Il criterio di Kelly è spesso argomento di dibattito tra gli scommettitori. Pinnacle ha pubblicato diversi articoli sull'argomento, da spiegazioni semplici ad analisi complesse. Come funziona un approccio frazionario al criterio di Kelly e rappresenta la migliore opzione per gli scommettitori professionisti? Scoprilo continuando a leggere.
Nel mio articolo del mese scorso ho riconsiderato il criterio di Kelly come un metodo per la gestione dei soldi. Per fare un riassunto possiamo dire che Kelly sostiene che bisogna puntare in proporzione alle probabilità di vincita e al proprio vantaggio percepito sulle quote del bookmaker.
Piuttosto sorprendentemente ho trovato che il criterio di Kelly è in grado di adattare i rischi di non conoscere esattamente il proprio vantaggio finché non si è mediamente accurati. Tuttavia, quando Joe Peta, nella sua analisi sul criterio di Kelly scriveva: "Non importa quale sia il ritorno previsto calcolato, la varianza sarà alta in modo ridicolo... e... non investibile" aveva in parte ragione.
In questa seconda parte analizzo cosa possiamo fare per ridurre questi rischi derivanti dalla varianza e quale impatto possa avere sulla profittabilità prevista.
Spesso si dice che un grande problema con il criterio di Kelly sia quello della crescita delle risorse finanziarie irregolare con guadagni interrotti da perdite, che a volte, possono essere significative. In altre parole l'evoluzione delle risorse finanziarie è volatile.
Se ci ricordiamo come si calcola la puntata con Kelly (vantaggio-1/quote-1), avranno origine improvvisi e grandi cali di prestazioni quando si presenta una scommessa con una quota bassa, che crediamo abbia una significativa prospettiva positiva, che risulta perdente.
Una partita di Ligue 1 di questo mese ci fornisce un esempio di quello che è appena stato detto. Un bookmaker concorrente quotò la vittoria del PSG contro il Caen a 1,35, mentre Pinnacle offriva la stessa quota a 1,20 Preso in considerazione il margine, questo significava un vantaggio previsto dell'11,5% (presupponendo che Pinnacle avesse una quota più precisa) e una percentuale della puntata di Kelly del 32,8%.
La partita del PSG contro il Caen terminò con un pareggio e quasi un terzo delle risorse finanziarie di Kelly sarebbe andato in fumo con una sola scommessa. Comprensibilmente questo non è il genere di calo di prestazioni che la maggior parte degli scommettitori può tollerare, anche se ci sono altre opportunità disponibili per far crescere le proprie risorse in maniera simile.
Per la maggior parte delle persone, anche persone che cercano i rischi, perdite di questo genere fanno decisamente più male rispetto a percentuali di guadagno simili. Nel suo libro Thinking, Fast and Slow, Daniel Kahneman lo spiega con un semplice esperimento.
A) Vengono dati $ 1.000 da sommare ai soldi che una persona ha già. Alla persona viene chiesto di scegliere una delle due opzioni:
1) 50% di possibilità di vincere $ 1.000
2) Guadagnare $ 500 di sicuro
B)Vengono dati $ 2.000 da sommare ai soldi che una persona ha già. Alla persona viene chiesto di scegliere una delle due opzioni:
1) 50% di possibilità di perdere $ 1.000
2) Perdere $ 500 di sicuro
In termini di ricchezza assoluta, i risultati dei problemi A e B sono identici. Se si sceglie l'opzione sicura sia nel problema A sia nel problema B la somma finale sarà $ 1.500 (oltre al denaro esistente). Se si sceglie di scommettere, ci si può ritrovare con $ 2.000 o $ 1.000 a seconda del risultato. Quale delle due opzioni sceglieresti?
Quando Kahneman e il suo collega Amos Tversky sperimentarono questo problema, scoprirono che la maggior parte delle persone che risposero mostrarono un'avversione al rischio (e scelsero l'opzione sicura) quando fu presentata loro la possibilità di guadagno in A e la ricerca del rischio (e accettato il rischio) quando fu loro presentata una perdita in B.
Le opzioni equivalenti dello stesso problema decisionale dovrebbe portare a scelte identiche. Ma poiché in questo esempio non è così, è ovvio che le persone non si sono comportate in maniera razionale. La spiegazione è che i problemi A e B hanno diversi punti di partenza e di riferimento.
In A era la ricchezza esistente + $ 1.000 e in B era la ricchezza esistente + $ 2.000. Kahneman sostiene che, dato che pochi noi fanno molta attenzione a questi punti di riferimento, la nostra mentalità per i guadagni e le perdite non deriva dalla nostra valutazione di stati assoluti di ricchezza, ma di quelli relativi. E in termini dell'utilità dei guadagni e delle perdite non ci piace perdere più di quanto ci piace vincere.
Accetteresti una scommessa senza margine alla pari che potrebbe far aumentare le tue risorse finanziarie di un terzo se vincente, ma si ridurrebbe in un terzo se perdente? Se non l'accetteresti, come sospetto farebbe la maggior parte di noi, stai dimostrando un'avversione alla perdita. Quanto deve essere alta la probabilità di vincita prima che tu possa considerare di cambiare idea? 60%? 70%? 95%? O più alta?
Da un punto di vista evolutivo non è sorprendente che le perdite ci motivino più dei guadagni. Come Kahneman ha spiegato, esseri viventi che valutano i pericoli in maniera più attenta rispetto alle opportunità, hanno una possibilità migliore di sopravvivere e riprodursi.
Il fatto che rappresentiamo i vincitori dell'evoluzione (dopotutto siamo ancora al mondo), implica che l'avversione alla perdita è un adattamento selezionato preferenziale secondo la selezione naturale.
Tramite l'evoluzione i nostri circuiti neurali si sono messi a punto per rilevare cambiamenti relativi negli stimoli piuttosto che nei valori assoluti. Puoi confermare questa affermazione tu stesso utilizzando tre bicchieri d'acqua, uno caldo, uno freddo e uno con una temperatura intermedia.
Lascia la mano sinistra per circa un minuto nel bicchiere caldo e la mano destra in quello freddo, prima di inserirle entrambe simultaneamente in quello intermedio. Nonostante entrambe le mani siano soggette alla stessa temperatura assoluta, la tua mano sinistra sentirà più freddo, mentre quella destra sentirà più caldo a causa dei diversi punti di riferimenti iniziali.
Se la nostra predisposizione all’avversione alla perdita rende, necessariamente, i rischi legati alla volatilità associati con un metodo di puntata di Kelly completo così alti da non poterci investire, l’ovvia soluzione è ridurre l'importo delle puntate di Kelly. Ma esattamente come influenzerà la profittabilità prevista di questa strategia di gestione delle proprie risorse finanziarie?
Numerose fonti suggeriscono che dimezzando la puntata di Kelly lo scommettitore può ridurre in maniera significativa la volatilità nello sviluppo delle proprie risorse, riuscendo a mantenere la maggior parte dei guadagni previsti. Facciamo qualche simulazione per scoprire se questo è corretto.
Seguendo la stessa serie di 250 puntate alla pari in cui uno scommettitore ha un vantaggio del 4% (percentuale di vittoria prevista del 52%), la prima tabella in basso mostra un esempio di simulazione.
Sono messi a confronto quattro piani di puntata: Kelly completo, metà Kelly, un quarto di Kelly e un ottavo di Kelly. Se una puntata di Kelly completa fosse dell’8%, la metà, un quarto e un ottavo di Kelly sarebbero rispettivamente del 4%, del 2% e dell’1%. Come ci si poteva aspettare la volatilità o la varianza nell’evoluzione delle risorse finanziarie è più grande quando si utilizza un metodo di Kelly completo e inferiore quando si usa un ottavo di Kelly.
La seguente tabella mostra che, quando le nostre prestazioni sono più fortunate rispetto a quello che ci si aspetta, un metodo Kelly completo ha delle prestazioni decisamente migliori, relativamente parlando, rispetto a quelle delle rispettive frazioni.
Allo stesso modo, quando siamo sfortunati, un metodo di Kelly completo andrà incontro a perdite molto più grandi. La terza tabella mostra una serie di 10 perdite consecutive che riducono le proprie risorse del 30%. Per un metodo di puntata ottavo di Kelly, si tratta solamente del 3,75%. Come ho già spiegato, questo genere di perdite è particolarmente sgradevole per la maggior parte degli scommettitori, nonostante le vincite siano potenzialmente maggiori con il metodo di Kelly completo.
Ma queste sono tre possibili situazioni per scommettitori che giocano su quote alla pari e con un vantaggio del 4%. Dobbiamo effettuare un’altra simulazione di Monte Carlo per determinare cosa bisogna aspettarsi mediamente.
Ho effettuato un’altra simulazione di Monte Carlo di 10.000 serie mettendo a confronto i quattro piani frazionari di Kelly riguardo alla loro probabilità di finire con risorse inferiori rispetto a quelle con cui si è iniziato. Bisogna ricordarsi che circa il 14% dei casi termina con meno del 60% delle risorse iniziali, questo conferma le critiche iniziali di Joe Peta riguardo a questa strategia.
In questa nuova simulazione questo risultato è stato ripetuto all’interno dei limiti della possibilità. Nella seguente tabella sono mostrate tutte le probabilità.
Ridurre il volume della puntata di Kelly non influenza in maniera significativa le probabilità di non riuscire ad avere un profitto dopo 250 scommesse alla pari, ma protegge contro perdite significative superiori al 20%.
Dividere di metà una puntata dimezza le probabilità di perdere il 20% delle proprie risorse. Dimezzare ulteriormente le puntate le riduce quasi a zero. Per perdite del 40% la riduzione del rischio è ancora più significativa. Ma a quale costo sulla profittabilità prevista?
La seguente tabella mostra le risorse finanziarie medie e mediane dopo 250 puntate per ognuna delle quattro strategie.
Nonostante il profitto medio previsto per metà di Kelly sia significativamente più basso rispetto al Kelly completo, l’aspettativa mediana è ridotta solamente di circa un quarto. Bisogna ricordarsi che, poiché i piani di puntata proporzionali deviano la profittabilità media prevista a causa di pochissimi casi in cui le risorse finanziarie sono state molto positive, si può dire che la mediana fornisce una misura migliore di quello che potrebbe succedere. Ad esempio, una mediana di 116 implica che circa il 50% delle risorse finali sia inferiore o uguale a 116 e circa il 50% superiore a 116. Inoltre, sembrerebbe che riducendo i rischi dimezzando (o dividendo ulteriormente) le puntate di Kelly sia un prezzo che vale la pena di pagare.
La tabella finale mostra i risultati di una seconda simulazione di Monte Carlo in cui lo scommettitore ha un vantaggio medio dell’8% (54% di probabilità di vittoria). Le conclusioni sono in linea di massima simili: si può ridurre il rischio di perdere in maniera significativa eliminando solamente una piccola proporzione della profittabilità (mediana) prevista.
Un approccio di Kelly frazionario sembra offrire agli scommettitori una soluzione ai rischi derivanti dalla volatilità associata con una puntata Kelly completa senza rinunciare troppo al vantaggio offerto dalla strategia di Kelly rispetto a una strategia di puntata fissa. Per chi è avverso a grandi perdite, questa dovrebbe essere una buona notizia.
Ovviamente, come sempre, il problema più difficile è essere sicuri di avere un vantaggio rispetto alle quote pubblicate, credere o sapere che sia così non è la stessa cosa. Non permettere che l’eccessiva sicurezza in te stesso a questo riguardo possa ritorcersi contro di te.
L'autore
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