各ベットで負うべきリスクの額は?

各ベットで負うべきリスクの額は?
スポーツベッティングで勝利するには、プラスの期待値を用いたベッティング戦略が欠かせません。すなわち、ベットあたりの平均リターンを見積もる必要がありますが、利益を最大化するために負うべき資金面でのリスクとは、どの程度のものなのでしょうか?その検証にあたっては、「満足度」の概念を理解することが不可欠です。答えを知りたければ、ぜひご一読を。

「期待値」とは、17 世紀にフランスの数学者PascalとFermatが、いわゆる「得点の問題」を解こうとした際に初めて追及された概念で、あるベットから期待できるリターンの平均値を示します。しかし、そのベットに対してベッターが負うべきリスクの額については不明瞭。そこで「満足度」の登場となります。 

期待値と期待効用とは

ベッティングの期待値(EV)は、勝つ確率(p)にベットあたりの見込み配当額を掛けた値から、負ける確率にベットあたりの見込み損失額を掛けた値を差し引いて算出できます。負ける確率は1(または100%)から勝つ確率を引いた値に等しいので、以下のように単純化することができます。
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「o」は、ブックメーカーが提示するデシマルオッズを示します。期待値はすべてのベッターにとって最も重要な数字。この値によって、長期的にはお金が儲かるのか、損するのかを判断できるからです。

ベッティングの期待値が分かったら、次はいくら賭けるかを決めなければなりません。18 世紀の数学者Daniel Bernoulliは、対象の賭けから生じる主観的結果を考慮せずに、客観的な期待値に基づいてリスクの額を判断するのは無謀でしかないと考えました。この主観的結果とはすなわち、得られるもの(あるいは失うもの)が当人にとって望ましいかと言うこと。こうした主観的な好ましさを「効用」、あるいは「満足度」と言います。

不確実な状況下での満足度

ここに2つの箱があります。一方の箱には$10,000 の現金が入っています。もう一方の箱には$20,000か、もしくは何も入っていません。その確率は半々ですが、結果は断言できません。どちらか一方を選べと言われたら、あなたはどちらの箱を選びますか? 

これは典型的な効用(満足度)の問題です。計算上、両方の箱の期待値は$10,000で変わりません。このゲームを何度も何度も、永久に繰り返せるとしたら、どちらの箱を選んでも変わりませんが、今回選べるのは一度だけ。大数の法則は通用しません。

1つ目の箱を選べば、確実に$10,000が手に入ります。2つ目の箱を選べば、結果は運任せ。運が良ければ$20,000儲かりますが、運が悪ければ1ドルも得られません。当然、これだけの大金であれば、ほとんどの人が確実性を優先させて1つ目の箱を選ぶでしょう。

満足度の観点から見れば、確実に手に入る$10,000を選ぶほうが、何も手に入らないリスクを負うよりも、はるかに賢明だからです。計算上の期待値が同じである場合、人々は一か八かの賭けに出るより、確実な結果を選択するほうにより高い満足度を覚え、リスクを回避することを示しています。

ベストな賭け金の計算方法

Daniel Bernoulli は、不確実な状況下での決断を強いられた場合、その人物が通常選択する合理的行動は「リスクの回避」であると論じています。彼はこの仮説をもとに、「わずかな財産の増加から得られる満足度は、それまでに所有していた物量に反比例する」という公式を立てました。言い換えると、財産が多い人ほど、さらに財産が増えても満足度が少ないということ。こうした効用関数は対数的に示され、一般的には「富の限界効用の遍減」と呼ばれます。

ケリーの公式を用いたベッティングではリターンの変動が激しいものの、長期的に見ればベッターは勝ち続け、資金を最大化することができます。

Daniel Bernoulliの理論をより実用化に近づけたのが、多くのベッターに「ケリーの公式」の名称で知られる、資産管理戦略です。1956年、John KellyがAT&Tのベル研究所で、長距離電話のノイズ問題の解決に当たっていた際に開発された「ケリーの公式」は、資産管理および収益成長を最適化させる手段として、たちまちギャンブラーや投資家たちの間に広まっていきました。

そもそもの動機はBernoulliとはまったく異なりましたが、ケリーの公式は数学的には対数的な効用関数に等しいものでした。ケリーの公式がその実践においてベッターに伝えるのは、ある賭けに対し、全所持金の何パーセントまでリスクを負うべきかということ。その割合は期待値(EV)に正比例すると同時に、勝率に反比例します。

「EV = po – 1」 (「p」は「正確な」勝率、「o」はそのベットのデシマルオッズ)の公式を踏まえると、ケリーの公式にもとづく賭け率(K)は、次のようになります。

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基本的に、ケリーの公式は期待される対数的満足度を最大化します。ただし、ケリーの公式を用いたベッティングではリターンの変動が激しいため、すべてのベッターの満足度を高めるとは限りません。さらに、ケリーの公式を用いたベッティングでは、特定の結果が発生する確率を「正確」に予測することが求められます。 

それでも、ケリーの公式を用いたベッティングは理論上、長期的に見ればベッターを勝たせ続け、資金を最大化することが可能です。もちろん、それにはケリーの公式のような特定の資産運用術の使用を見とがめられず、いくら勝ってもベッティングが制限されることのないブックメーカーを見つけることが条件となります。この点においても、Pinnacleの評判は他の追随を許しません。

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