert med omtrent en fjerdedel. Husk at siden proporsjonale innsatsmetoder forskyver den forventede gjennomsnittslønnsomheten på grunn av noen få svært store sluttsaldoer, kan det hevdes at medianen gir et bedre mål på hva man kan forvente i virkeligheten. For eksempel antyder en median på 116 at omtrent 50 % av sluttsaldoene vil bli mindre enn eller lik 116 og omtrent 50 % vil bli mer enn 116. Det kan se ut som at det er en god ide å redusere risikoen ved å redusere Kelly-innsatsene med 50 % (eller mer).

Den siste tabellen viser resultatene fra enda en Monte Carlo-simulering, der tippespilleren har en fordel på 8 % (54 % sannsynlighet for å vinne). Konklusjonene blir stort sett de samme: man kan betydelig redusere risikoen for å mislykkes ved å gi opp bare en liten andel av den forventede (median) lønnsomheten.

Brøkbasert Kelly

Sluttsaldo

Hel Kelly (4 %)

Halv Kelly

Kvart Kelly

Åttendedels Kelly

<100 %

28 %

16 %

13 %

11 %

<80 %

20 %

9 %

3 %

0 %

<60 %

13 %

4 %

0 %

0 %

<40 %

9 %

1 %

0 %

0 %

<20 %

2 %

0 %

0 %

0 %

Gjennomsnitt

500

224

150

122

Median

223

182

142

121

Er det best å bruke en brøkversjon av Kelly-kriteriet som innsatsmetode?

Det ser ut som at brøkbasert Kelly gir tippespilleren en løsning for de volatile risikoene som følger med hvis man bruker hel Kelly, uten at de må ofre alt for mye av fordelene som Kelly gir i forhold til faste innsatser. For de som hater store tap, er dette forhåpentligvis gode nyheter.

Det største problemet er selvsagt som alltid det samme: å være sikker på at man faktisk har en fordel over oddsene som tilbys. Å tro er ikke det samme som å vite. Ikke la deg lokke til å ha overdreven selvtillit i så måte.

Tipperessurser – Bli en bedre spiller

Pinnacles Tipperessurser er en av nettets mest omfattende samlinger av ekspertråd for tipping. Passer for alle erfaringsnivåer, og formålet er ganske enkelt å gi kundene våre støtten de trenger for å bli bedre spillere.