11 1, 2018
11 1, 2018

행운과 불운: 예측의 미세한 차이

고전적인 동전 던지기의 예

이항식 표준 편차

대수의 법칙은 여러분의 편입니까, 아니면 그렇지 않습니까?

행운과 불운: 예측의 미세한 차이

베팅은 종종 운의 영향을 받습니다. 행운의 덕을 볼 때도 있으며, 불운의 희생양이 될 때도 있습니다. 베팅에서 운이 좌우하는 부분을 이해하는 것은 중요합니다. 그러나 행운과 불운 사이의 차이는 얼마나 미세할까요? 다음 글을 읽으며 알아보세요.

스포츠 베팅은 거의 확률에 의해 좌우됩니다. 베팅에서 이기는 사람들은 전적으로 행운에 의해 이기는 것이며 이들은 결국 북메이커의 마진대수의 법칙에 의해 돈을 잃게 되어 있습니다. 몇 년 동안 제 기사를 자주 접하신 분이라면 제가 장기적으로 베터들이 실제적인 수익을 올릴 가능성에 대해서는 상당히 단호하게 이야기한다는 것을 아실 것입니다. 이 이야기는 베팅이란 베터가 희망과 현실 사이에서 직면하는 전장으로 묘사하므로 여러분께서 반드시 제 이야기에 동의할 것으로 예상하지 않습니다.

이 이야기를 반박하기 위해 피나클 베팅 정보에 있는 많은 기사는 베터의 예측 실력을 높이도록 교육하기 위해 고안됩니다. 그런데도 장기적으로 수익을 내는 예측을 한 몇 안 되는 베터에게도 여전히 확률의 법칙이 적용됩니다. 이 기사에서는 어떻게 그렇게 되는지 자세히 살펴볼 것입니다. 특히 행운과 불운 사이의 차이가 얼마나 미세한지에 대해 설명할 것입니다.

고전적인 동전 던지기의 예

우리는 모두 동전 던지기가 앞면 또는 뒷면이 나오는 50-50 프로포지션이라는 사실을 알고 있습니다. 그리고 동전을 20번 던진다면 항상 앞면 10번과 뒷면 10번이 나오지 않는다는 것도 알고 있습니다. 비록 이것이 가장 가능성이 높은 결과이긴 하지만 말입니다. 때로는 앞면이 12번, 뒷면이 8번 나오기도 하고, 때로는 그 반대의 결과가 나오기도 합니다. 아주 드물게 앞면 5번, 뒷면 15번이 나올 수도 있습니다. 이항식 분포를 사용해서 가능한 각각의 결과가 발생할 확률을 정확히 예상할 수 있습니다. 20번 동전을 던지면 이런 모습일 것입니다.

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가장 발생할 가능성이 높은 결과는 앞면 5번, 뒷면 15번이 나오는 경우부터 앞면 15번, 뒷면 5번이 나오는 경우 사이입니다. 동전을 100번 던진다면 어떻겠습니까? 분포는 이런 모습일 것입니다.

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이번에는 발생할 가능성이 높은 결과의 범위가 더 커졌습니다. 볼 수 있듯, 동전을 20번 던지면 앞면이 나오는 횟수는 5부터 15까지이며 그 차이는 10입니다. 동전을 100번 던지면 그 범위는 거의 두 배로 커져서 앞면이 나오는 횟수는 40번부터 60번까지입니다. 이것이 동전 던지기의 표본 크기가 커지면 가능한 결과의 범위도 커진다는 것을 의미합니까? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

수학자 Jacob Bernoulli는 이런 시나리오로 실험을 했으며 표본 크기가 커짐에 따라 앞면과 뒷면이 나오는 횟수 사이의 절대적 숫자 차이가 벌어지는 반면 앞면이 나오는 확률은 50%에 가까워진다는 결과를 관찰했습니다. 20번 중에서 5번 앞면이 나오는 것은 25%에 해당하지만, 100번 중에서 40번 앞면이 나오는 것은 40%에 해당합니다. 대수의 법칙 기초를 형성한 이 두 번째 설명은 베터가 확률을 이해하기 위한 중요한 부분입니다. 

이항식 표준 편차

표준 편차를 활용하여 분포에서 보이는 범위 또는 분산을 측정할 수 있습니다. 이항식 분포의 경우, 아래의 간단한 방정식에 의해 표준 편차(σ)가 주어집니다.

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n은 반복되는 이진법 숫자(예: 동전 던지기)이고, p는 성공 확률(앞면), q는 실패 확률(뒷면)입니다. p + q = 1이므로 다음과 같습니다: 

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p = q(즉 0.5)인 간단한 경우에는 다음과 같습니다: 

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동전을 20번 던지는 경우, σ = 2.24인 반면 동전을 100번 던지는 경우에는 σ = 5입니다.

표준 편차는 가장 발생할 가능성이 높은 결과의 범위를 말해줍니다. 예를 들어, 동전을 100번 던지는 경우, 표본 중 2/3가 약간 넘는 수가 ±1σ 사이, 또는 앞면이 45~55번 나오는 범위에 속할 것입니다.

우리는 Bernoulli의 첫 번째 발견 '표본이 커지면 절대 분포도 커진다'는 것을 확인했습니다. 그러나 절대 수 대신 앞면이 나올 확률을 사용하면 어떻게 될까요? 앞면이 나올 확률을 계산하기 위해 그 수를 동전을 던진 총횟수 n으로 나눕니다. 마찬가지로 확률의 표준 편차를 계산하기 위해 또 n으로 나눠야 합니다. 

따라서 단순한 50:50 프로포지션의 경우 다음과 같습니다: 

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이제 동전을 20번 던지는 경우, 앞면이 나올 확률의 표준 편차는 0.11(11%)이지만, 100번의 경우에는 단 0.05(5%)입니다.

대수의 법칙

대수의 법칙에 따르면 많은 시험에서 얻은 결과의 평균은 시험 횟수가 많아질수록 기댓값에 가까워집니다. 동전 던지기의 경우, 더 많이 던질수록 앞면이 나오는 확률은 기댓값인 50%에 가까워집니다.

확률에서의 표준 편차는 동전을 던진 횟수의 제곱근에 비례하므로 두 개의 변수가 거듭제곱적 관계라고 부르는 것을 형성하고, 표준 편차는 동전 던지기 횟수의 거듭제곱 또는 로그에 따라 달라집니다. 로그-로그 도표에서는 n의 각 제곱근과 σ 절반의 값과 함께 관계 자체가 직선으로 나타납니다.

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이 거듭제곱적 관계는 비교적으로 말해 표준 편차에서의 실패 대부분은 처음 몇 번의 시도에서 발생한다는 것을 의미합니다. 1번 동전을 던진 후의 σ=0.5는 단 25번 던진 후의 0.1에 해당하며 (무한대로 동전을 던진 후) 한곗값인 0을 향한 4/5입니다. 이 방법으로 대수의 법칙이 실제로 얼마나 빨리 적용되는지 알 수 있습니다. 리니어 스케일을 사용하여 위의 도표를 다시 그리면 이 속도를 눈으로 확인하는 데 도움이 됩니다. 

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베팅에서의 승패

베팅에서의 승패는 동전 던지기에서 앞면/뒷면과 매우 비슷합니다. 베팅은 필연적으로 이기거나 지는 결과만 있는 2진수 프로포지션입니다. 예를 들어, 각각의 승리에 대한 예상 확률이 일정하게 유지되는 가장 단순한 베팅 이력에서 발생 가능한 결과 또한 이항식으로 분포될 것입니다.

이 2진수 프로포지션의 명확한 예는 미국 스포츠 시장에 대한 포인트 스프레드 베팅, 또는 한 쪽에 핸디캡을 적용하는 것이 베팅 비율을 50-50으로 만들어 2.00의 타당한 배당률을 형성하도록 해주는 아시안 핸디캡 축구일 것입니다. 

그러나 우리는 50-50 프로포지션으로만 제한할 필요가 없습니다. 확률에서의 표준 편차를 위해 위의 방정식을 다시 사용하겠습니다. 다른 가능한 예상 승리 확률을 고려하도록 해주는 더 일반적인 버전은 다음과 같습니다. 

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장기적으로 이익을 발생시키는 기댓값을 발생시킬 수 있는 숙련된 베터의 경우에도, 발생하는 일의 대부분은 상대적으로 약한 신호 주변의 임의적 노이즈이며, 그 이유는 스포츠 이벤트와 같은 복잡한 시스템이 가지는 본질적인 임의적 가변성 때문입니다.

물론, 실제 베팅의 세계에서 숙련되지 않은 베터는 예상에 부합함으로써 손익 평형을 이루지 못합니다. 북메이커의 마진을 고려하면 베팅을 1,000번 한 후에 필연적으로 돈을 잃을 수밖에 없습니다.

한 베터가 50-50 프로포지션에 베팅해 장기적으로 55%의 승률을 기록한다고 상상해보십시오. 그는 자신의 예측 스킬을 통해 예상 승리 확률을 50%에서 55%로 조정했지만, 여전히 이항적 변수 법칙이 적용됩니다.

위의 방정식을 통해 275번 베팅한 후 베팅 승리 확률에서의 표준 편차가 3%라는 것을 알 수 있습니다. 이것은 이 크기의 베팅 이력에서 승률이 52%~58% 사이인 약 2/3의 확률이라는 것을 함축합니다. 

모든 베팅의 예상 승률(배당률)이 같은 단순한 경우를 가정했을 때, 이항적 분산을 활용하여 발생할 수 있는 모든 것의 확률을 거의 정확히 판단할 수 있습니다(Excel에서는 BINOMDIST 함수를 사용해 이 계산을 할 수 있습니다).

저는 이것을 아래의 연속적인 베팅 이력에 관해 설명합니다. 첫 번째는 단 20번 베팅한 이력입니다. 도표의 숫자는 특정 값보다 높은 실제 승률의 누적 확률을 보여줍니다. 예를 들어, 장기적 예측이 20%라면 6번 이상의 베팅(30%)에서 승리할 확률은 9%입니다. 일반적으로 16번 승리할 것이라 예상한다면 20번 중에서 20번 승리할 가능성은 1%입니다. 

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대체적으로 말하자면, 빨간색 부분과 녹색 부분은 공정한 배당률을 가정했을 때 손실을 입는 부분과 수익이 발생하는 부분을 각각 의미합니다. 예상한 것보다 더 많은 베팅에서 패한 경우, 금전적 손실을 보겠지만, 그 상당히 저조한 결과가 매우 자주 발생하는 것이 아니라는 것을 알 수 있다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

확률이 50%인 베팅을 20번 한 후에도 3/4의 경우에는 9번 이상 승리할 것으로 예상할 수 있습니다. 대수의 법칙은 여러분의 편이며 큰 패배 확률이 발생할 가능성으로부터 여러분을 지켜줍니다.

그러나 따름정리 또한 참입니다. 예상한 것보다 더 많은 베팅에서 승리했다면 이익이 발생했겠지만, 큰 이익은 얻지 못했을 것입니다. 확률이 50%인 베팅에서 장기적으로 55% 승리할 수 있는 숙련된 베터의 경우에도 20번 중에서 14번 이상 승리할 가능성은 단 13%에 불과합니다. 이제 대수의 법칙은 여러분의 편이 아니며, 큰 확률로 이익을 얻지 못하도록 방해합니다. 

노란색 부분은 베터가 손익 평형을 이루는 범위와 대략 일치합니다. 과도한 행운과 불운 사이의 부분이 매우 좁다는 것은 놀라운 사실이며, 대부분의 베팅 결과가 여기에 포함될 것입니다.

100번 베팅을 한 후 노란색 부분에 어떤 일이 발생하는지 살펴보겠습니다.

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자신의 결과가 장기적 예측과 크게 동떨어질 가능성이 상당히 줄었습니다. 그리고 베팅을 1,000번한 후에는 어떨까요?

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물론, 실제 베팅의 세계에서 숙련되지 않은 베터는 예상에 부합함으로써 손익 평형을 이루지 못합니다. 북메이커의 마진을 고려하면 베팅을 1,000번 한 후에 필연적으로 돈을 잃을 수밖에 없습니다. 대수의 법칙이 여러분을 파멸시켰습니다. 그러나 숙련된 베터의 경우, 상당히 다른 그림을 볼 수 있습니다.

승률이 50%인 베팅에서 55% 승리할 것으로 예상한다면 거의 항상 50% 이상을 승리할 것입니다. 북메이커의 마진이 베터가 예상한 승률과 북메이커가 예상한 승률 사이의 차이보다 작다면, 장기적인 이익을 발생시킬 가능성이 매우 높습니다. 높은 평가를 받는 웹사이트 ProfessionalGambler.com은 다음을 강조합니다.

“성공적인 스포츠 베터의 베팅 승률과 만성적으로 돈을 잃는 베터가 베팅에서 승리할 확률 사이의 차이는 상대적으로 매우 작습니다.”

이제 그 차이가 얼마나 작은지 보실 수 있습니다. 대수의 법칙은 정말로 베터에게 축복이 될 수도, 저주가 될 수도 있습니다. 

확실히 대부분의 베터가 하는 베팅은 이 기사에서 다루는 것처럼 단순하지 않으며, 베터는 다양한 배당률과 베팅 금액을 선택할 수 있습니다. 이것을 분석하려면 훨씬 복잡한 수학을 사용하거나, 우리의 친구 몬테카를로 시뮬레이션을 사용해야 하는데 그러면 너무 복잡해집니다. 

그리고 실제 이익과 손실의 편차를 고려하지 않았습니다. 이것은 또 하나의 관심 주제이며 이전 기사(배당률이 높을수록 이익과 손실의 편차가 커집니다)에서 다루었었습니다.

그럼에도 불구하고 본 기사의 목적은 대수의 법칙이 가지는 속도와 힘을 설명하고, 예상 결과와 실제 결과 사이의 차이, 행운과 불운의 차이가 얼마나 작은지 설명하는 것입니다.

베팅 이력의 신뢰성 테스트

이야기를 마치기 전에, 자신의 픽을 여러분에게 판매하기 원하는 조언 서비스가 주장하는 베팅 이력의 신뢰성을 테스트하기 위해 실제 승률의 표준 편차에 관한 정보를 사용하는 방법도 보여드리고자 합니다. 

자신들의 “핸디캐핑 원칙”“정직하고 솔직한 접근방법”을 제공하는 한 핸디캐핑 회사를 예로 사용하겠습니다. 이 회사는 분명히 스포츠 베팅의 임의성에 대해 인지하고 있으며 고객에게 보장된 승자 같은 것은 존재하지 않고 “모든 경기에는 항상 운의 요소가 존재한다”고 설명합니다. 그럼에도 불구하고 11,000번 이상의 픽에 대한 76%의 승률을 게시하여 그 임의성을 명확히 억제합니다.

대수의 법칙에 따르면 많은 시험에서 얻은 결과의 평균은 시험 횟수가 많아질수록 기댓값에 가까워집니다.

현재까지 그들이 실제로 게시한 결과를 더 자세히 살펴보면 10,312번의 픽에서 75%의 승률을 볼 수 있습니다(극소수의 팁만이 누락된 것을 명확히 알 수 있습니다). 가격이 낮거나 높게 책정된 프로포지션이 존재하긴 하지만, 그 프로포지션의 94%는 1.67과 2.50(60%와 40%의 함축 승률) 사이의 배당률을 가졌습니다. 북메이커의 마진을 고려하지 않았을 때 전체 표본에 대한 평균 함축 승률은 52.2%였으며 이는 50-50 프로포지션과 별 차이가 없을 정도로 가까운 것입니다.

56개월(2014년 3월~2018년 10월)간 수집한 표본의 결과를 살펴보면 184회의 평균 월간 픽 합계가 184이며, 반 이상이 140~224픽 사이에 포함되었음을 알 수 있었습니다. 장기적 예상 승률이 75%라고 가정한다면 월간 승률의 변동 폭은 얼마일까요? 승률에서의 예상 표준 편차를 계산하기 위한 위의 방정식을 184픽의 표본에 사용하면 3%를 약간 넘는 답을 구할 수 있습니다. 표본의 2/3를 넘는 경우에만 72%~78% 사이일 것이며 95%가 약 69%~81% 사이였습니다.

사실 월간 승률의 표준 편차는 8.6%이며 이것은 예상보다 훨씬 높은 수치입니다. 40%보다 적은 수의 값이 75%의 ±1σ에 포함되었으며 ±2σ 안에는 50%를 약간 넘는 정도가 포함되었습니다. 간단히 말해 편차가 너무 큽니다. 한 달에 가능한 가장 적은 횟수인 32픽만 매월 이루어진다고 가정해도 여전히 예상 표준 편차는 7.7%에 불과할 것입니다. 

월간 승률의 표준 편차인 8.6%는 일반적으로 184번이 아닌 약 25번의 픽 표본에 대해 예상될 것입니다. 2014년 12월에는 151번의 픽이 평균 함축 예상 승률인 51.4%를 보였습니다. 46.4%의 승률은 십억 년에 한 번 나올까 말까 할 것입니다. 2015년 10월에는 168번의 픽(평균 함축 승률 48.5%)에서 154(91.7%)번 승리했습니다. 이러한 숙련된 정보제공자의 뛰어난 성적은 십억 년에 한 번 나올까 말까 할 것입니다.

이 발견 내용이 제시하는 것이 무엇인지 판단하는 것은 여러분의 상상에 맡기겠습니다. 아마 단기간에는 실력 수준이 상당히 요동칠 수 있다는 것을 의미할 것입니다. 아마 다른 것을 의미할 수도 있을 것입니다. 그러나 이전에 이익 예측의 한계에 대해 말해야 했던 내용을 고려하면 여러분은 76%의 핸디캡 승률은 그냥 웃고 넘겨야 한다는 사실을 이미 알고 계실 것입니다.

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