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nov 1, 2018
nov 1, 2018

Fortuna e sfortuna: la sottile linea dell’aspettativa

Il classico esempio del lancio della moneta

La deviazione standard binomiale

La legge dei grandi numeri gioca a proprio favore o sfavore?

Fortuna e sfortuna: la sottile linea dell’aspettativa

Le scommesse spesso sono influenzate dalla fortuna. A volte possiamo sfruttare la fortuna e altre volte possiamo essere vittime della sfortuna. È importante capire quanto la fortuna influisca sulle scommesse, ma anche quanto è sottile la linea che separa la fortuna dalla sfortuna. Scoprilo continuando a leggere.

Le scommesse sportive si basano perlopiù sul caso. Quelli che vincono lo devono soprattutto alla fortuna, ma alla fine il margine del bookmaker e la legge dei grandi numeri avranno la meglio sulla maggior parte di loro. Chi ha familiarità con i miei articoli, che ho scritto nel corso degli anni, saprà che ho una teoria piuttosto intransigente quando si tratta delle probabilità degli scommettitori di realizzare un profitto sul lungo termine. Non mi aspetto che sia accettata da tutti perché segna il confine per ogni scommettitore tra speranza e realismo.

Per controbilanciare questa opinione molti articoli della sezione Risorse per le scommesse di Pinnacle sono pensati per istruire gli scommettitori a migliorare le proprie capacità riguardo le proprie previsioni. Ciò nonostante le regole della probabilità si applicano anche a quei pochi che riescono ad avere un’aspettativa di profitto sul lungo termine. In questo articolo analizzo in maniera più approfondita come. In particolare illustrerò quanto è sottile la linea tra fortuna e sfortuna.

Il classico esempio del lancio della moneta

Sappiamo tutti che il lancio di una moneta ha due possibili risultati: testa o croce. Sappiamo anche che se la lanciamo 20 volte la moneta non cade sempre 10 volte su testa e 10 volte su croce, nonostante questo sia il risultato più probabile. A volte esce 12 volte testa e 8 volte croce e a volte si verifica il risultato opposto. Molto occasionalmente il risultato finale potrebbe essere 5 volte testa e 15 volte croce. Per determinare le probabilità esatte di ogni possibile risultato possiamo utilizzare la distribuzione binomiale. Per 20 lanci di una moneta avrebbe questo aspetto.

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La maggior parte dei risultati probabili varia da 5 volte testa e 15 croce a 15 volte testa e 5 croce. Cosa cambia con 100 lanci? La distribuzione avrà questo aspetto.

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Questa volta la gamma dei risultati probabili è maggiore. Visivamente, per 20 lanci varia tra 5 e 15, per una differenza di 10. Per 100 lanci, questa variazione è quasi doppia, tra 40 e 60 volte testa. Questo significa che con l’aumentare del campione di lanci della moneta aumenta anche la gamma di possibili risultati? Sì e no.

Quando il matematico Jacob Bernoulli fece un esperimento utilizzando questo scenario osservò che, mentre la differenza numerica assoluta tra il numero di volte in cui usciva testa e croce poteva crescere con l’aumentare del campione, la percentuale di volte in cui usciva testa si avvicinava sempre più al 50%. 5 volte testa su 20 lanci è uguale al 25%, 40 volte su 100 è uguale al 40%. Questa seconda spiegazione, che getta le basi della legge dei grandi numeri, è una parte importante per la comprensione del concetto di probabilità da parte degli scommettitori. 

La deviazione standard binomiale

Possiamo misurare la variazione o la dispersione mostrata in una distribuzione utilizzando la deviazione standard. Per una distribuzione binomiale, la deviazione standard, σ, è data dalla seguente semplice equazione.

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In cui n è il numero di ripetizioni binarie (ad esempio i lanci della moneta), p è la probabilità di successo (testa) e q è la probabilità di insuccesso (croce). Quindi p + q = 1: 

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E per il caso semplice in cui p = q (vale a dire 0,5): 

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Per 20 lanci della moneta σ = 2,24, mentre per 100 lanci σ = 5.

La deviazione standard ci mostra la gamma dei risultati più probabili. Ad esempio, per 100 lanci di una moneta, poco più di due terzi del campione si attesteranno tra ±1σ o tra 45 e 55 volte in cui esce testa.

Abbiamo confermato la prima scoperta di Bernoulli: maggiore è il campione e maggiore è la differenza assoluta. Ma cosa succede se utilizziamo le percentuali di testa piuttosto che i numeri assoluti? Per calcolare la percentuale di volte in cui esce testa dividiamo il numero per le volte in cui è lanciata la moneta, n. Allo stesso modo per calcolare la deviazione standard in percentuali dobbiamo dividere per n. 

Quindi per un esempio in cui ci sono due possibilità con la stessa probabilità:

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Quindi per 20 lanci la deviazione standard in percentuale del risultato testa è di 0,11 (o 11%), ma per 100 lanci è di solo 0,05 (o 5%).

La legge dei grandi numeri

Secondo la legge dei grandi numeri la media dei risultati ottenuti da un numero di tentativi tende a essere più vicina al valore previsto con l’aumentare dei tentativi. Per il lancio di una moneta, più volte si lancia la moneta e più la percentuale delle volte in cui esce testa si avvicina al valore previsto del 50%.

Poiché la deviazione standard in percentuali è proporzionale alla radice quadrata del numero di lanci, le due variabili formano la cosiddetta legge di potenza con la deviazione standard che varia con la potenza o il logaritmo del numero di lanci. In un grafico bilogaritmico la relazione mostra una linea dritta, in cui per ogni radice di n il valore di σ si dimezza.

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Questa relazione della legge di potenza significa che, proporzionalmente parlando, il calo maggiore nella deviazione standard si verifica nei primissimi tentativi. Da σ=0,5 dopo il primo lancio della moneta, scende a 0,1 dopo 25 tiri, quattro quinti verso il valore minimo di zero (dopo un numero infinito di tiri). In questo modo possiamo comprendere quanto velocemente agisce la legge dei grandi numeri. Ritracciare la precedente tabella con delle scale lineari dovrebbe aiutare a visualizzare questa velocità. 

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Vincite e perdite nelle scommesse

Le vincite e le perdite nelle scommesse sono molto simili al risultato di testa e quello di croce nel lancio di una moneta. Una scommessa, essenzialmente, è una proposta binaria nella quale è possibile vincere o perdere. Per questo motivo, per le cronologie di scommessa più semplici in cui la probabilità prevista di ogni vincita rimane uguale, i risultati possibili saranno distribuiti in maniera binomiale.

Un esempio ovvio di questa offerta binaria potrebbero essere le scommesse sugli spread degli sport americani o gli handicap asiatici del calcio in cui si applica un handicap a una delle due squadre in modo da avere due opzioni con la stessa possibilità e con una quota senza margine di 2,00. 

Tuttavia non dobbiamo limitarci a scommesse in cui le possibilità di vincita e di perdita sono uguali. Riprendiamo la precedente equazione per la deviazione standard in percentuali. La versione più generica che permette di considerare altre percentuali di vittoria prevista è la seguente. 

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Anche per quegli scommettitori in grado di avere un valore previsto positivo sul lungo periodo, quello che succede prevalentemente sarà un picco casuale rispetto a prestazioni relativamente anonime, semplicemente a causa della variabilità casuale intrinseca di sistemi complessi come gli eventi sportivi.

Ovviamente nel mondo reale delle scommesse, chi non è un professionista non raggiungerà le aspettative. Dopo aver preso in considerazione il margine imposto dal bookmaker è inevitabile perdere denaro dopo 1000 puntate.

Immaginiamo uno scommettitore che gioca su quote che hanno probabilità di vincita e di perdita uguali e sul lungo periodo ne vince il 55%. Ha portato la sua percentuale di vittoria prevista dal 50% al 55% grazie alle sue capacità di previsione, ma si applicano le stesse regole binomiali di varianza.

Con la precedente equazione possiamo mostrare che la sua deviazione standard nella percentuale di vincita delle scommesse dovrebbe essere del 3% dopo 275 scommesse, questo implica che la probabilità che la percentuale di vittorie sia tra il 52% e il 58% per quel genere di cronologia delle scommesse sia di due terzi. 

Supponendo che le scommesse abbiano la stessa probabilità di vittoria prevista (quote) per ogni puntata, possiamo utilizzare la distribuzione binomiale per determinare più o meno la probabilità che avvenga qualsiasi cosa (in Excel lo si può effettuare attraverso la funzione BINOMDIST).

In seguito l'ho illustrato per una serie di cronologie di scommesse. La prima è una cronologia di sole 20 puntate. I valori numerici nel grafico mostrano che la probabilità cumulativa della percentuale di vittoria è più alta rispetto a un determinato valore. Ad esempio, si ha circa il 9% di possibilità di vincere più di sei scommesse (30%) se l’aspettativa sul lungo termine è del 20%. Si ha più o meno una possibilità dell’1% di vincere tutte le 20 scommesse se ci si aspetta di vincerne 16. 

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Le zone rosse e verdi, in generale, segnalano rispettivamente le zone di perdita e quelle di profitto, nel caso in cui non sia applicato un margine alle scommesse. Non c’è da sorprendersi che se si perdono più scommesse rispetto a quelle che si era previsto si avrà una perdita dal punto di vista economico, ma è possibile vedere che non è molto comune avere delle prestazioni decisamente inferiori a quelle previste.

Anche dopo 20 puntate con quote a 2,00 tre quarti delle volte ci si può aspettare di vincerne nove o di più. La legge dei grandi numeri è dalla parte dello scommettitore e lo protegge contro la possibilità di perdite percentuali significative.

Tuttavia, anche la conseguenza di questo ragionamento è vera. Se si vince un numero maggiore di scommesse rispetto a quelle previste si realizzerà un profitto, ma è improbabile che si tratti di grandi profitti. Anche se si è uno scommettitore bravo in grado di vincere il 55% delle puntate alla pari sul lungo periodo, si avrà solo il 13% di possibilità di vincere 14 scommesse su 20. In questo caso la legge dei grandi numeri è a sfavore e impedisce di realizzare dei guadagni percentuali significativi. 

La parte in giallo è più o meno l’area in cui gli scommettitori andranno in pari. Quello che sorprende è quanto sia sottile la zona tra l’eccessiva fortuna e la sfortuna e dove si trova la maggior parte delle prestazioni di scommessa.

Osserviamo quello che succede all’area gialla dopo 100 puntate.

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Le possibilità di trovarsi molto distanti rispetto a un’aspettativa sul lungo termine sono diminuite considerevolmente. E dopo 1000 puntate?

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Ovviamente nel mondo reale delle scommesse, chi non è un professionista non raggiungerà le aspettative. Dopo aver preso in considerazione il margine imposto dal bookmaker è inevitabile non perdere denaro dopo 1000 puntate. La legge dei grandi numeri ci ha distrutti. Tuttavia, la situazione è molto diversa quando si tratta di scommettitori professionisti.

Se ci si aspetta di vincere il 55% di 1000 scommesse con quota di 2,00, quasi sempre se ne vinceranno almeno il 50%. Considerando che il margine del bookmaker è inferiore rispetto alla differenza tra quello che ci si aspetta possa essere la percentuale di vittoria e quello che i bookmaker si aspettano che sia, si ha un’ottima possibilità di avere un profitto sul lungo termine. Il famoso sito Web ProfessionalGambleer.com lo spiega chiaramente:

“la differenza tra la percentuale di scommesse vinte da uno scommettitore di successo e la percentuale di scommesse vinte da chi solitamente perde è relativamente molto bassa”.

Ora siamo in grado di capire quanto bassa. La legge dei grandi numeri ha la capacità di essere una benedizione o una maledizione per uno scommettitore. 

Ovviamente le scommesse della maggior parte delle persone non sono così semplici come suggerito da questo articolo, e gli scommettitori scelgono tra diverse quote e puntate. Per analizzare le varie tipologie avremmo bisogno di concetti matematici molto più complessi o utilizzare una tanto cara simulazione di Monte Carlo, e la cosa diventa troppo complessa. 

Inoltre non ho considerato le varianze nei profitti reali e nelle perdite che è un altro argomento di interesse e che ho trattato in articoli precedenti (più sono alte le quote, maggiore è la varianza nei profitti e nelle perdite).

Ciò nonostante lo scopo di questo articolo era mostrare la velocità e la forza della legge dei grandi numeri e quanto sia sottile la linea tra i risultati previsti e reali e il settore della fortuna e della sfortuna.

Verificare la credibilità delle cronologie di scommesse

Prima di concludere vorrei mostrare come è possibile utilizzare le informazioni riguardo alla deviazione standard nelle percentuali di vittoria reali per verificare la credibilità delle cronologie di scommesse dichiarate da chi offre servizi di consulenza sulle scommesse sperando di vendere le proprie selezioni. 

Come esempio possiamo utilizzare una società che gioca sugli handicap che offre un “approccio onesto e trasparente” ai “principi di gioco sugli handicap”. La società, evidentemente, è consapevole della casualità nelle scommesse sportive, spiegando ai clienti che non esiste qualcuno sicuro di vincere e che “c’è sempre un elemento di fortuna in questo contesto”. Ciò nonostante con una percentuale di vittoria dichiarata del 76% su 11.000 selezioni sembra che questa società sia riuscita a controllare l'instabilità.

Secondo la legge dei grandi numeri, la media dei risultati ottenuti da un numero di tentativi tende a essere più vicina al valore previsto con l’aumentare dei tentativi.

Esaminando più a fondo, i risultati pubblicati aggiornati mostrano una percentuale di vittoria del 75% su 10.312 selezioni (evidentemente hanno tolto qualche selezione). Nonostante ci sia qualche selezione con quote alte e basse, nel 94% dei casi le quote sono comprese tra 1,67 e 2,50 (o probabilità implicite di vittoria tra il 60% e il 40%). La probabilità di vittoria implicita media per il campione intero è del 52,2% e dopo aver rimosso il margine del bookmaker si avvicina a una scommessa in cui le probabilità di vittoria e perdita sono uguali e non c’è differenza.

Dividendo i risultati in 56 campioni mensili (da marzo 2014 a ottobre 2018) notiamo una media di 184 selezioni mensili e più di metà variano tra i 140 e le 224 selezioni. Se diamo per scontato che la percentuale di vittoria prevista sul lungo periodo è del 75%, quanto dovrebbe variare la percentuale di vittoria mensile? Utilizzando la nostra equazione per calcolare la deviazione standard prevista nelle percentuali di vittoria per un campione di 184 selezioni troviamo che la risposta è di poco superiore al 3%. Solo due terzi dei campioni sono tra il 72% e il 78%, mentre il 95% varia dal 69% all’81%.

In realtà la deviazione standard in percentuali di vittoria mensili è dell’8,6% molto più alta rispetto a quello che dovrebbe essere. Meno del 40% dei valori si attesta tra ±1σ del 75% e poco più di metà tra ±2σ. Semplicemente, c’è troppa varianza. Anche se ipotizzassimo che ogni mese avesse solamente 32 selezioni, il mese con il numero minore di giocate, la deviazione standard sarebbe comunque del 7,7%. 

Una deviazione standard nelle percentuali di vittoria mensili dell’8,6% si potrebbe aspettare per campioni di 25 selezioni, non di 184. Nel dicembre del 2014 ci sono state 151 selezioni con un’aspettativa di vittoria implicita media del 51,4%. Ci si aspetterebbe una percentuale di vittoria del 46,4% una volta ogni trilione di anni. Nell’ottobre del 2015 ci sono state 168 selezioni (aspettativa di vittoria implicita media del 48,5%) e 154, il 91,7%, sono risultate vincenti. Una prestazione del genere per informatori di questo livello normalmente può verificarsi una volta ogni milione di anni.

Lascio alla tua immaginazione capire cosa possiamo concludere da questi dati. Forse si può dire che i livelli di abilità possono cambiare in maniera vertiginosa in un lasso di tempo breve. Forse è un argomento che deve essere trattato. Ma, considerando che ho dovuto parlare dei limiti dell’aspettativa di profitto, sono sicuro che tu sappia che una percentuale di vittoria del 76% sugli handicap è qualcosa di ridicolo e da ignorare.

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