켈리 기준 다시 알아보기: 위험성 평가

많은 사람이 켈리 기준을 설명할 때 베팅에서 이기는 사람이 뱅크롤(자산 총액)을 극대화하기 위한 가장 효율적인 자산 관리 전략이라고 말합니다. 피나클의 베팅 리소스는 켈리 기준의 역할이 무엇이고, 어떻게 작용하며, 그 장단점이 무엇인지에 대해 논하는 여러 편의 기사를 발표했습니다. 이 기사에서는 켈리 기준 베팅 방식의 위험성을 간략하게 평가해보려고 합니다.

켈리 기준이란 무엇일까요?

피나클의 저자이자 University of Malta의 수학자 Dominic Cortis는 켈리 기준이란 배당률이 예상했던 것보다 큰 결과에 베팅 자본금 중 얼마의 비율을 베팅할 것인지를 계산하여 자산을 기하급수적으로 늘리기 위한 수단이라고 설명합니다.

John Kelly가 AT&T의 Bell Labs에서 근무하던 1956년에 발표한 켈리 기준은 예상 수익률과 위험성을 고려함으로써 뱅크롤의 전체적인 성장을 극대화하는 최적의 베팅 크기를 계산하기 위한 경제학적으로 입증되고 수학적으로 정확한 방법을 제공합니다. 이것은 다음의 간단한 방정식으로 제시됩니다.

어드밴티지는 간단히 말하면 실제 북메이커의 베팅 배당률과 비교해 여러분이 더 가지는(또는 가졌다고 생각하는) 추가적인 배당률입니다. 예를 들어, 결과의 일반적인 배당률이 2.00(50%의 성공 확률)이라고 생각했지만, 북메이커에 의해 2.10의 배당률이 여러분에게 발생했다면 어드밴티지는 2.10/2.00=1.05로 계산할 수 있습니다.

“어드밴티지”는 예상 가치를 설명하는 또 다른 방법일 뿐입니다. 위 방정식에서 배당률은 소수점 배당률 표기법에 따라 표기되어야 합니다. 따라서 이 예에서 켈리 기준 베팅 금액의 비율은 0.05 또는 5%가 될 것입니다.

켈리 기준 베팅은 베팅 크기가 기존 뱅크롤 크기에 비례하는 비례적 베팅 방식의 한 가지 예이며 뱅크롤의 증가 또는 감소에 따라 베팅 금액이 커지거나 작아지는데 이것은 베팅 금액이 미리 정한 크기로 고정되는 고정 베팅과는 대조적입니다.

켈리 기준의 특징은 당사자가 인식한 어드밴티지와 베팅 배당률의 크기도 고려한다는 점입니다. 어드밴티지가 크거나 베팅 배당률이 작으면 베팅의 위험성이 높아집니다.

둘 이상의 결과 또는 경기에 동시에 베팅하는 경우에는 켈리 기준 베팅 비율 계산과 관련한 문제가 분명히 존재하며 피나클은 이 주제에 대한 기사를 발표했습니다. 그러나 본 기사에서는 한 번에 한 곳에만 베팅하는 경우에 적용되는 단순한 켈리 기준 사례를 다루려고 합니다.

켈리 기준은 얼마나 위험할까요?

켈리 기준은 비례적 자금 관리 전략이므로 이것을 사용하면 기술적으로 파산할 가능성이 없음이 자명해야 합니다. 더 많이 잃을수록 베팅 금액도 적어지지만, 이론적으로 파산에는 이르지 않아야 합니다. 

알려진 수학적 알고리즘에 기반한 카지노 게임과는 달리 축구 경기와 같은 복잡한 시스템의 실제 확률을 '아는 것'은 사실상 불가능합니다.

그러나 현실에서는 허용할 수 없는 한계까지 손실이 발생하는 경우가 분명히 있습니다. 따라서 뱅크롤 규모가 어떻게 변화하고 있으며 자신이 그 위험을 충분히 감당할 수 있는지 생각하는 것이 더 적절할 것입니다.

피나클의 객원 작가이자 증권거래사인 Joe Peta는 켈리 기준의 문제점이 "기대 수익률에 상관없이 투자할 수 없을 만큼 변동이 매우 심한 것"이라고 이전에 주장하였습니다. 그는 이론적으로 2.00의 배당률로 52% 승리하는 한 사람에 대해 생각해보라고 요구합니다. 켈리 기준에 따르면 베팅 비율은 4%가 됩니다. 

Peta는 250회 연속으로 베팅한다고 가정할 때 최종 뱅크롤이 40% 이상 감소할 가능성이 10%보다 크다고 주장합니다. 그가 옳을까요? 

상당히 근접해 보입니다. 이 변수들을 사용해 Monte Carlo 시뮬레이션을 1만번 실행한 결과 최종 뱅크롤이 처음의 60% 미만으로 감소한 경우가 14%였습니다. 시작할 때 100유닛을 지급하고 4유닛으로 고정된 금액으로 250회 베팅한 고정 베팅 전략의 경우에는 이러한 뱅크롤 감소가 단 9% 발생했다는 사실과 비교됩니다.

아래의 표는 켈리 기준 베팅과 고정 베팅에 대한 더 폭넓은 비교를 보여줍니다. 제가 이전의 기사에서  주장 한 바와 같이, 비례적 베팅이 수익률 극대화에는 더 적합하지만(이 시뮬레이션에서는 켈리 기준 베팅과 고정 베팅의 평균 최종 뱅크롤이 각각 149유닛과 140유닛이었습니다), 손해를 보는 동안에는 회복에 더 오래 걸립니다.

손해를 본 최종 뱅크롤 중에서는 단순히 비례식 베팅에 기인하는 더 큰 뱅크롤 변동으로 인한 경우가 더 많았습니다. 이 시뮬레이션에서는 40%에 가까운 켈리 기준 베팅이 손해를 봤는데 이는 고정 베팅의 경우 단지 25%만 손해를 봤다는 사실과 대조적입니다.

어드밴티지가 커지면 위험성이 어떻게 변할까요? 54%의 승률을 가지는 이븐 머니 게임(항상 베팅 금액과 같은 액수를 상금으로 주는 게임)에 8%로 켈리 기준 베팅을 하도록 시뮬레이션을 다시 실시하였습니다. 장기적으로 이 수치에 도달하는 사람은 매우 적었습니다.

고정된 금액으로 실시한 베팅 중에서 52%를 이길 것으로 생각했지만, 결국 49%만 이겼다면 장기적으로 돈을 잃을 것은 말할 필요도 없습니다.

당연하게도 어드밴티지 또는 각 베팅에 대한 기대 가치가 두 배가 되면 고정 베팅과 비교해 켈리 기준 베팅의 예상 수익률이 크게 증가할 것입니다(각각의 최종 뱅크롤 평균은 494와 260이었습니다). 하지만, 이것은 그 최종 결과의 차이가 상당히 크다는 위험을 담보로 합니다.

예상되는 최종 뱅크롤의 평균이 높아졌는데 그 이유는 매우 큰 소수의 뱅크롤로 인하여 결과가 왜곡되었기 때문입니다. 그러나 평균 정도이거나 손해를 본 뱅크롤은 고정 베팅 전략과 비교해 훨씬 많았으며 평균 수준으로 끝난 뱅크롤은 단 223개였습니다. 8%의 어드밴티지를 가지고 켈리 기준 전략에 따라 이븐 머니 게임에 250회 베팅한 후에 40%의 손실이 발생할 가능성은 여전히 14%입니다. Joe Peta는 8%의 투자 수익률을 보이는 자신만만한 금융투자자라도 이런 위험을 감수하지는 않을 것이라 주장할 것이 확실합니다.

우리가 정말로 우리의 어드밴티지를 알고 있을까요?

이 시뮬레이션은 우리가 승률을 정확히 알고 있으며 따라서 북메이커의 배당률에 대한 우리의 어드밴티지를 정확히 알고 있다고 가정합니다. 그러나 Joe Peta가 상기시켰듯 스포츠 베팅 결과를 모델링하는 것은 블랙잭 카드를 세는 것과 다릅니다.

알려진 수학적 알고리즘에 기반한 카지노 게임과는 달리 축구 경기와 같은 복잡한 시스템의 실제 확률을 '아는 것'은 사실상 불가능합니다. 북메이커의 배당률에 대한 어드밴티지를 정확히 모르는 상황에서 켈리 기준 전략으로 성공하는 것에 대한 내용은 최근 제 트위터 피드에서 논의된 바가 있습니다. 저는 그 영향이 어떨지 알아보기로 했습니다.

켈리 기준에 따라 얼마를 베팅할지 결정하고 그 위험성을 관리하는데 필요한 것은 평균 어드밴티지를 정확히 아는 것 뿐입니다.

고정된 금액으로 실시한 베팅 중에서 52%를 이길 것으로 생각했지만, 결국 49%만 이겼다면 어떤 베팅 방법을 따르는가와 관계 없이 장기적으로 돈을 잃을 것은 말할 필요도 없습니다. 여기에서 더욱 관심이 가는 내용은 모든 베팅에 대한 어드밴티지를 정확히 모르는 편이 켈리 기준과 관련한 차이와 위험을 증가시키는가 하는 것입니다.

장기적으로 베팅을 지속하면 어떤 어드밴티지가 자신에게 적용되고 있는지에 대한 실마리를 잡을 수 있습니다. €1,000를 베팅해 €1,050를 받았다면 평균적으로 5%의 어드밴티지를 가졌다고 합리적으로 가정할 수 있을 것입니다. 어드밴티지를 예측하는 다른 방법은 베팅한 총액을 최종 시장 가격과 비교하는 것입니다.

2.10을 베팅했지만 피나클이 2.00에서 마감했다면 제 데이터 분석은 5% 어드밴티지를 가졌다는 사실을 함축적으로 보여줍니다(베팅 마진 할인). 그러나 이러한 분석은 누적된 엄청난 수의 축구 경기에 기반한 것입니다. 평균 어드밴티지를 유추할 수 있지만, 이것이 모든 베팅에 적용 가능하다고 가정할 수는 없습니다. 스포츠 이벤트에는 대단히 많은 불확실성이 영향을 미치기 때문에 위의 가설은 사실이 아닌 것으로 간주하는 편이 더 합리적입니다.

고정 금액 베팅에 대해 또다른 Monte Carlo 시뮬레이션을 실시하였습니다. 그러나 이번에는 매번 승리 확률을 52%로 고정하는 대신 승리 확률의 일반적인 분포에 따라 변화를 주었습니다. 평균은 52%지만, 각각의 값에는 약간 차이를 주었습니다. 일부는 크고 일부는 작았습니다.

5%의 표준 편차를 적용하였습니다. 즉, 약 66%의 값이 47%~57% 범위에 포함되고 95%의 값이 42%~62%의 범위에 포함됩니다. 실제로는 약 33%가 50% 미만에 포함되어 부정적 예측값을 보입니다. 

결과는 매우 놀라웠습니다. 베팅 중 1/3이 부정적 예측값을 보였음에도 켈리 기준 전략과 관련된 위험성은 거의 변하지 않았습니다. 근본적으로 이것은 전체적인 어드밴티지를 정확히 알고 있다면 각각의 베팅마다 어드밴티지를 아는 것이 중요하지 않다는 것을 의미합니다. 

켈리 기준 1 - 모든 베팅의 어드밴티지를 정확히 앎. 켈리 기준 2 - 어드밴티지 평균을 알지만, 각 베팅에 대한 구체적인 어드밴티지는 모름. 

이 결론의 타당성을 시험하기 위하여 부정적 예측값을 가지는 베팅의 수가 상당히 증가한 추가적인 시뮬레이션을 실시했습니다.

250번의 베팅 중 230번(92%)에 49%의 승률을 지정했는데 이는 사실상 피나클의 인기 있는 2방향 또는 3방향 베팅 시장의 베팅 마진과 같습니다. 나머지 20번에는 86.5%의 승률을 지정하여 250번의 평균이 52%를 유지하도록 하였습니다. 결과는 정확히 같았습니다.

물론 실제로 92%의 베팅에서 어떤 가치도 발견하지 못한 사람이 나머지 8%에서 엄청난 수익을 기대할 가능성은 거의 없지만, 그럼에도 불구하고 이 시뮬레이션은 이전에 주장된 켈리 기준으로 베팅할 금액을 결정하고 그 위험성을 관리하기 위해 필요한 것은 어드밴티지 평균을 정확히 아는 것 뿐이라는 주장을 설명해줍니다.

어떤 어드밴티지도 알지 못하는 대부분의 사람에게는 훨씬 해결하기 어려운 문제입니다. 바보같이 운이나 우연으로 인한 착각으로 인해 현실을 망각하게 되기가 쉽습니다. 이븐 머니 베팅에서 49%만 승리하지만 4%의 켈리 기준 전략이 아니나다를까 훨씬 실패하는 일은 훨씬 자주 일어납니다(고정 베팅의 60%와 대조적으로 250회의 이븐 머니 베팅에서 75%가 손해를 봄)