Piazzare una scommessa: il costo della varianza

Come si fa a sapere quanto vale una scommessa?

La varianza ha un costo reale

Il rischio di varianza si trasforma in un costo?

Piazzare una scommessa: il costo della varianza

Come si fa a sapere quanto vale una scommessa dopo averla piazzata? Se si comprende il costo della varianza, le scommesse potranno diventare più redditizie a lungo termine. Scopri di più continuando a leggere.

Di recente, ho definito una quantità utile per gli scommettitori seri detta "Equivalente di scambio" per far capire meglio il concetto. Lo scopo è calcolare la relazione tra il valore atteso (Expected Value, EV) delle posizioni rischiose e i corrispondenti equivalenti certi (Certainty Equivalents, CE). Se si moltiplica l'EV della propria posizione per l'Equivalente di scambio, si ottiene l'Equivalente certo (ovvero, la somma che si è disposti ad accettare rinunciando al guadagno più alto ma incerto della scommessa). Ma, al di là di questa importante conversione, è possibile usare questa formula per calcolare il costo della varianza.

Per la maggior parte delle persone, il concetto di varianza è oscuro e misterioso, ma per gli scommettitori sportivi più acuti, rappresenta gli inevitabili alti e bassi dei profitti nel percorso verso il successo finale nel lungo periodo. Il fatto è che non è solo un fastidio da sopportare per realizzare il ritorno teorico sull'investimento (ROI): in realtà ha un costo. Come mai? Perché se così non fosse, l'equivalente certo per una scommessa sarebbe identico al valore atteso attuale. In precedenza, ho scritto diversi articoli spiegando che i due valori non coincidono.

Possiamo definire il costo effettivo della varianza (CoV) come la differenza tra EV e CE, e, anche se in genere si tratta di una piccola percentuale della somma investita nelle singole scommesse, nel lungo periodo può generare un profitto notevole. Per rappresentare l'Equivalente di scambio possiamo usare equazioni. Possiamo dire che entrambe queste equazioni sono vere:

CE = s * EV
CoV = EV - CE

Possiamo combinarle e vedremo che il vero costo della varianza è l'EV x (1 – l'Equivalente di scambio):

CoV = EV - CE = EV - s * EV
CoV = EV * (1-s)

Ad esempio, supponiamo che il bookmaker XYZ abbia una quota sulla partita di baseball Diamondbacks-Rockies di oggi: D'backs +130/Rockies -150 (o D'backs 2,30/Rockies 1,60 in quote decimali). In base alle quote di Pinnacle, ritieni che i Rockies abbiano esattamente il 60% di possibilità di vincere. In teoria, potresti scommettere sui Rockies presso il bookmaker XYZ e avere un EV netto di 0 (cioè, il valore atteso della tua scommessa è esattamente identico al valore del denaro che scommetti). In effetti, potresti pensare, dopo aver piazzato questa stessa scommessa a EV neutro più e più volte, che le cose alla fine si uniformeranno e questo equivale esattamente a tenere i soldi in tasca.

Ma queste cifre non riflettono la situazione nel suo complesso. Si concentrano solo su un aspetto delle scommesse: la dimensione del valore. Esiste una dimensione completamente diversa che incide sul risultato per noi: il rischio. Se scommetti sui Rockies, indipendentemente dall'EV, rischi denaro e incorrerai in una varianza per riguadagnarlo. Quanto ti costa la varianza? Vediamo.

Diciamo che hai una somma di 1.000 $ e, poiché non perdi EV, decidi di procedere e scommettere 50 $ sui Rockies. Vincerai il 60% delle volte (con un rendimento di 83,33 $) e perderai il 40% delle volte (senza alcun rendimento). Il valore atteso del bankroll dopo la partita è:

0,6 * 83,33 $ + 0,4 * 0 $ + 950 $ = 50 $ + 950 $ = 1000 $

Ma qual è l'Equivalente di scambio per il tuo ticket quando hai piazzato la scommessa? Possiamo calcolarlo in questo modo:

s = ((1 + w) ^ p - 1)/pw
s = ((1 + 0,088) ^ 0,6 - 1)/(0,6 * 0,088)
s = (1,052 - 1)/0,053
s = 0,985 o 98,5%

Dove:

w = vincita della scommessa come percentuale del bankroll

p = probabilità che la scommessa risulti vincente (in questo esempio è del 60%)

La vincita, w, sarà 83,33 $/950 $ = 0,088, poiché dopo aver piazzato la scommessa il bankroll rimanente sarà di 950 $. Quindi, mentre l'EV del ticket è di 50 $, il CE è solo (50 $ * 98,5%) o 49,25 $. Ora possiamo mostrare che il costo della varianza che hai sostenuto è:

CoV = EV * (1 - s)
CoV = 50 $ * (1 - 0,985)
CoV = 50 $ * 0,015
CoV = 0,75 $

Una china pericolosa per il bankroll

Può sembrare un importo insignificante, ma se dovessi piazzare questa scommessa più e più volte, ti costerebbe un piccolo importo in termini di crescita teorica ogni volta e molto probabilmente finiresti al verde. Infatti, in una simulazione in cui si è piazzata questa scommessa 10.000 volte, il bankroll è stato prosciugato l'81,6% delle volte (di seguito è riportato un grafico con cinque simulazioni tipiche)

In-Article-The-Cost-of-Variance-.png

Per capire meglio, scopri quale sarebbe il tuo bankroll in caso di vincita a confronto con la perdita. Se vinci, il tuo bankroll sarà di 1033 $, quindi la prossima volta che scommetti 50 $, questa scommessa rappresenterà solo il 4,8% della somma investita. D'altra parte, se perdi, il tuo bankroll sarà di soli 950 $ e la tua puntata successiva di 50 $ rappresenterà il 5,3% della somma. Quindi, ogni volta che vinci, scommetterai una frazione più piccola del tuo bankroll la volta successiva, mentre, ogni volta che perdi, scommetterai una frazione maggiore. Quella piccola differenza alla fine diventerà una percentuale notevole del bankroll rimanente quando le cose vanno male. Non si tratta di una formula per racimolare una fortuna o anche per andare in pari.

Dal momento che non scommetti mai il 100% del bankroll, non potrai mai perderlo tutto, giusto? Si tratta di una teoria accettabile. Ma è vera?

Forse credi di poter risolvere il problema puntando in modo proporzionale: scommettendo il 5% del bankroll attuale invece di 50 $ ogni volta, scommetterai di più quando vinci e di meno quando perdi e tutto si livellerà. Inoltre, dal momento che non scommetti mai il 100% del bankroll, non potrai mai perderlo tutto, giusto? Si tratta di una teoria accettabile. Ma è vera? Parliamo prima del caso in cui prosciughi tutto il bankroll. Anche se è vero che tecnicamente non puoi mai perdere tutto il bankroll con una puntata proporzionale, come ti sentiresti se ti restassero solo 10 $? Probabilmente ti sembrerebbe decisamente di essere al verde. Quindi facciamo un'altra simulazione in cui scommetti il 5% del bankroll alle stesse condizioni di prima, tranne per il fatto che se scendi sotto i 10 $ sei considerato al verde. Qual è il risultato di questa simulazione?

Anche peggiore. Dato che scommetti molto di più dopo una vincita, le tue perdite successive risultano molto peggiori, anche se la fortuna ti sorride all'inizio (che è probabilmente l'unico modo per non andare in fallimento dopo 10.000 scommesse). In questo modo, di solito avrai un risultato simile a quello riportato nel grafico qui sotto (con l'asse delle Y mostrato su una scala logaritmica per chiarezza) e prosciugherai il tuo bankroll più dell'88% delle volte:

In-Article-The-Cost-of-Variance-2.png

Non dovrebbe essere una sorpresa. Considerata una percentuale di scommessa di quelle dimensioni e senza margine, la tua Crescita prevista (Expected Growth, EG) per piazzare quella scommessa una volta è -0,083%. Potrebbe non sembrare molto, ma dopo 5.600 scommesse, il tuo bankroll di 1.000 $ risulterebbe ridotto in media a meno di 10 $. Se fai un calcolo del tuo ROI previsto per le stesse quote, ma con un margine del 3,3%, scoprirai che la tua frazione di Kelly completa è del 5% per le scommesse sui Rockies e il tuo EG è +0,083%. È esattamente uguale e opposto al -EG del mio esempio, il che significa che la tua insoddisfazione nel piazzare la scommessa con una EV neutra sarebbe esattamente pari alla soddisfazione nel piazzarla con un margine del 3,3%.

Ora, questo non significa che scommettere su quote EV neutre sia il peggior errore che puoi fare o che sia grave quanto scommettere casualmente su un mercato con un margine del 4% o più. Ma, quando non hai un bankroll infinito, non dovresti puntare su un livellamento dei tuoi risultati per eguagliare il tuo EV matematico. Il tuo obiettivo dovrebbe essere quello di rischiare solo in base ai premi teorici che potresti vincere.

Se, invece di uno scommettitore medio, fossi Jeff Bezos e avessi un bankroll di 100 miliardi $, l'Equivalente di scambio per il tuo ticket sarebbe essenzialmente il 100%, quindi la tua scommessa non avrebbe alcun costo economico. Le equazioni dell'Equivalente di scambio e del costo della varianza risulterebbero così:

s = ((1 + w) ^ p - 1) / pw
s = ((1 + 0,00000000083) ^ 0,6 - 1)/(0,6 * 0,00000000083)
s ≅ (1,0000000005 - 1)/0,0000000005
s = 1 o 100%
CoV = EV * (1 - s)
CoV = 50 * (1 - 1)
CoV = 0 $

Conclusione

Una volta compreso che la varianza ha un costo reale, è più facile capire perché non dovresti concentrarti semplicemente sulla ricerca di scommesse +EV e ignorare quelle -EV o neutre. Il rischio della varianza costa, come una commissione o una percentuale quando fai trading di azioni, quindi puoi avere un vantaggio reale riducendo il rischio. A volte ciò significa scommettere di meno, per cominciare, ma anche se scommetti correttamente (alla dimensione ottimale o inferiore) in molte situazioni l'EV della scommessa cambia e supera l'Equivalente certo di un importo notevole.

In queste posizioni, la copertura del rischio (scommettere sull'altra parte con un bookmaker a basso margine come Pinnacle o negoziare alcune o tutte le tue posizioni in una borsa) funge da polizza assicurativa. E, se il costo della polizza è inferiore al costo della varianza, acquistarla risulta la mossa più redditizia.

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L'autore di questo articolo è Dan Abrams.

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