mar 20, 2020
mar 20, 2020

Con quale frequenza una squadra si avvicenda al comando in una partita?

Capire le probabilità

Calcolare le probabilità che esca lo stesso numero di risultati

Con quale frequenza si avvicendano T e C al comando?

Applicare le conoscenze sul lancio della moneta nelle scommesse sportive

Con quale frequenza una squadra si avvicenda al comando in una partita?

Capita che, durante una partita, una delle due squadre sia in vantaggio oppure si verifica un pareggio con una serie di avvicendamenti della squadra al comando. Vi siete mai chiesti con quale frequenza cambia la squadra al comando? Non puntate seguendo soltanto l'intuizione. Scoprite perché continuando a leggere.

Capire le probabilità

Dal portare un ombrello al piazzare una scommessa, ogni giorno prendiamo decisioni basate sulla nostra comprensione delle probabilità. Tuttavia, il nostro istinto naturale spesso riesce a fuorviarci e le statistiche sono il nostro alleato più fidato per riportarci sulla retta via.

Avvertenza: la trappola mentale di cui parliamo in questo articolo è così contraria all'intuizione da aver stupito anche gli statistici più sofisticati. Ma prima di procedere con la teoria, mettiamo alla prova il nostro istinto naturale. 

Due giocatori di biliardo di pari abilità giocano l'uno contro l'altro. Quante volte, secondo voi, i giocatori si avvicenderanno al comando? Ci saranno più o meno avvicendamenti al comando a seconda del numero dei frame giocati?

Dato che presumiamo che i due giocatori siano egualmente abili, possiamo utilizzare il più noto dispositivo di randomizzazione, ovvero il lancio della moneta, per osservare come si avvicendano i giocatori al comando, assegnando testa a un giocatore e croce all'altro. Affinché si verifichi un avvicendamento del giocatore al comando, il giocatore che insegue deve recuperare. Quindi, iniziamo con la frequenza con cui si verifica la parità.

Se lanciamo una moneta sei volte, capiamo intuitivamente che non è molto probabile che escano sei testa consecutive. Sei lanci possono generare 64 possibili combinazioni. La probabilità che in tutti i sei lanci esca solo testa o solo croce è 2/64 o circa il 3% (1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½).

Comprendiamo anche che, nonostante ciascun risultato abbia il 50% di probabilità di verificarsi, questo non significa necessariamente che in un campione piccolo come sei lanci di monete avremo necessariamente tre testa e tre croce.

La probabilità effettiva che esca lo stesso numero di testa e croce in sei lanci di monete è 20/64 (circa il 31%) o circa una su tre. Ciò significa che se ripetiamo l'esperimento di sei lanci di monete consecutivi tre volte, avremo un risultato con lo stesso numero di testa e croce? Ancora una volta, non necessariamente.  

Calcolare le probabilità che esca lo stesso numero di risultati

Quindi, per diversi numeri di lanci di monete, quali sono le probabilità che esca lo stesso numero di testa (T) e croce (C)? In ogni fase o esce T o esce C o abbiamo un risultato di parità.  Per avere un risultato di parità in una sequenza, il numero totale di lanci deve essere pari.

Man mano che aumentiamo il numero di lanci (2, 4, 6, 8…), tendiamo a pensare che sia più probabile che esca lo stesso numero di T o C. Questa è un'applicazione intuitiva della legge delle medie; la convinzione comune che all'aumentare della dimensione del campione, i risultati si avvicineranno sempre di più alla media dell'intera popolazione o, più semplicemente, il motivo per cui è probabile che ci aspettiamo una giornata di sole dopo una settimana di giorni di pioggia.

Da un punto di vista statistico, però, questo non è semplicemente sbagliato, è decisamente sbagliato.

In “Taking Chances” John Haigh esamina le probabilità che esca lo stesso numero di T e C in qualsiasi momento in una sequenza di lanci indipendenti.

Probabilità di lancio di una moneta

Probabilità che esca lo stesso numero di testa (T) e croce (C)
Numero di lanci 2 4 6 8 10
Probabilità di pareggio 1/2 3/8 5/16 35/128 63/256
Probabilità 50% 37,5% 31,25% 27,34% 24,6%

Lo schema che emerge dai numeri è così contrario all'intuizione, che anche i più "matematici" tra noi devono guardare i dati due volte per crederci. I dati mostrano che all'aumentare del numero di lanci, la probabilità che esca lo stesso numero di T o C in realtà diminuisce.

Se lanciamo la moneta fino a 20 volte, in quale momento dovremmo aspettarci di trovare l'ultima volta in cui il numero di T e C è stato uguale? Questo può accadere in uno qualsiasi dei 2, 4, 6…, 16, 18 o 20 lanci. Con 11 possibili risposte, dove mettereste i vostri soldi? Un lancio recente, un lancio molto precedente o uno nel mezzo?

Molti sono inclini a rispondere "più o meno nel mezzo". Il professore americano di statistica, David Blackwell, ha scoperto che la simmetria perfetta si verifica in prossimità della metà. Il momento in cui si osserva un egual numero di T e C con 16 lanci è lo stesso di quello che si constata con 4 lanci: 0 e 20 hanno le singole probabilità più alte e le probabilità diminuiscono spostandoci verso la metà. 

Probabilità dell'ultima parità

Probabilità dell'ultima parità in momenti diversi in una sequenza di 20 lanci di monete
Probabilità dell'ultima parità 0 o 20 2 o 18 4 o 16 6 o 14 8 o 12 10
Probabilità 17,62% 9,27% 7,36% 6,55% 6,17% 6,06%

In altri termini, se la parità non arriva all'inizio della sequenza, potrebbe essere necessario molto tempo.

Con quale frequenza si avvicendano T e C al comando?

Cosa significa quello che abbiamo spiegato in precedenza per la frequenza con cui si avvicendano T e C al comando? Di seguito è riportata una tabella con le probabilità di avvicendamento al comando di T e C in una sequenza di 101 lanci. 

Probabilità di avvicendamento al comando

Numero di avvicendamenti al comando Probabilità
0 15,8%
1 15,2%
2 14%
3 12,5%
4 10,7%
5 8,8%
6 6,9%
7 5,2%
8 3,8%
9 2,7%
10 1,8%
11 2,6%

Il 68% delle volte l'avvicendamento al comando non supererà quattro volte. Da cinque a nove avvicendamenti si verificano circa il 27% delle volte e 10 o più solo il 4%-5%.

Ancora più interessante, in metà delle volte il punteggio non è mai stato pari nella seconda metà della sequenza, il che significa che se T era in vantaggio a metà percorso è rimasta in vantaggio per l'intera metà dell'esperimento e lo stesso si è verificato se era in testa C.  

Applicare le conoscenze sul lancio della moneta nelle scommesse sportive

Si spera che a questo punto l'applicazione alle scommesse sia più chiara. Ciò che ci insegna l'esperimento della moneta è che tra giocatori altrettanto abili, si verificano normalmente lunghi periodi senza parità e poi forse diverse parità vicine tra loro. È molto più probabile che le parità si verifichino all'inizio o alla fine di una partita, piuttosto che a metà.

Haigh ha calcolato che nel 50% delle partite di snooker tra giocatori di pari abilità, il giocatore in vantaggio dopo 16 frame rimane sempre in vantaggio fino a dopo il frame 32. Possiamo applicare la stessa logica nel calcio? Un campionato è giocato da molte squadre di diverso livello di abilità; per questo, dobbiamo svolgere ulteriori indagini prima di poter presumere con sicurezza che la regola sia valida.

Non tutti i risultati sono così chiari come un lancio di moneta, naturalmente, in quanto vi è una serie di fattori inerenti la situazione specifica di cui tenere conto, come ad esempio l'avversione alla perdita, ovvero la tendenza a ottenere risultati migliori in situazioni in cui stiamo cercando di evitare la sconfitta, piuttosto che quando il nostro obiettivo è vincere. L'esperimento del lancio della moneta è un modello teorico, ma comunque molto pertinente nelle scommesse sportive.

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