9 21, 2016
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베팅당 기본 베팅 금액(베팅건당 최소 금액)은 얼마인가요?

베팅당 기본 베팅 금액(베팅건당 최소 금액)은 얼마인가요?
스포츠 베팅에서 이기려면 기댓값이 양수 값인 베팅 전략(예: 베팅당 평균 승리 예상치)이 있어야 합니다. 그렇지만 수익을 극대화하기 위해 베팅당 얼마의 자금을 베팅해야 하나요? 이 때문에 효용의 개념을 알아야 합니다. 계속 읽으시면서 이 개념에 대한 모든 내용을 알아보세요.

기댓값이란 17세기의 프랑스 수학자인 파스칼과 페르마가 게임의 점수 문제를 풀면서 처음 탐구했던 개념으로 베팅에서 평균적으로 기대할 수 있는 수익을 보여줍니다. 그렇지만 이 개념은 베팅 고객이 베팅할 때 걸어야 하는 원금에 대해서는 많이 다루고 있지 않습니다. 여기에서 기대 효용이 작동하기 시작합니다. 

기댓값 및 기대 효용 설명

베팅의 기댓값(EV)은 이길 확률(p)에 베팅당 딸 수 있는 금액을 곱하고 여기에서 질 확률에 베팅당 잃은 금액을 곱한 금액을 빼는 식으로 계산할 수 있습니다. 질 확률은 1(또는 100%)에서 이길 확률을 뺀 것과 같으므로 다음과 같이 단순하게 표현할 수 있습니다.
expected-utility-betting.jpg

‘o’는 북메이커가 제공하는 유럽식 소수점 배당률을 나타냅니다. 기댓값은 베팅 고객에게 장기적으로 돈을 벌거나 잃을지 예상할 수 있는 정보를 알려주므로 가장 중요한 숫자입니다.

베팅 고객은 기댓값을 확인한 후 얼마를 베팅할지를 결정해야 합니다. 18세기 수학자인 다니엘 베르누이는 베팅의 주관적인 결과, 다시 말해서 얻을 수 있는 이익(또는 손해)의 바람직성을 고려하지 않은 채 객관적인 기댓값만을 근거로 베팅할 금액을 결정하는 행위는 무모한 행동임을 알았습니다. 이러한 주관적인 바람직성을 효용이라고 합니다.

불확실성 하의 효용

두 개의 상자가 전달됩니다. 첫 번째 상자에는 현금 $10,000가 들어 있습니다. 두 번째 상자에는 현금 $20,000가 들어 있거나 상자에 아무것도 없을 수 있으며 둘 중 어느 쪽이 맞을지는 확실하지 않지만 어느 쪽이든 가능성은 동일합니다. 여러분에게 상자 중 하나를 선택하라고 하면 어떤 상자를 선택하실건가요? 

이는 고전적인 효용에 관한 문제입니다. 수학적으로 이 두 상자 모두 $10,000라는 동일한 기댓값을 가집니다. 게임을 여러 번 반복한다 하더라도 선택하는 상자에는 차이가 없습니다. 그렇지만 여러분은 한 번만 선택할 수 있습니다. 큰 수(대수)의 법칙은 적용되지 않습니다.

첫 번째 상자를 선택하면 확실히 $10,000를 받습니다. 두 번째 상자를 선택할 경우 얼마를 받을지는 확률의 문제로 운이 좋으면 $20,000를 받겠지만 재수가 없을 경우 한 푼도 받지 못하게 됩니다. 놀랍지 않게도 이러한 액수를 고려해볼 때 대부분의 사람들은 첫 번째 상자로 인해 얻을 수 있는 확실성을 선택합니다.

효용의 관점에서 $10,000라는 확실한 금액은 한 푼도 받지 못하게 될 위험을 감수하는 것보다 훨씬 더 나은 선택입니다. 수학적 기댓값이 같은 도박보다 확실한 것에서 더 큰 유용성을 찾는 사람들은 위험에 대한 혐오감을 보여줍니다.

최적 베팅 금액을 어떻게 계산하나요?

다니엘 베르누이는 불확성을 기반으로 결정할 때 사람들의 일반적인 합리적 행동은 위험에 대한 혐오감이라고 추론하고 이 가설을 다음과 같이 수량화했습니다. “부의 소량 증가로 인한 효용은 이전에 소유한 재산의 양에 반비례합니다.” 다른 말로 이미 소유하고 있는 재산이 많을수록 부의 증가로 인해 느끼는 유용성은 줄어듭니다. 그러한 효용 함수는 로그(대수)로서 부의 한계 효용 체감 원칙으로 더 잘 알려져 있습니다.

켈리의 공식을 사용하여 수익의 큰 휘발성이 발생하더라도 을 이기는 베팅 고객은 장기적으로 재원을 극대화할 수 있습니다.

다니엘 베르누이의 이론을 좀 더 실용적으로 적용한 사례 중 하나는 다수의 베팅 고객에게 켈리의 공식으로 알려진 자금 관리 계획입니다. John Kelly가1956년에 AT&T 벨 연구소에 근무하면서 장거리 전화의 잡음 관련 문제를 해결할 때 개발된 개념으로 자금 관리 및 수익 증가를 최적화하는 수단으로 도박사 및 투자자들에 의해 빠르게 채택되었습니다.

켈리의 동기는 베르누이의 그것과는 전혀 다르지만 켈리의 공식은 로그 효용 함수와 수학적으로 동일합니다. 실제로 베팅 고객들이 전체 재산의 일부를 기댓값(EV)에 정비례하면서 성공 확률에는 반비례하는 베팅에 걸도록 지시합니다.

EV = po – 1 (여기서 p는 ‘정확한’ 성공 확률이고 o는 베팅의 소수점 배당률임) 공식을 상기하면서 다음과 같이 켈리의 원금 비율(K)을 계산할 수 있습니다.

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본질적으로 켈리의 공식 사용 시 기대 로그 효용이 극대화됩니다. 켈리의 공식에 따라 베팅한 결과는 수익의 큰 휘발성을 나타내 모든 사람의 효용에 최적화되지는 않을 수 있습니다. 게다가 이 공식을 사용하려면 결과의 ‘정확한’ 확률을 정확히 평가해야 합니다. 

그럼에도 불구하고 켈리의 방법을 사용하면 기술적으로 이기는 베팅 고객이 장기적으로 재원 규모를 극대화할 수 있게 됩니다. 물론 이 방법을 사용하려면 베팅 고객이 켈리와 같은 구체적인 자금 관리 전략에 의구심을 품지 않고 그리고 보다 중요한 것은승리 결과로 베팅을 제한하지 않는 북메이커를 찾아야 합니다. 그 점에 관한 한 Pinnacle의 평판은 단연 1위입니다.

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