9 15, 2021
9 15, 2021

베팅하기: 편차 비용

베팅에 얼마 만큼의 가치가 있는지 어떻게 알 수 있을까요?

편차에 실제 비용이 있다는 것을 이해합니다.

편차의 위험으로 인해 비용이 발생할까요?

베팅하기: 편차 비용

베팅을 하고 나서 베팅에 얼마만큼의 가치가 있는지 어떻게 알 수 있을까요? 편차 비용을 이해하면 장기적으로 더 수익성 높은 베터가 될 수 있습니다. 다음 내용을 읽으면서 자세한 내용을 알아보세요.

최근, 저는 진지한 베터들을 위해 교환 등가(Swap Equivalent)라고 불리는 유용한 수량을 정의했으며, 그것을 알아내는 데 도움이 될 것입니다. 교환 등가의 목적은 여러분의 위험한 포지션의 기대 가치(EV)와 그에 상응하는 확신 등가(CE) 사이의 관계를 계산하는 것입니다. 포지션의 기대 가치(EV)에 교환 등가(Swap Equivalent)를 곱하면 확실성 등가(Certainty Equivalent)(즉, 공개적으로 베팅하는 대신 신경 쓰지 않고 주머니에 가지고 있어야 하는 현금의 양)를 얻게 됩니다. 하지만, 중요한 변환 외에도 편차 비용을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

대부분의 사람들에게 편차라는 개념은 모호하고 이해하기 힘든 것이지만 예리한 스포츠 베터들에게는 롱런 끝에 꿈을 실현할 수 있는 길로 향하는 과정에서 피할 수 없는 오르내림을 뜻합니다. 문제는 이것이 여러분의 이론적인 투자 수익률(ROI)을 실현하기 위해 반드시 견뎌야 하는 성가신 것이 아니라, 여기에는 실제로 비용이 든다는 것입니다. 어떻게 그럴 수 있을까요? 왜냐하면 만약 그렇지 않은 경우, 모든 기존 베팅에 대한 여러분의 확신 등가는 현재의 기대 가치와 동일할 것이기 때문입니다. 그리고 그것들이 같지 않다는 것을 설명하는 기사를 예전에 몇 편 작성했습니다.

실제 편차 비용(CoV)은 기대 가치(EV)와 확실성 등가(CE) 사이의 차이로 정의할 수 있으며, 일반적으로 개별 베팅을 위한 자금 중 극히 일부이지만 장기적으로 봤을 때 상당한 수익을 올릴 수 있습니다. 방정식을 사용하여 교환 등가를 표시해보겠습니다. 우리는 이 두 가지가 모두 사실이라고 말할 수 있습니다.

CE = s * EV
CoV = EV - CE

이를 조합하여 편차 비용(Cost of Variance)이 기대 가치(EV) 시간(1 – 교환 등가)임을 확인할 수 있습니다.

CoV = EV - CE = EV - s * EV
CoV = EV * (1-s)

예를 들어, 스포츠북 XYZ는 오늘의 Diamondbacks-Rockies 야구 게임에서 D’backs +130/Rockies -150 (또는 십진법 배당률로 D’backs 2.30/Rockies 1.60) 라인이 있습니다. Pinnacle에서의 라인에 따르면 Rockies가 이길 확률은 정확히 60%입니다. 이론적으로 여러분은 스포츠북 XYZ에서 Rockies에 베팅하고 순 기대 가치(EV)가 0이 될 수 있습니다(즉, 베팅에 대한 기대 가치는 베팅한 돈의 가치와 정확히 동일합니다). 사실, 여러분은 이 중립적인 기대 가치에 계속 베팅하고 나면 결국에는 상황이 안정될 것이라고 생각할지도 모릅니다. 그리고 그것은 주머니에 돈을 보관하고 있는 것만큼 좋습니다.

하지만 이러한 숫자들이 전체 그림을 그리지는 않습니다. 그것들은 단지 여러분이 베팅하는 캔버스에서 하나의 차원, 즉 가치 차원에서만 무슨 일이 일어나는지 말해 줍니다. 우리에게는 결과에 영향을 미치는 완전히 다른 차원이 있습니다. 바로 리스크입니다. 기대 가치와 상관없이 얼마가 됐든 Rockies에 베팅하면 그 돈에 리스크가 생기고 그것을 되찾기 위해 약간의 편차가 생길 것입니다. 그렇다면 편차에는 어떤 비용이 발생할까요? 살펴보겠습니다.

여러분이 $1,000의 자금을 가지고 있다고 해보겠습니다. 그리고 기대 가치를 하나도 잃지 않았기 때문에 Rockies에 $50를 베팅하기로 결정합니다. 여러분은 60%의 확률로 우승하고($83.33 반환) 40%의 확률로 지게 됩니다(아무 것도 반환되지 않음). 게임 후 예상되는 자산 가치는 다음과 같습니다.

0.6 * $83.33 + 0.4 * $0 + $950 = $50 + $950 = $1000

하지만 일단 베팅을 하고 난 뒤 티켓에 대한 교환 등가는 무엇인가요? 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

s = ((1 + w) ^ p - 1) / pw
s = ((1 + 0.088) ^ 0.6 - 1) / (0.6 * 0.088)
s = (1.052 - 1) / 0.053
s = 0.985 or 98.5%

설명:

w = 자산의 백분율로서의 베팅에 대한 지불금

p = 베팅이 승리할 확률(이 사례의 경우, 60%)

베팅을 한 후에 남은 자금이 $950이므로 지불금인 w는 $83.33/$950 = 0.088이 됩니다. 따라서 티켓의 기대 가치(EV)가 $50일 때 확실성 등가(CE)는 ($50 * 98.5%) 또는 $49.25밖에 되지 않습니다. 이제 발생한 편차 비용이 다음과 같다는 것을 보여줄 수 있습니다.

CoV = EV * (1 - s)
CoV = $50 * (1 - 0.985)
CoV = $50 * 0.015
CoV = $0.75

자산의 위험한 비탈길

그것은 사소한 금액처럼 보일 수 있지만, 만약 여러분이 이 베팅을 계속해서 한다면 매번 이론적인 성장에서 조금씩 손해를 보게 될 것이고 결국에는 파산할 가능성이 높습니다. 실제로, 이 베팅을 10,000번 하는 시뮬레이션에서 자산은 81.6%의 확률로 파산했습니다(아래는 일반적인 5개의 시뮬레이션 실행 구상입니다).

In-Article-The-Cost-of-Variance-.png

좀 더 직관적으로 생각해 보려면, 이길 경우와 질 경우에 자금이 어떻게 되는지를 파악합니다. 이길 경우에는 자산이 $1033가 되고 다음 번에 $50를 베팅한다면 그것은 여러분의 자산의 4.8%에 불과합니다. 반면에 질 경우에는 자산이 $950가 되고, 다음 $50 베팅은 자산의 5.3%를 차지합니다. 따라서, 다음 번에는 승리할 때마다 자금의 작은 퍼센티지를 베팅하게 되고 잃을 때마다 큰 퍼센티지를 베팅하게 됩니다. 그 작은 차이는 다운스윙될 때마다 남은 자산의 큰 퍼센티지를 차지하며 눈덩이처럼 불어나게 됩니다. 이것은 돈을 벌기 위한 공식도, 심지어 손익 분기점을 찾기 위한 공식도 아닙니다.

여러분은 절대 자산의 100%를 베팅하지 않기 때문에 결코 파산할 수 없습니다. 그렇지요? 확실히 좋은 이론입니다. 하지만 이치에 맞나요?

여러분은 이 문제를 비례적으로 베팅해서 해결할 수 있다고 생각할 수 있습니다. 매번 $50를 베팅하는 대신, 현재 자산의 5%를 베팅한다면 이길 때는 더 많이 베팅하게 되고 질 때는 더 적게 베팅하게 되므로 모든 것이 안정될 것이라는 것입니다. 그리고, 여러분은 절대 자산의 100%를 베팅하지 않기 때문에 결코 파산할 수 없습니다. 그렇지요? 확실히 좋은 이론입니다. 하지만 이치에 맞나요? 먼저 ‘파산’하는 경우에 대해 이야기해보겠습니다. 엄밀히 따지면 비례적인 베팅으로 모든 자금을 잃을 수는 없는 것이 사실이지만 만약 마지막 $10까지 내려간다면 어떤 기분일까요? 아마 파산한 것처럼 느껴질 것입니다. 그럼 $10 아래로 떨어지면 파산한 것으로 간주된다는 점을 제외하고 이전과 같은 조건으로 자금의 5%를 베팅하는 다른 시뮬레이션을 돌려보겠습니다. 이 시뮬레이션은 어떻게 될까요?

더 나빠집니다. 왜냐하면 여러분이 상승세를 타고 난 뒤에 훨씬 더 많은 돈을 베팅하기 때문에 처음 시작에 운이 좋았다고 하더라도 나중의 하락이 더욱 가팔라지게 됩니다(이것이 아마도 10,000번 베팅한 후에 파산하지 않는 유일한 방법일 것입니다). 이렇게 하면 아래 차트에 표시된 것과 유사한 결과를 확인할 수 있으며(명확성을 위해 Y축이 로그 척도에 표시됨), 88% 이상의 확률로 파산합니다.

In-Article-The-Cost-of-Variance-2.png

이것은 별로 놀랄 일이 아닙니다. 이 정도로 큰 베팅 비율과 엣지가 없다는 점을 감안했을 때, 1회 베팅 시 기대 성장률(EG)은 -0.083%입니다. 많은 것 같지 않지만 5,600번 베팅한 후에 $1,000 자금이 평균 $10 미만으로 줄어든 것을 확인할 수 있습니다. 동일한 배당률에 대한 예상 ROI를 계산하지만 엣지가 3.3%라면 전체 켈리 공식은 Rockies에 베팅할 경우 5%이고 기대 성장률(EG)은 +0.083%입니다. 이것은 제가 든 예시에서 볼 수 있는 마이너스 기대 성장률과 정확히 동일하면서 반대입니다. 즉, 중립 기대 가치 베팅은 3.3%의 엣지로 베팅하는 것이 좋은 결과를 낼 수 있는 것만큼 마찬가지로 안 좋은 결과를 가져온다는 것을 의미합니다.

그렇다고 중립 기대 가치 라인에 베팅하는 것이 여러분이 저지를 수 있는 최악의 실수이거나 4% 또는 그 이상의 마진을 가진 시장에 무작위로 베팅하는 것만큼 나쁘다고 말하는 것이 아닙니다. 하지만 여러분의 자금이 무한한 것이 아니라면 여러분의 결과가 수학적 기대 가치와 동일할 것이라고 기대해서는 안됩니다. 여러분은 이론적 보상의 메리트만큼의 리스크를 감당하는 데 초점을 맞춰야 합니다.

만약 여러분이 평균적인 펀터가 아니라 제프 베조스이고 자금이 $1,000억 달러라면, 여러분의 티켓에 대한 교환 등가는 기본적으로 100%이므로 갬블링에 대한 경제적인 비용은 없을 것입니다. 교환 등가와 편차 비용 공식은 다음과 같습니다.

s = ((1 + w) ^ p - 1) / pw
s = ((1 + 0.00000000083) ^ 0.6 - 1) / (0.6 * 0.00000000083)
s ≅ (1.0000000005 - 1) / 0.0000000005
s = 1 or 100%
CoV = EV * (1 - s)
CoV = 50 * (1 - 1)
CoV = $0

결론

편차에 실제 비용이 있다는 것을 이해하고 나면 플러스 기대 가치 베팅만 찾고 마이너스나 중립 기대 가치를 무시하는 데 초점을 맞추지 말아야 하는 이유를 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 편차의 리스크는 주식 거래에서의 수수료나 커미션같은 비용을 초래하므로 리스크를 줄임으로써 실질적인 이익을 얻을 수 있습니다. 때로는 처음에는 적게 베팅하는 것을 의미하지만 정확하게 베팅하더라도(최적의 규모 또는 그 이하로) 베팅의 기대 가치가 변경되고 눈에 띄는 금액만큼 확실성 등가를 능가하는 많은 상황이 있습니다.

이러한 지점에서는 (Pinnacle과 같은 마진률이 낮은 북메이커에서 다른 쪽에 베팅하거나 거래소에서 포지션의 일부 또는 전부를 거래함으로써) 리스크를 회피하는 것이 보험 역할을 합니다. 그리고 그 보험 비용이 편차 비용보다 적다면 그렇게 하는 것이 더 수익성 있는 플레이입니다.

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이 글은 Dan Abrams가 작성했습니다.

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