3 20, 2020
3 20, 2020

한 경기에서 선두가 뒤바뀌는 일은 얼마나 자주 일어날까요?

확률에 대한 이해

동률 확률 계산

선두가 뒤바뀌는 일은 얼마나 자주 일어날까요?

동전 던지기의 지혜를 스포츠 베팅에 적용하기

한 경기에서 선두가 뒤바뀌는 일은 얼마나 자주 일어날까요?

한 경기 도중의 모든 단계에는 어느 한 쪽이 앞서거나 선두가 바뀌는 가변성 수치를 담은 등식이 존재합니다. 선두가 바뀌는 일은 얼마나 자주 있는지 궁금하신 적 있나요? 직감이 말하는 바를 믿고 베팅하지 마세요. 다음 내용을 읽으면서 그 이유를 알아보십시오.

확률에 대한 이해

우산을 가지고 나가는 것에서부터 베팅에 이르기까지 우리는 매일 확률에 대한 이해를 기반으로 선택을 합니다. 그러나 우리의 자연적인 본능은 종종 우리를 잘못된 길로 인도하기도 하며 통계만이 우리를 올바른 길로 다시 이끌어주는 믿음직한 동료가 되기도 합니다.

경고: 이번 기사에서 담고 있는 정신적 함정은 너무나 반 직관적이어서 가장 지적 수준이 높은 통계학자들조차 놀라게 했습니다. 하지만 그러한 이론으로 나아가기에 앞서, 우리의 자연적인 본능을 한 번 시험해보도록 하겠습니다. 

동일한 실력을 가진 두 명의 스누커 플레이어가 서로 대치하고 있습니다. 선두는 과연 얼마나 자주 바뀌게 될까요? 더 많은 프레임을 플레이할수록 선두의 변경이 더 많거나 적어질 것이라고 예상하시나요?

두 선수의 실력이 같다고 가정했기 때문에 가장 잘 알려진 무작위적 장치(예: 동전 던지기)를 사용해 각각의 선수들을 앞/뒷면에 두고 선두가 얼마나 자주 바뀌는지 관찰할 수 있습니다. 선두 변경이 일어나기 위해서는 먼저 뒤처진 선수가 따라잡아야 합니다. 그렇다면 동률이 되는 경우가 얼마나 자주 있는지부터 시작해야겠죠.

동전을 여섯 번 던지면 직관적으로 여섯 번 연속 앞면이 나오는 것이 나오기 힘든 결과라는 것을 이해하게 됩니다. 여섯 번 던지면 총 64종류의 조합이 생성됩니다. 앞/뒷면 상관없이 여섯 번 모두 동일한 결과가 나오는 확률은 2/64 또는 대략 3%에 해당합니다. (1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½)

우리는 또한 각각의 결과가 50%의 확률을 갖고 있기는 해도 동전 던지기 여섯 번이라는 적은 표본에서 반드시 세 번의 앞면과 세 번의 뒷면이 나오지 않는다는 사실 또한 이해하고 있습니다.

여섯 번의 동전 던지기에서 앞/뒷면이 모두 동일한 숫자가 나오는 실질적인 확률은 20/64(대략 31%)이거나 대략 1/3입니다. 그렇다면 여섯 번의 동전 던지기를 세 번 연속적으로 했을 때 한 번은 무조건 동일한 숫자의 앞/뒷면이 나오게 된다는 것을 보장하는 것일까요? 다시 한번, 반드시 그렇지는 않습니다. 

동률 확률 계산

그러면 각기 다른 횟수의 동전 던지기에서 동일한 앞(H)/뒷(T)면이 나오게 될 확률은 어떻게 될까요? 어떤 순간이든 H 또는 T가 앞서거나 동률이 되는 순간이 있게 됩니다. 순서에 상관없이 동률이 되려면 던진 총횟수는 반드시 짝수여야 합니다.

동전 던지기 횟수를 점차 증가(2, 4, 6, 8...)함에 따라 H 또는 T의 수치가 같아질 확률은 더욱 높아질 것이라고 생각합니다. 이것은 평균의 법칙에 대한 직관적 적용입니다. 일반적으로 표본 사이즈가 커지면 결과는 전체 표본의 평균과 가까워지거나, 더 단순화하면 일주일 비가 내렸다면 맑은 날이 올 것이라 기대하는 것과 비슷합니다.

그러나 통계적 관점에서는 그냥 틀린 것이 아니라 대단히 틀린 말이 됩니다.

"Taking Chances"에서 John Haigh는 개별 동전 던지기를 차례로 하는 동안 어떤 시점에서든 동일한 수의 H와 T가 나오는 확률을 조사했습니다.

동전 던지기 확률

앞면(H)과 뒷면(T)이 동일한 수가 될 확률
동전 던지기 횟수 2 4 6 8 10
동률이 되는 가능성 1/2 3/8 5/16 35/128 63/256
확률 50% 37.5% 31.25% 27.34% 24.6%

수치로 나타나는 패턴이 너무나 반 직관적이라 우리 중 가장 수학적으로 깨어있는 사람들조차 데이터를 다시 확인해야 했습니다. 데이터를 보면 동전 던지기 횟수가 증가할수록 동률이 되는 확률은 실질적으로 감소하고 있습니다.

만일 동전을 20회 던지게 되면 과연 H와 T가 동률이었던 마지막 시점을 어디에서 찾아야 할까요? 2, 4, 6..., 16, 18, 20회 동전 던지기 중 어느 때이든 가능합니다. 11개의 가능한 답 중 어디에 거시겠습니까? 가장 최근의 던지기일까요, 가장 먼저일까요, 아니면 중간일까요?

많은 사람이 중간 정도일 것이라고 느끼겠지만, 미국의 통계학 교수인 David Blackwell은 중간에 완전한 대칭이 존재한다는 사실을 알아냈습니다. H와 T가 16번째 던지기에서 같았을 가능성은 4번째와 같고, 0과 20번째에서 각각이 가장 높게 나타날 수 있는 가능성이 있으며 중간으로 갈수록 확률은 감소합니다. 

마지막 동률의 가능성

20회의 동전 던지기 중 각기 다른 시도에서 마지막으로 동률이 되는 가능성
마지막으로 동률이 되는 시점 0 또는 20 2 또는 18 4 또는 16 6 또는 14 8 또는 12 10
확률 17.62% 9.27% 7.36% 6.55% 6.17% 6.06%

다시 말해 동률이 초반에 이뤄지지 않으면 이렇게 되기까지 꽤 오랜 시간이 걸릴 수도 있다는 뜻입니다.

선두가 뒤바뀌는 일은 얼마나 자주 일어날까요?

선두 변경이라는 관점에서 앞서 언급한 말은 빈도에 있어 어떤 의미를 갖게 될까요? 다음은 101회의 동전 던지기에서 H와 T사이에 선두가 바뀌는 횟수에 대한 확률을 나타낸 표입니다. 

선두 변경 확률

선두 변경 횟수 확률
0 15.8%
1 15.2%
2 14%
3 12.5%
4 10.7%
5 8.8
6 6.9%
7 5.2%
8 3.8%
9 2.7%
10 1.8%
11 2.6%

68%로 선두 변경의 횟수는 네 번을 넘지 않습니다. 5~9회 변경은 대략 27%이며 10회 이상은 고작해야 4~5%입니다.

이를 더 재미있게 해석해보면 절반의 확률로 후반부에는 절대 동률이 되지 않으며 이는 다시 말해 H이거나 T이거나 상관없이 경기 절반의 시점에서 앞서고 있다면 나머지 시간 동안은 계속 앞서 있게 된다는 의미입니다. 

동전 던지기의 지혜를 스포츠 베팅에 적용하기

부디 지금 이 시점에서 베팅에 이를 적용하는 것이 훨씬 확실해졌기를 바랍니다. 동전 던지기 실험이 우리에게 알려주는 교훈은 실력이 동등한 플레이어라면 일반적으로 동률화 없이 장기화되다가 엎치락뒤치락을 여러 번 하게 될 수 있다는 사실입니다. 동률화는 경기 중반보다 아주 초반이거나 마무리 시점에 나타나기 쉽습니다.

Haigh는 동등한 실력의 스누커 플레이어가 진행하는 경기의 50%에서 16프레임 동안 앞서있던 플레이어가 32프레임 이후가 되기까지 쭉 앞서게 된다는 사실을 계산했습니다. 이러한 이론을 축구에도 동일하게 적용할 수 있을까요? 축구 리그는 각기 다른 실력을 가진 팀으로 구성되어 있습니다. 따라서 이러한 규칙이 적용될 수 있다고 안심하고 말하기 위해서는 더 많은 연구가 필요합니다.

물론 모든 결과가 동전 던지기처럼 명확한 것은 아니며 손실 회피와 같이 고려해야 할 여러 상황적 요인들이 산재하고 있습니다. 예를 들어 그저 승리만을 목표로 삼는 것이 아니라 패배를 피하기 위해 더 나은 실력을 보이는 경향이 존재하는 것처럼 말이죠. 동전 던지기 실험은 이론상으로 존재하지만 그럼에도 불구하고 스포츠 베터에게 상당히 연관성 있는 패턴을 제시합니다.

이번 기사가 재미있으셨다면 당사의 베팅 전략 기사를 읽어보시거나 베팅 정보를 방문해 더 많은 것을 알아보실 수 있습니다.

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