5 15, 2020
5 15, 2020

베팅마다 얼마나 위험을 감수해야 할까요?

기댓값과 기대 효용 설명

불확실성에 근거한 효용

최적의 베팅 금액은 어떻게 계산할까요?

베팅마다 얼마나 위험을 감수해야 할까요?

스포츠 베팅에서 승리하려면 베팅당 자신의 평균 상금을 추정하는 것과 같이 양의 기댓값이 있는 베팅 전략이 필요합니다. 하지만 최대한의 수익을 내기 위해 베팅을 할 때마다 얼마만큼의 자본을 걸어야 할까요? 이를 알아내기 위해서는 효용의 개념을 이해해야 합니다. 다음 글을 읽으며 알아보세요.

17세기에 프랑스 수학자인 Pascal과 Fermat가 도박꾼의 점수 문제를 풀기 위해 처음으로 탐구한 개념인 기댓값은 평균적으로 베팅에서 우리가 얼마나 승리를 기대할 수 있는지 보여줍니다. 하지만 베터가 베팅에 얼마만큼의 자금을 걸어야 할지에 관한 설명은 거의 하지 않았습니다. 여기에서 기대 효용의 개념이 필요합니다. 

기댓값과 기대 효용 설명

베팅에서 기댓값(EV)은 승리할 확률(p)에 베팅 당 받을 수 있는 금액을 곱하고 이 값에서 패배할 확률에 베팅 당 잃을 수 있는 금액을 곱한 것을 뺀 값입니다. 패배 확률은 1(또는 100%)에서 승률을 뺀 값과 같기 때문에 다음과 같이 간소화할 수 있습니다.
expected-utility-betting.jpg

'o'는 북메이커가 만든 유럽식 소수점 배당률을 의미합니다. 기댓값은 모든 베터에게 중요한 숫자로, 장기적으로 봤을 때 수익을 기대할 수 있을지 아니면 손해가 날지를 알려주는 정보입니다.

일단 베터가 기댓값을 찾는다면 얼마만큼의 자산을 베팅에 걸지 결정해야 합니다. 18세기 수학자인 Daniel Bernoulli는 무모한 사람만이 수익(손해)의 만족도인 주관적인 베팅의 결과를 고려하지 않은 채 객관적인 기댓값에 근거해 감수 금액을 결정할 것이라고 생각했습니다. 이러한 주관적 만족도가 바로 효용입니다.

불확실성에 근거한 효용

두 개의 상자가 있다고 가정해보겠습니다. 하나는 현금 €10,000가 담겨 있습니다. 두 번째 상자는 현금 €20,000가 들어있거나 빈 상자입니다. 어느 것일지는 모르지만 확률은 동일합니다. 그리고 이제 두 상자 중 하나를 선택해야 합니다. 어느 것을 선택하시겠습니까?

"Kelly의 접근 방식은 장기적으로 봤을 때 사실상 베터의 잔고를 극대화할 수 있도록 했습니다"

이것은 전형적인 효용에 관한 퍼즐입니다. 수학적으로 두 상자 모두 동일한 기댓값, 즉 €10,000를 갖고 있습니다. 만일 이 게임을 영원히 반복한다면 어느 상자를 선택하는가는 상관이 없어질 것입니다. 하지만 이 게임에서는 단 한 번밖에 선택할 수 있습니다. 대수 법칙은 적용되지 않습니다.

첫 번째 상자를 선택한다면 €10,000를 확실히 받습니다. 두 번째 상자를 선택한다면 확률에 따라 다릅니다. 운이 좋다면 €20,000를 받을 것이고 아니라면 아무것도 받지 못합니다. 금액의 합계를 따지면 대다수가 첫 번째 상자의 확실성을 선택하는 것은 그리 놀라운 일이 아닙니다.

효용의 측면에서 €10,000의 확실성은 아무것도 받지 못하게 되는 것보다 훨씬 더 나은 선택입니다. 동일한 수학적 기대치를 가진 도박보다 확실성에서 더 큰 효용성을 찾는 사람들은 위험 회피 행동을 보여줍니다.

최적의 베팅 금액은 어떻게 계산할까요?

Daniel Bernoulli는 불확실성 속에서 의사 결정을 할 때 사람들이 하는 기본적인 이성적 행위가 바로 위험 회피라고 추론했습니다. 따라서 그는 다음과 같은 가설을 내세웠습니다. "자산이 적게 증가하는 결과를 내는 효용은 이전에 소유한 재화의 양에 반비례한다." 다시 말해 보유 자산이 많을수록 더 많은 것을 얻을 때의 효용 인식률은 낮을 것이라는 말입니다. 이러한 효용 함수는 대수적이며 자산의 한계 효용 체감이라는 말로 더 잘 알려져 있습니다.

"Kelly 기준을 사용하는 것이 반대급부로 심각한 변덕성을 유발할 수 있긴 하지만, 장기적으로 봤을 때 승리하는 베터의 자산을 극대화할 수 있도록 합니다"

Daniel Bernoulli의 이론을 더 실용적으로 적용한 것이 바로 많은 베터들이 자산 관리 계획으로 알고 있는 Kelly 기준입니다. 이것은 1956년 장거리 전화의 잡음을 해결하기 위해 AT&T의 Bell Labs에서 일하던 John Kelly가 개발한 것으로, 자산 관리 최적화와 수익 성장에 쓰는 방식으로 베터와 투자가들 사이에서 빠르게 채택되었습니다.

Kelly의 동기는 Bernoulli와 완전히 다른 것이었지만 Kelly 기준은 수학적으로 대수 효용 함수와 동일합니다. 실질적으로 Kelly 기준은 동시에 기댓값(EV)과 비례하고 승률에 반비례하여 베터가 전체 자산의 얼마만큼을 감수할 수 있는지를 직접적으로 보여줍니다.

p가 '진정한' 승률이고 o가 베팅에 대한 소수점 배당률일 때 EV = po – 1이라는 공식을 상기하면 Kelly 베팅 백분율(K)은 다음과 같습니다.

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기본적으로 Kelly 기준은 기대 대수 효용을 극대화합니다. Kelly 기준으로 베팅을 할 때 나타나는 현상 중에는 반대급부로 모든 사람의 효용을 만족시키지 못하는 심각한 변덕성이 있습니다. 여기에 더해 Kelly 기준을 사용하려면 결과에 대한 '진정한' 확률을 정확히 추산할 수 있어야 합니다. 

그럼에도 불구하고, Kelly의 접근 방식은 장기적으로 봤을 때 사실상 베터의 잔고를 극대화할 수 있도록 했습니다. 물론 그러기 위해서 베터는 Kelly 기준과 같은 특정한 자산 관리 전략에 대해 의심을 품지 말고 더 중요하게는 승리했다는 이유로 베팅을 제한하지 않는 북메이커가 필요합니다. 그러한 점에서 Pinnacle은 최고로 명망이 높습니다.

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