apr 30, 2018
apr 30, 2018

Riconsiderare il criterio di Kelly: una valutazione del rischio

Cos’è il criterio di Kelly?

Quanto è rischioso il criterio di Kelly?

Perché è importante conoscere il proprio vantaggio

Riconsiderare il criterio di Kelly: una valutazione del rischio

Utilizzare un metodo di puntata (o strategia per la gestione delle proprie risorse finanziarie) è un componente importante per avere dei profitti consistenti con le scommesse. Il criterio di Kelly spesso è considerato come la migliore opzione da utilizzare per diversi motivi, ma come funziona in pratica? Quanto è rischioso il criterio di Kelly? Scoprilo continuando a leggere.

Il criterio di Kelly è stato spesso descritto come la strategia per la gestione delle finanze più efficace per ottimizzare la percentuale di crescita delle risorse di uno scommettitore. Nella sezione Risorse per le scommesse di Pinnacle sono presenti diversi articoli che mostrano cos'è il criterio di Kelly, il suo funzionamento e i suoi vantaggi e svantaggi. In questo articolo offro una semplice valutazione del rischio del metodo di puntata.

Cos’è il criterio di Kelly?

Dominic Cortis, autore di Pinnacle e matematico all'Università di Malta, descrive il criterio di Kelly come un metodo per calcolare la parte dei propri fondi disponibili per scommettere su un risultato di cui le quote sono più alte rispetto a quelle previste per poter far crescere i fondi in maniera esponenziale.

Sviluppato da John Kelly quando lavorava all'AT&T's Bell Labs nel 1956, il criterio di Kelly fornisce un metodo giustificato economicamente e preciso matematicamente per calcolare gli importi ottimali da scommettere per ottimizzare la crescita generale delle risorse finanziarie prendendo in considerazione la percentuale di ritorno previsto e il rischio. Questo si può fare con la seguente equazione semplice:

Percentuale di puntata di Kelly = Margine-1/Quote-1

Per margine si intende il vantaggio che si ha (o si pensa di avere) sulle quote reali del bookmaker. Ad esempio, se si pensa che le quote reali di un risultato siano di 2,00 (una probabilità del 50% di successo), ma il bookmaker offre una quota di 2,10, il margine si calcola con la divisione 2,1/2,00=1,05.

Un "margine" è semplicemente un altro modo per chiamare il valore previsto. Le quote nella precedente equazione devono essere decimali. Quindi, per questo esempio, la percentuale di puntata con il criterio di Kelly sarà 0,05 o il 5%.

Il criterio di Kelly è un esempio di metodo di puntata proporzionale in cui la misura della puntata è proporzionale alle finanze esistenti e crescerà o diminuirà a seconda dell'andamento positivo o negativo delle proprie risorse, a differenza delle puntate livellate in cui l'importo è fisso a un importo predeterminato.

Quello che rende particolare Kelly è che tiene in considerazione la dimensione del vantaggio percepito e il valore della quota. Maggiore è il vantaggio e/o più bassa è la quota e maggiore sarà la puntata.

È evidente che ci siano dei problemi associati al calcolo delle percentuali di puntata con il criterio di Kelly quando si scommette su più di un risultato o partita simultaneamente, Pinnacle ha pubblicato un articolo al riguardo. Tuttavia, in questo articolo considereremo una forma semplificata di Kelly applicabile a una scommessa alla volta.

Quanto è rischioso il criterio di Kelly?

Essendo una strategia di gestione delle scommesse proporzionale è abbastanza evidente che tecnicamente non si può perdere tutto utilizzando il criterio di Kelly. Più si perde e più piccole diventeranno le puntate, ma teoricamente non si raggiungerà mai lo zero. 

A differenza dei giochi del casinò che si basano su algoritmi matematici conosciuti, conoscere le probabilità reali di un sistema complesso come una partita di calcio è impossibile.

Ciononostante, in termini pratici, si raggiungerà un limite in cui le perdite che si hanno saranno considerate inaccettabili. Per questa ragione è forse più appropriato considerare la varianza delle proprie risorse finanziare e se le proprie preferenze di rischio siano abbastanza forti per far fronte a queste problematiche.

Joe Peta, operatore di borsa che ha scritto per Pinnacle, in passato affermò che: "Il problema quando si utilizza il criterio di Kelly è che non importa quale sia il profitto previsto calcolato, la propria varianza sarà esageratamente alta e, per come la vedo io, non fattibile." Ci chiede di considerare un ipotetico scommettitore che vince il 52% delle sue scommesse con una quota a 2,00. Il criterio di Kelly implica che la percentuale di puntata sia del 4% 

Presupponendo una serie di 250 scommesse, Peta sostiene che ci sia una possibilità superiore al 10% che le sue risorse finanziarie siano di almeno il 40% più basse alla fine. È corretto? 

Sembrerebbe un dato molto vicino alla realtà. Utilizzando questi parametri in una simulazione di Monte Carlo a 10.000 prove, il 14% delle risorse finanziarie finali erano del 60% inferiori rispetto ai fondi iniziali. Questo dato deve essere confrontato con il 9% dei casi che si è verificato lo stesso risultato con una strategia di puntata livellata in cui si è puntato quattro unità 250 volte (con risorse finanziarie iniziali di 100 unità).

La seguente tabella mostra il confronto più preciso tra le puntate Kelly e quelle fisse. Come scrissi in un articolo precedente mentre la puntata proporzionale è migliore per ottimizzare la profittabilità (in questa simulazione le risorse finanziarie medie di chiusura utilizzando il criterio di Kelly e il metodo di puntata fisso sono rispettivamente di 149 e 140 unità), ci vuole più tempo per recuperare da periodi negativi.

La maggior parte delle risorse finanziarie di chiusura mostrano perdite e sono una semplice conseguenza della maggiore varianza introdotta dalla puntata proporzionale. Quasi quattro su dieci simulazioni sono terminate con perdite con il metodo di puntata di Kelly, rispetto a solo una su quattro per il metodo di puntata fisso.

Confronto criterio di Kelly

Risorse finanziarie di chiusura

Puntate Kelly (4%)

Puntate fisse (4 unità)

100

38%

24%

<80%

24%

17%

<60%

14%

9%

<40%

4%

6%

<20%

0%

2%

Come cambiano i rischi se si ha un vantaggio maggiore? Ho effettuato nuovamente la simulazione con una probabilità di vittoria del 54% per ogni scommessa alla pari, con una puntata Kelly dell'8%. Sono pochi gli scommettitori in grado di raggiungere queste cifre sul lungo periodo.

È ovvio che se si pensa che il 52% delle proprie scommesse alla pari risultino vincenti, ma si ha una percentuale di successo del 49%, sul lungo periodo si perderanno soldi.

Comprensibilmente, raddoppiando il margine o il valore previsto per ogni puntata, la profittabilità prevista è considerevolmente migliore utilizzando il criterio di Kelly rispetto a una puntata fissa (risorse di chiusura medie rispettivamente di 494 e 260). Purtroppo a farne le spese sono prestazioni con una varianza considerevolmente superiore.

Le risorse finanziarie finali medie o previste sono superiori perché sono alterate da un piccolo numero di serie in cui le risorse finali sono risultati molto alti. Tuttavia, ci sono serie decisamente più mediocri e perdenti rispetto alla strategia con puntate fisse con una mediana per le risorse finanziarie di solo 223. Le probabilità di perdere il 40% delle proprie risorse dopo 250 scommesse alla pari con un vantaggio dell'8% seguendo una strategia di Kelly sono ancora del 14%. Non c'è dubbio che Joe Peta direbbe che nessun investitore finanziario che si rispetti vedendo un ritorno dell'8% possa accettare un tale rischio.

Confronto criterio di Kelly

Risorse finanziarie di chiusura

Puntate Kelly (8%)

Puntate fisse (8 unità)

100

29%

9%

<80%

21%

7%

<60%

14%

6%

<40%

9%

4%

<20%

3%

3%

Conosciamo realmente il nostro vantaggio?

Queste simulazioni danno per scontato che conosciamo esattamente quali siano le probabilità di vincita e quindi quale sia l’esatto vantaggio che abbiamo sulle quote del bookmaker. Tuttavia, come ci ricorda Joe Peta, creare un modello per le scommesse sportive non è come contare le carte del blackjack.

A differenza dei giochi del casinò che si basano su algoritmi matematici conosciuti, conoscere le probabilità reali di un sistema complesso come una partita di calcio è impossibile. Le implicazioni che ha il non sapere precisamente il proprio vantaggio sulle quote del bookmaker sul successo della strategia con il modello di Kelly sono state discusse recentemente sul nostro feed di Twitter. Ho deciso di capire quale potrebbe esserne l’impatto.

Quando si decide quanto scommettere con il criterio di Kelly e si gestisce il proprio rischio, l’unica cosa che è necessario sapere con precisione è il proprio vantaggio medio.

È ovvio che se si pensa che il 52% delle proprie scommesse alla pari risultino vincenti, ma si ha una percentuale di successo del 49%, sul lungo periodo si perderanno soldi, non importa quale metodo di puntata si utilizza. In questo caso l’interesse maggiore risiede nel fatto che non si sa con precisione se il vantaggio per ogni scommessa aumenti la varianza e i rischi associati al criterio di Kelly.

Una cronologia di scommesse a lungo termine può fornire un indizio su quello che può essere il proprio vantaggio medio. Un profitto di € 1.050 dopo 1.000 scommesse da € 1 potrebbe far pensare che il proprio vantaggio medio sia del 5%. Un altro modo per valutare il vantaggio è mettere a confronto le quote su cui si scommette con le quote di chiusura.

Se si scommette con una quota di 2,10 e Pinnacle chiude a 2,00 l’analisi dei miei dati mostra che si ha un vantaggio del 5% (togliendo il margine di scommessa). Tuttavia, tale analisi si basa sulla somma di un gran numero di partite di calcio. Pur potendo trovare un vantaggio medio non possiamo utilizzarlo per giungere alla conclusione che sia uguale per ogni scommessa. Con una tale incertezza che influenza il risultato di eventi sportivi è piuttosto ragionevole pensare che non possa essere così.

Ho effettuato un’altra simulazione di Monte Carlo con 250 scommesse alla pari. Tuttavia, questa volta invece di avere una probabilità del 52% per ogni scommessa, le percentuali variavano a seconda della normale distribuzione delle probabilità di vincita. La media era del 52%, ma i valori specifici variavano attorno a questo dato. Alcuni erano più alti e altri più bassi.

Ho applicato una deviazione standard del 5%, che significa che circa due terzi dei valori avevano percentuali tra il 47% e il 57% e le percentuali nel 95% dei casi erano tra il 42 e il 62%. In realtà circa un terzo aveva una percentuale inferiore al 50% e quindi il valore previsto era negativo. 

I risultati sono stati piuttosto sorprendenti. Nonostante un terzo delle scommesse avesse un valore previsto negativo, i rischi associati alla strategia di Kelly rimanevano perlopiù invariati. Essenzialmente, questo significa che per quanto si abbia un’idea precisa del proprio vantaggio generale non è importante saperlo precisamente scommessa per scommessa. 

Confronto criterio di Kelly

Risorse finanziarie di chiusura

Kelly 1(4%)

Kelly 2(4%)

<100%

38%

37%

<80%

24%

24%

<60%

14%

14%

<40%

4%

4%

<20%

0%

0%

Kelly 1 - Margine conosciuto precisamente per ogni scommessa. Kelly 2 - Margine medio conosciuto, ma il margine specifico per ogni scommessa non è conosciuto.

Nel tentativo di verificare l’efficacia di questa conclusione ho effettuato un'ulteriore simulazione in cui il numero di scommesse con un valore previsto negativo era decisamente maggiore.

A duecentotrenta (o il 92%) delle 250 scommesse fu assegnata una probabilità di vittoria del 49%, l’equivalente del margine di scommessa di Pinnacle per mercati di scommessa popolari a due o tre opzioni. Alle venti scommesse restanti fu assegnata una probabilità di vincita del 86,5% per garantire che la media delle 250 scommesse rimanesse del 52%. I risultati furono identici.

Ovviamente, nella realtà è piuttosto improbabile che uno scommettitore che non riesce a trovare valore nel 92% delle proprie scommesse possa in qualche modo trovare un'aspettativa positiva nel restante 8%, ma questo esercizio non mostra altro che il punto che abbiamo mostrato in precedenza; vale a dire che è necessario conoscere solamente il vantaggio medio in maniera precisa quando si decide quanto scommettere utilizzando il criterio di Kelly e si gestiscono i rischi.

Per la maggior parte degli scommettitori trovare un vantaggio è un problema molto più difficile da risolvere. È molto semplice essere ingannati dalla fortuna e l'illusione della causalità incoraggia gli scommettitori a credere di essere migliori rispetto a quello che sono realmente. Non c'è da sorprendersi che vincere solamente il 49% delle scommesse alla pari e utilizzare una strategia di Kelly al 4% porta a fallimenti più frequenti (con tre probabilità su quattro di avere delle perdite dopo 250 scommesse alla pari, rispetto a tre volte su cinque nel caso di puntate fisse).

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