נוב 1, 2018
נוב 1, 2018

הגבול הדק שבין מזל טוב לביש מזל

הדוגמה הקלאסית של הטלת מטבע

סטיית התקן של התפלגות בינומית

האם חוק המספרים הגדולים פועל לרעתנו או לטובתנו?

הגבול הדק שבין מזל טוב לביש מזל

בהימורים, הרבה פעם התוצאה מושפעת ממזל. בחלק מהמקרים המזל פועל לטובתנו ובחלק אחר הוא פועל לרעתנו. חשוב להבין שמזל משחק חלק בהימורים, אבל עד כמה דק הגבול בין מזל טוב לביש מזל? כל התשובות נמצאות בכתבה.

למזל יש חלק בלתי נפרד בהימורי ספורט. ההצלחה כמעט תמיד נובעת ממזל, כי השוליים של סוכנות ההימורים וחוק המספרים הגדולים ינצחו את הרוב המוחלט של המהמרים בסוף. מי שקרא את הכתבות שלי בשנים האחרונות יודע מה אני חושב לגבי הסיכוי להצליח בהימורים בטווח הארוך. אני לא מצפה שכולם יסכימו איתי, כי בסופו של יום כל מהמר נקרע בין תקווה למציאות.

יחד עם זאת, במשאבי ההימורים של פינקל יש המון כתבות ותכנים שמנסים לעזור למהמרים לצבור ידע, לחדד את מיומנות החיזוי ולנצח את הסיכויים. כך או כך, חשוב לזכור שכללי ההסתברות חלים על כולם, גם על מהמרים שמוצאים תוחלת רווחית בטווח הארוך. בכתבה הזו אנסה להסביר איך הם חלים. ספציפית, אנסה להדגים את הגבול הדק שבין מזל טוב לביש מזל.

הדוגמה הקלאסית של הטלת מטבע

ידוע לכל שהטלת מטבע היא הימור עם הסתברות שווה של 50% לשתי אפשרויות: עץ או פלי. ברור גם שאם מטילים את המטבע 20 פעמים, לא תמיד יוצא 10 עץ ו-10 פלי, למרות שזו התוצאה עם ההסתברות הגדולה ביותר. לפעמים יוצא 12 פעמים עץ ו-8 פעמים פלי, או להיפך. רק לעיתים נדירות יוצא 5 פעמים עץ ו-15 פעמים פלי. נוכל להשתמש בהתפלגות בינומית כדי לחשב את ההסתברויות המדויקות של כל אחת מהתוצאות האפשריות. כך נראית ההתפלגות של 20 הטלות.

Content-In-article-luck-in-betting_1.jpg

רוב התוצאות עם הסתברות גבוהה יחסית הן בין 5 עץ ו-15 פלי ל-15 עץ ו-5 פלי. מה לגבי 100 הטלות? כך נראית ההתפלגות הזו.

Content-In-article-luck-in-betting_2.jpg

הפעם טווח התוצאות עם הסתברות גבוהה יחסית רחב יותר. אפשר לראות בעין שב-20 הטלות הטווח הוא בין 5 ל-15 פעמים עץ, וההפרש הוא 10. ב-100 הטלות הטווח הזה כמעט כפול, בין 40 ל-60 פעמים עץ. האם זה אומר שככל שיש יותר הטלות מטבע במדגם, כך טווח התוצאות האפשרויות רחב יותר? התשובה היא כן ולא.

כשהמתמטיקאי יאקוב ברנולי ערך את הניסוי הזה, הוא מצא שני דברים: הראשון הוא שככל שהמדגם גדול יותר, כך גם גדל ההפרש האבסולוטי בין מספר הפעמים שיצא עץ למספר הפעמים הפעמים שיצא פלי. הממצא השני הוא שאחוז הפעמים שיצא עץ מתקרב ל-50%. 5 פעמים עץ מתוך 20 הם 25%, אבל 40 פעמים מתוך 100 הם 40%. הממצא השני הזה, שמהווה את הבסיס לחוק המספרים הגדולים, הוא מה שחשוב לנו להבין על הסתברות בהימורים. 

סטיית התקן של התפלגות בינומית

נוכל למדוד את הטווח או את הפיזור של ההתפלגות באמצעות מדד סטטיסטי בשם סטיית תקן. כך מחשבים את סטיית התקן (σ) של התפלגות בינומית:

thin-line-formula1.png

במשוואה הזו, n הוא מספר החזרות הבינאריות (הטלות המטבע בדוגמה שלנו), p הוא ההסתברות של ההצלחה (עץ) ו-q הוא ההסתברות של הכישלון (פלי). מכיוון ש- p + q = 1: 

thin-line-formula2.png

ובמקרה הפשוט יותר שבו p = q (כלומר, 0.5):

thin-line-formula3.png

ב-20 הטלות מטבע, סטיית התקן (σ) היא 2.24. ב-100 הטלות היא 5.

סטיית התקן מלמדת אותנו מהו הטווח של רוב התוצאות הסבירות. למשל, ב-100 הטלות מטבע קצת יותר משני שליש מהמדגם יהיה בין ±1σ, או בין 45 ל-55 פעמים עץ.

בעצם, במה שעשינו עכשיו איששנו את הממצא הראשון של ברנולי: ככל שהמדגם גדול יותר, כך גם ההפרש האבסולוטי גדול יותר. אבל מה אם נרצה להשתמש באחוז הפעמים שיצא עץ במקום במספר הפעמים? כדי לחשב את אחוז הפעמים נחלק את המספר בסך כל הטלות המטבע, n. באותו האופן, גם כדי לחשב את סטיית התקן באחוזים נצטרך לחלק אותה ב-n. 

כך זה נראה בהימורי 50-50:

thin-line-formula4.png

ב-20 הטלות מטבע, סטיית התקן של אחוז העץ היא 0.11 (או 11%) אבל ב-100 הטלות היא רק 0.05 (או 5%).

חוק המספרים הגדולים

לפי חוק המספרים הגדולים, ככל שמבוצעות יותר חזרות כך הממוצע של התוצאות קרוב יותר לתוחלת. בהטלת מטבע, ככל שנטיל את המטבע יותר פעמים כך אחוז הפעמים שיצא עץ יהיה קרוב יותר לתוחלת – 50%.

מכיוון שסטיית התקן באחוזים היא ביחס לשורש של מספר הטלות המטבע, בין שני המשתנים נוצר קשר מעריכי, כשסטיית התקן משתנה בהתאם לחזקה או ללוגריתם של מספר ההטלות. בתרשים לוגריתמי, הקשר הזה נראה כמו קו ישר, כשבכל שורש של n הערך של σ קטן בחצי.

Content-In-article-luck-in-betting_3.jpg

בגלל הקשר המעריכי, באופן יחסי רוב הירידה בסטיית התקן נעשית בחזרות הראשונות. מ-σ=0.5 אחרי הטלת מטבע אחת, היא קטנה ב-80% ל-0.1 אחרי 25 הטלות בלבד, ומתקרבת מאוד לרף התחתון של אפס (אחרי מספר אינסופי של הטלות). כך נוכל לבדוק כמה מהר נכנס לתמונה חוק המספרים הגדולים. נשרטט מחדש את הגרף עם סולמות לינאריים, כדי לראות בעין את המהירות. 

Content-In-article-luck-in-betting_4.jpg

זכייה והפסד בהימורים

זכייה והפסד בהימורים דומים מאוד לעץ ופלי בהטלות מטבע. ההימור הוא בעצם בינארי: זוכים או לא זוכים. לכן, בהיסטוריית ההימורים הפשוטה ביותר, שבה ההסתברות של כל זכייה נשארת אותו הדבר, תהיה לנו התפלגות בינומית של התוצאות האפשריות.

אחת מהדוגמאות הטובות להימור בינארי היא הימור הפרשים בספורט אמריקאי, או הימור עדיפות אסייתית על כדורגל, שבהם מוסיפים את העדיפות לאחד מהצדדים כדי להפוך את ההימור ל-50-50, עם יחסי זכייה הוגנים של 2.00. 

אבל אנחנו לא צריכים להגביל את עצמנו להימורי 50-50. נחזור למשוואה של חישוב סטיית התקן באחוזים. הגרסה הגנרית יותר מאפשרת לנו לקחת בחשבון הסתברויות אחרות לזכייה, באופן הבא. 

thin-line-formula5.png

גם למהמרים מיומנים שמסוגלים להגיע לתוחלת רווחית בטווח הארוך, רוב מה שיקרה יהיה רעש אקראי סביב אות חלש יחסית, פשוט בגלל המשתנים האקראיים הרבים שמהווים חלק ממערכות מורכבות כמו אירועי ספורט.

כמובן שבעולם האמיתי של ההימורים, מהמרים לא מיומנים לא מצליחים להגיע לתוחלת ולהחזיר את ההשקעה. כשמשקללים את השוליים של סוכנות ההימורים, כמעט בלתי אפשרי לא להפסיד כסף אחרי 1,000 הימורים.

ניקח לדוגמה מהמר על הימורי 50-50 שזוכה בהם 55% מהפעמים בטווח הארוך. שיעור הזכייה גדל מ-50% ל-55% בזכות יכולות החיזוי של המהמר, אבל חוקי השונות הבינומית עדיין חלים עליו.

נוכל להשתמש במשוואה הקודמת כדי לחשב שסטיית התקן של אחוז הזכיות בהימורים תהיה 3% אחרי 275 הימורים. כלומר, בקרוב לשני שליש מהמקרים שיעור הזכייה יהיה בין 52%-58% עם כמות הימורים כזו. 

בהנחה שההימור נשאר פשוט עם אותה תוחלת זכייה (יחסי זכייה) לכל הימור, נוכל להשתמש בהתפלגות בינומית כדי לחשב את ההסתברות פחות או יותר לכל תוצאה (ב-Excel אפשר להשתמש בפונקציה BINOMDIST).

ביצעתי זאת לסדרות שונות של הימורים. בדוגמה הראשונה השתמשתי בסדרה של 20 הימורים בלבד. מהמספרים בטבלה אפשר ללמוד שההסתברות המצטברת של שיעור הזכייה בפועל גבוהה יותר מהערך עצמו. לדוגמה, יש כ-9% סיכוי לזכות ביותר משישה הימורים (30%) אם תוחלת הזכייה היא 20%. יש כ-1% סיכוי לזכות ב-20 מתוך 20 הימורים אם התוחלת היא 16. 

Content-In-article-luck-in-betting_5.jpg

בגדול, האזור האדום והאזור הירוק הם אזורי ההפסד והרווח, בהתאמה, כשיחסי הזכייה הוגנים. לא מפתיע לגלות שאם מפסידים יותר פעמים מהתוחלת מפסידים כסף, אבל אפשר לראות שלא שכיח להפסיד משמעותית הרבה יותר מהתוחלת.

אפילו אחרי 20 הימורים בלבד באותו סכום, בשלושת רבעי מהמקרים התוחלת היא לזכות ב-9 הימורים או יותר. חוק המספרים הגדולים נמצא לצידנו, ומגן עלינו מפני הסיכוי להגיע לאחוז משמעותי של הפסדים.

אבל גם המסקנה ההפוכה נכונה. אם זוכים ביותר הימורים מהתוחלת מרוויחים, אבל לא שכיח להרוויח בגדול. גם למהמרים מיומנים, שזוכים ב-55% מהפעמים בהימורים על אותו סכום, יש רק 13% סיכוי לזכות ב-14 מתוך 20 הימורים בטווח הארוך. עכשיו חוק המספרים הגדולים פועל לרעתנו, ומונע מאיתנו להגיע לרווח משמעותי. 

האזור הצהוב הוא פחות או יותר האזור שבו לא מרוויחים ולא מפסידים כסף. מדהים לראות כמה דק הוא הגבול שבין מזל טוב מאוד לבין ביש מזל, ואיפה נמצאים רוב המהמרים.

זה מה שקורה לאזור הצהוב אחרי 100 הימורים.

Content-In-article-luck-in-betting_6.jpg

הסיכוי שנמצא את עצמנו רחוקים מאוד מהתוחלת בטווח הארוך התכווץ משמעותית. ומה קורה אחרי 1,000 הימורים?

Content-In-article-luck-in-betting_7.jpg

כמובן שבעולם האמיתי של ההימורים, מהמרים לא מיומנים לא מצליחים להגיע לתוחלת ולהחזיר את ההשקעה. כשמשקללים את השוליים של סוכנות ההימורים, כמעט בלתי אפשרי לא להפסיד כסף אחרי 1,000 הימורים. חוק המספרים הגדולים מחסל אותנו. אבל, אצל מהמרים מיומנים התמונה שונה מאוד.

אם התוחלת שלנו היא לזכות ב-55% מ-1,000 הימורים באותו סכום, כמעט תמיד נזכה לפחות ב-50% מהם. בהנחה שהשוליים של סוכנות ההימורים קטנים מההפרש בין תוחלת הזכייה האמיתית שלנו לבין התוחלת שסוכנות ההימורים חושבת שתהיה לנו, יש לנו סיכוי טוב מאוד להרוויח בטווח הארוך. או כמו שנאמר באתר המכובד ProfessionalGambler.com:

"יש הפרש קטן מאוד יחסית בין אחוז ההימורים שבהם זוכים מהמרי ספורט מצליחים לבין אחוז ההימורים שבהם זוכים מפסידים כרוניים".

עכשיו גם אפשר לראות בעין עד כמה הוא קטן. חוק המספרים הגדולים באמת יכול להיות קללה או ברכה למהמרים. 

ברור שההימורים של רוב האנשים לא פשוטים כמו הדוגמאות שבמאמר הזה, כי מהמרים בוחרים מגוון רחב של יחסי זכייה ואפשרויות הימור. כדי לנתח אותם נצטרך להשתמש בחישובים מורכבים בהרבה או לפנות לעזרת חברתנו, סימולציית מונטה קרלו, כשהם נעשים מורכבים מדי. 

בנוסף, לא לקחתי בחשבון את השונות ברווח ובהפסד בפועל. זה נושא ששווה כתבה בפני עצמו, ואפילו נגעתי בו קצת בכמה כתבות קודמות (ככל שיחסי הזכייה גדולים יותר, כך השונות ברווח ובהפסד גדולה יותר).

אף על פי כן, בכתבה הזו ניסיתי להדגים את המהירות והעוצמה של חוק המספרים הגדולים, ולהראות עד כמה דק הגבול שבין התוחלת לתוצאה בפועל בממלכת המזל.

בדיקת המהימנות של היסטוריות ההימורים

לפני שאסיים את הכתבה, רציתי להראות איך אפשר להשתמש במידע על סטיית התקן של אחוז הזכיות בפועל כדי לבדוק את המהימנות של היסטוריות הימורים ששירותי טיפים מנסים למכור לנו. 

ניקח לדוגמה אתר שמציע טיפים להימורי עדיפויות ומוכר לנו "גישה כנה וישירה" ל"עקרונות הימורי העדיפות" שלו. אין ספק שאנשי האתר הזה מודעים לאקראיות בהימורי ספורט, כי הם מסבירים ללקוחות שאין כזה דבר ניצחון בטוח, וש"תמיד יש אלמנט של מזל בכל תחרות". אף על פי כן, לפי שיעור הזכייה שהם מפרסמים – 76% מ-11,000 הימורים – הם כנראה הצליחו להתגבר על ההפכפכות של שוק ההימורים.

לפי חוק המספרים הגדולים, ככל שמבוצעות יותר חזרות כך הממוצע של התוצאות קרוב יותר לתוחלת.

אם נסתכל מקרוב יותר על התוצאות שפורסמו באתר עד היום, נגלה ששיעור הזכייה הוא בעצם 75% מ-10,312 הימורים (כנראה שחסרים שם כמה טיפים). למרות שיש כמה הימורים עם יחסי זכייה גדולים או קטנים במיוחד, ב-94% מההימורים יחסי הזכייה היו בין 1.67 ל-2.50 (או הסתברות זכייה משוערת של 60% ו-40%). ההסתברות של שיעור הזכייה הממוצע לכל המדגם היא 52.2%, ואחרי שמסירים את השוליים של סוכנות ההימורים היא קרובה להימור 50-50 שלא מניב רווח או הפסד.

אם נחלק את התוצאות ל-56 מדגמים חודשיים (ממרץ 2014 עד אוקטובר 2018), נראה שבכל חודש יש בממוצע 184 הימורים, כשביותר ממחצית מהחודשים יש בין 140 ל-224 הימורים. אם נניח שהתוחלת של שיעור הזכייה בטווח הארוך היא 75%, מה אמורה להיות השונות של שיעורי הזכייה החודשיים? אם נשתמש במשוואה הקודמת לחישוב סטיית התקן באחוזים במדגם של 184 בחירות, נגלה שהתשובה היא קצת יותר מ-3%. קצת יותר משני שליש מהדגימות הן בין 72% ל-78%, ואילו 95% מהן בין 69% ל-81%.

למעשה, סטיית התקן של שיעורי הזכייה החודשיים היא 8.6%, הרבה יותר גבוה ממה שהיא אמורה להיות. פחות מ-40% מהערכים הם במרחק של ±1σ מ-75%, וקצת יותר מחצי מהם במרחק של ±2σ. השונות פשוט גדולה מדי. גם אם נניח שבכל חודש היו רק 32 הימורים, כמו בחודש עם מספר ההימורים הקטן ביותר, סטיית התקן עדיין תהיה 7.7%. 

סטיית תקן של 8.6% בשיעורי הזכייה החודשיים אמורה להיות במדגם של 25 הימורים, לא 184. בדצמבר 2014 היו 151 הימורים. התוחלת של שיעור הזכייה הממוצע היא 51.4%. שיעור זכייה של 46.4% אמור לקרות אחת למיליארד שנה. באוקטובר 2015 הייתה זכייה ב-154 מתוך 168 הימורים (91.7%), כשהתוחלת של שיעור הזכייה הממוצע היא 48.5%.  יכולת כזו, של מהמר כה מיומן, אמורה לקרות אחת למיליון שנה.

אני משאיר לכם להסיק לבד את המסקנות מהממצאים האלה. יכול להיות שהם מראים לנו שרמת היכולת משתנה משמעותית בפרקי זמן קצרים. ויכול להיות שהם מלמדים אותנו משהו אחר. לאור מה שאמרתי קודם על המגבלות של תוחלת הרווח, אני בטוח שכבר הבנתם את התשובה. אם מישהו אומר ששיעור הזכייה שלו בהימורי עדיפות הוא 76%, התגובה ההולמת היא לגחך ולהמשיך הלאה.

משאבי הימורים - משפרים את יכולות ההימור שלך

משאבי ההימורים של פינקל הם אחד מהאוספים המקיפים ביותר של עצות מקצועיות להימורים שאפשר למצוא באינטרנט. אנו מספקים עצות לכל רמות הניסיון, במטרה אחת פשוטה - לשפר את היכולת שלך להמר בצורה מושכלת.