9 16, 2013
9 16, 2013

期待値を測定する

期待値を測定する
期待値はベットが潜在的に利益を出せるかどうかを調べる素晴らしい方法です。現に、ある数学者は期待値を使って複数の宝くじのジャックポット賞金を確定させました。しかし、その実用性にも関わらず、多くのベッターはその技術を熟知していません。ここでベッティングでの期待値の測定方法について学んでください。

期待値またはEV(Expected Value)とは、「コインは表または裏になるか」などの2つの判断における相対的価値を測定するために使用される方法です。これは、その2つのオプションの良い面と悪い面を比較評価するシンブルな決定行列を使って、行われます。

定められたベットで獲得できるまたは負けることが予想される金額を判断するための使用に最も適しています。プラスのEVは利益のでる提案を示します。例えば、英国の国営宝くじは-0.50pのマイナスのEVです。理論上、£1を投資するたびに50pを失うことになります。つまりお金を稼ぐためにには悪いベットということです。

期待値の計算方法

期待値を計算する式は比較的簡単です。勝利する確率を1ベットあたりに獲得できる金額で乗算し、そして負ける確率を1ベットあたりの損失金額で乗算したものから引きます。

(1ベットあたりの獲得可能金額 × 勝つ確率) – (1ベットあたりの損失金額 × 負ける確率)

最も簡単なベッティングの例は、2つの選択肢がある公平なコイン投げです。2つの結果に£10をベットすることを想像してください。どちらの結果も同じ率で支払われます(0.5の確率または少数オッズで2.0)。これはどちらの結果も0のEVの決定行列を生み出します。これはその2つの結果の確率が同じだからです。コインを永遠に投げ続けた場合、理論的には同点になります。

しかし、表のリターンの支払を£11に変えると、0.48の確率または2.10のオッズになって決定行列が変わり、表に賭けることが50pのプラスのEVになります。つまり、同じ表へのベットを何度も行った場合、£10の1回のベットで平均して50pを獲得できると期待できます。受け取ったオッズはイベントのインプライドオッズより優れています。

コイン投げの期待値
選択:計算 (表 – 裏):EV
(£10 x 0.5) – (£10 x 0.5) 0
(£10 x 0.5) – (£10 x 0.5) 0
コイン投げのEV(表で£11のリターン)
選択:計算 (表 – 裏):EV
(£11 x 0.5) – (£10 x 0.5) £0.50
(£10 x 0.5) – (£10 x 0.5) 0

そのような機会を見つけたら利用しましょう。長期的にみて負けることはありません。長期的という点が重要です。なぜならEVは理論上だからです。

EVで宝くじに勝つ

EVは、17世紀に著名な3人の数学者たちがサイコロゲームのペイアウトについて議論したことが起源になっています。その中の1人であるBlaise Pascal氏は後に2項展開についての研究(パスカルの三角形)で有名になり、期待値の考えをはじめて使用した人でした。Pascal氏ははるかに重い苦境――神の存在と戦っていました。

何年も後に、リーマニア人数学者のStefan Mandel氏は宝くじがどのように機能するか理解して、この知識を活用して宝くじが実際に優れたベットである時の状況を利用しました。

英国の国営宝くじは£1を賭けるたびに50pのマイナスEVになります。

この宝くじで1等を当てるには、1から49の数字から選ばれた6つの数字をマッチさせる必要があります。1400万通りの組み合わせが存在するので、1等を当てる確率は1400万分の1になります。したがって利益になるベットにするには、リターン(1等賞金)はオッズよりも大きくなる必要があります。しかし、宝くじは政府にとって財政資金を集めるリスクフリーの方法になる傾向にあるので、上記のようにオッズは通常リターンに勝っています。

ビンゴからブラックジャックまで、一般的なギャンブル活動の(EVに関する)ランキングの最下位に、大規模な宝くじは位置しています。例として挙げた英国の国営宝くじは、£1を賭けるたびに50pのマイナスEVになります(-50p)。それが間接的な課税だと嘲笑される理由です。もちろん、宝くじのプレイヤーは、EV計算や似たような説明を目の当たりにしても、50pを見ながら、人生を変えるような金額を獲得する可能性を購入する費用として喜んで自分のお金を支払うでしょう。

しかし、宝くじの標準的なEVには例外があります。定められた宝くじで1等賞のチケットが販売されなかった場合、1等賞金は繰り越され、次のくじの1等賞金に足されます。1等賞金が何度も繰り越されると、宝くじのEVがプラスになる場合があります。Mandel氏はこれに気付き、それを利用する方法を見つけようとしました。

理論は単純でした。繰り越された賞金が大きくなるのを待って、すべての可能性がある組み合わせをカバーします。それを実践するのはとほうもないことです。Mandel氏はすべての組み合わせをカバーするためにチケットを購入する必要がありました。長い間、最寄りのコンビニエンスストアで過ごしました。そのチャレンジの規模にも関わらず、彼はその途方もなく大きな仕事を(何度も)成し遂げました。彼が集めたすべての組み合わせの数のチケットを購入した金額は、1等賞金未満でした(共同勝者がいないことがプラスになりました)。

プラスのEVである特定の状況を利用する原理は、カードカウンターがブラックジャックテーブルにおいてデッキの状態がハウスに対してエッジを与える状況で、カジノに勝とうとする時に作用しています。

1400万枚のチケットを購入することや、カードを数えることを学ぶのは、平均的なベッターの域を超えています。しかし、プラスのEVが現実的な目標になる2つの状況があります。アービトラージとニッチな市場のハンデキャップ。

アービトラージとプラスのEV

アービトラージは別のブックメーカーからのオッズを利用することです。それらのオッズを一緒にして、プラスのEVを提供する人工的な市場をつくります。

アービトラージはますます人気になっているベット形式で、何十年も金融トレードにおいて繁栄してきた合法的な土台です。アービトラージは風変わりなシステムではありません。数学的なロジックに議論の余地はありません。問題は、多くのブックメーカーはアービトラージプレイヤーを歓迎しておらず、それがアービトラージプレイヤーを歓迎する方針で運営しているPinnacleが目立つ理由です。

インプライドEV

アービトラージトレーディングは、プラスのEVが明白である状況を活用します。機会は過ぎ去った時に具体的になります。またプラスのEVが暗示される状況があり、意見の差を発しています。本格的なベッターは自分のハンディキャップシステムを作って、所定の市場に関する意見を持ちます。彼らのシステムがつくるオッズが、ブックメーカーが提供しているものと異なる時、かれらはプラスのEVを認めます。

ブックメーカーおよび独立ベッターとの競技場がよりイーブンである時に、これはニッチな市場である可能性が高いです。ベットによって暗示されているオッズより優れたオッズを受け取っている場合、これは決定行列をつくることができます。したがって、長期的には賭け金は利益を発生させるでしょう。

EVを作ったのは、あらゆる大きな質問に取り組んでいる素晴らしい数学者かもしれませんが、実際にはEVはより控えめな手段に適しています。ベットがどれくらい利益になるのかを証明する、ベッターにとって優れたツールです。使用していないなら、結論を下すために決定行列を用いる必要性はありません。

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