חזרה לקריטריון קלי: הערכת סיכונים

מהו קריטריון קלי?

עד כמה מסוכן קריטריון קלי?

למה חשוב לדעת מהו היתרון שלך

חזרה לקריטריון קלי: הערכת סיכונים

כדי להרוויח מהימורים בטווח הארוך, חשוב להשתמש בשיטה לחישוב גובה ההימור (או אסטרטגיה כלשהי לניהול הכסף). הרבה פעמים קריטריון קלי מוזכר כאפשרות הטובה ביותר, מסיבות רבות. אבל איך הוא עובד בפועל? עד כמה מסוכן קריטריון קלי? ניסינו לענות על כך בכתבה.

קריטריון קלי הוזכר לא אחת כאסטרטגיה היעילה ביותר לניהול הכסף, שמגדילה את היתרה של מהמרים מצליחים בקצב המהיר ביותר. משאבי ההימורים של פינקל כוללים כמה כתבות המסבירות מהו קריטריון קלי, איך הוא עובד ומהם היתרונות והחסרונות שלו כשיטה לחישוב גובה ההימור. בכתבה הזו אני רוצה להציג דרך שבה אפשר להעריך את הסיכונים של השיטה הזו.

מהו קריטריון קלי?

דומיניק קורטיס, מתמטיקאי מאוניברסיטת מלטה שגם כותב לפינקל, מתאר את קריטריון קלי באופן הבא: שיטה לחישוב החלק היחסי מהכסף שמוקצה להימור על תוצאה שיחסי הזכייה שלה גבוהים מהצפוי, כדי שיתרת הכסף תגדל אקספוננציאלית.

הרעיון הזה פותח על ידי ג'ון קלי בזמן עבודתו במעבדות בל של AT&T ב-1956, ואפשר לומר שזו דרך מוצדקת כלכלית ומדויקת מבחינה מתמטית לחישוב גובה ההימור האופטימלי, שיגדיל את היתרה בקצב המהיר ביותר, תוך התחשבות בתשואה ובסיכון הצפויים. זה נשמע מורכב, אבל זו בסך הכל המשוואה הפשוטה הבאה:

אחוז גובה ההימור לפי קלי = יתרון פחות 1, חלקי יחסי הזכייה פחות 1

היתרון הוא פשוט הפער שיש למהמר (או שהוא חושב שיש לו) מעל יחסי הזכייה בפועל של סוכנות ההימורים. למשל, אם אנחנו חושבים שיחסי הזכייה ההוגנים של התוצאה הם 2.00 (הסתברות של 50% להצלחה), אבל סוכנות ההימורים מציעה את יחסי הזכייה 2.10, היתרון שלנו הוא 2.10 חלקי 2.00 = 1.05.

"יתרון" הוא בעצם דרך אחרת לתאר את התוחלת. יחסי הזכייה במשוואה הזו צריכים להיות עשרוניים. כלומר, בדוגמה שלנו, אחוז גובה ההימור לפי קלי הוא 0.05 או 5%.

קריטריון קלי הוא דוגמה לשיטה לחישוב גובה ההימור באופן יחסי, שבה גובה ההימור משתנה ביחס ליתרה הקיימת, ולכן הוא יגדל או יקטן ככל שהיתרה תגדל או תקטן. זאת בניגוד, למשל, לשיטה שבה סכום ההימור קבוע.

הדבר המיוחד בקריטריון קלי הוא ההתחשבות בגודל היתרון המשוער וביחסי הזכייה. ככל שהיתרון גדול יותר ו/או יחסי הזכייה קצרים יותר, כך נסכן יותר כסף.

אולם, כשמהמרים על יותר מתוצאה אחת או משחק אחד במקביל, יש כמה בעיות מובנות בשימוש בקריטריון קלי. במשאבי ההימורים של פינקל פירסמנו כתבה העוסקת בהן. בשאר הכתבה הזו ארצה להתמקד רק בגרסה הפשוטה של קריטריון קלי, שבה מהמרים על הימור אחד בכל פעם.

עד כמה מסוכן קריטריון קלי?

מכיוון שמדובר באסטרטגיה לניהול הכסף באופן יחסי, די מובן מאליו שאי אפשר להפסיד את כל הכסף בבת אחת אם משתמשים בה. ככל שמפסידים יותר, כך גובה ההימור יקטן, אבל ברמה התיאורטית אף פעם לא נגיע לאפס. 

בניגוד למשחקי קזינו, המבוססים על אלגוריתמים מתמטיים ידועים, בפועל בלתי אפשרי "לדעת" את ההסתברות האמיתית של מערכת מורכבת כמו משחק כדורגל.

אולם במובן הפרקטי, סביר שתהיה נקודה שבה נעצור ונחליט שאנחנו לא יכולים לספוג הפסדים נוספים. לכן, אולי כדאי יותר להסתכל על השונות בגודל היתרה ולשאול את עצמנו אם אנחנו מוכנים להתמודד עם ההפסדים הפוטנציאליים הנלווים לסיכון שאנחנו מעוניינים לקחת.

ג'ו פטה, סוחר בבורסה שתרם ממשנתו גם לפינקל, טען פעם שהבעיה בשימוש בקריטריון קלי היא ש"לא משנה מה תהיה התשואה הצפויה שחישבנו, השונות תהיה גבוהה באופן מגוחך, באופן שלא מצדיק את ההשקעה". הוא ביקש מאיתנו לקחת לדוגמה מהמר תיאורטי שזוכה ב-52% מההימורים עם יחסי זכייה של 2.00. לפי קריטריון קלי, גובה ההימור שלו הוא 4%. 

אם ניקח מדגם של 250 הימורים, לפי פטה יש סיכוי של יותר מ-10% לכך שהיתרה הסופית תקטן ב-40%. האם הוא צודק? 

למען האמת, הוא לא רחוק. השתמשתי במשתנים האלה כדי לבצע 10,000 סימולציות מונטה קרלו. 14% מהיתרות הסופיות היו קטנות ב-60% מהיתרה המקורית. לשם ההשוואה, אם היינו משתמשים באסטרטגיה של הימור בסכום קבוע של 4 יחידות (מתוך יתרה התחלתית של 100 יחידות) על 250 הימורים, רק 9% מהיתרות היו מגיעות לכך.

בטבלה הבאה אפשר לראות השוואה רחבה יותר של קריטריון קלי לעומת הימור בסכום קבוע. כפי שטענתי באחת מהכתבות הקודמות, השיטה היחסית טובה יותר אם רוצים להגיע לרווח האופטימלי (בסימולציה הזו, ממוצע היתרות הסופיות הוא 149 יחידות לפי קריטריון קלי ו-140 יחידות עם הימור בסכום קבוע), אבל לוקח יותר זמן להתאושש מהפסדים.

השיעור הגבוה יותר של סימולציות שהסתיימו בהפסד נובע כתוצאה מהשונות הגדולה יותר ביתרה שיש כשמשתמשים בשיטה יחסית. כשחישבנו את גובה ההימור לפי קריטריון קלי, קרוב לארבע מכל עשר סימולציות הסתיימו בהפסד, לעומת רק אחת מכל ארבע כשסכום ההימור היה קבוע.

השוואת קריטריון קלי

יתרה סופית

הימור יחסי לפי קלי (4%)

הימור בסכום קבוע (4 יח')

<100%

38%

24%

<80%

24%

17%

<60%

14%

9%

<40%

4%

6%

<20%

0%

2%

איך הסיכון משתנה אם יש לנו יתרון גדול יותר? ביצעתי את הסימולציה הזו שוב עם הסתברות זכייה של 54%, והשוויתי בין הימור בסכום קבוע לבין הימור יחסי של 8% לפי קלי. מעט מאוד מהמרים יוכלו להגיע למספרים האלה בטווח הארוך.

מיותר לציין שאם נחשוב שנזכה ב-52% מההימורים השווים אבל בפועל נזכה רק ב-49% מהם, נפסיד כסף בטווח הארוך.

כפי שאפשר לצפות, כשהיתרון או התוחלת של כל הימור כפולים, הרווח הצפוי טוב יותר כשמשתמשים בקריטריון קלי לעומת הימור בסכום קבוע (ממוצע היתרות הסופיות הוא 494 לעומת 260, בהתאמה). לצערנו, זה עדיין בא על חשבון שונות גדולה בהרבה בביצועים.

ממוצע היתרות הסופיות הצפויות גבוה יותר כי הוא הוטה על ידי מספר קטן מאוד של יתרות גדולות. לעומת זאת, היו הרבה יותר יתרות בינוניות או מפסידות בהשוואה לאסטרטגיית הימורים בסכום קבוע, כשהחציון של היתרות הוא 223 בלבד. באסטרטגיית קלי, ההסתברות להפסיד 40% מהיתרה אחרי 250 הימורים שווים עם יתרון של 8% היא עדיין 14%. ללא ספק, ג'ו פטה יטען כאן שאף משקיע שמכבד את עצמו לא יהיה מוכן לקחת סיכון כזה עם תשואה של 8%.

השוואת קריטריון קלי

יתרה סופית

הימור יחסי לפי קלי (8%)

הימור בסכום קבוע (8 יח')

<100%

29%

9%

<80%

21%

7%

<60%

14%

6%

<40%

9%

4%

<20%

3%

3%

האם אנחנו באמת יודעים מה היתרון שלנו?

בסימולציות האלה יצאנו מנקודת הנחה שאנחנו יודעים מהי ההסתברות שלנו לזכות, ולכן מהו היתרון המדויק שיש לנו על פני יחסי הזכייה של סוכנות ההימורים. אולם, כמו שהזכיר לנו ג'ו פטה, יצירת מודל לתוצאות בהימורי ספורט שונה מספירת קלפים בבלאק ג'ק.

בניגוד למשחקי קזינו, המבוססים על אלגוריתמים מתמטיים ידועים, בפועל בלתי אפשרי "לדעת" את ההסתברות האמיתית של מערכת מורכבת כמו משחק כדורגל. לא מזמן עלתה בפיד שלי בטוויטר השאלה "מה עלול לקרות להצלחה כשמשתמשים בקריטריון קלי ולא יודעים מהו היתרון המדויק על פני יחסי הזכייה של סוכנות ההימורים?" הייתי נחוש בדעתי לברר את התשובה.

חשוב לדעת במדויק רק מהו היתרון הממוצע כמחשבים את גובה ההימור ומנהלים את הסיכון לפי קריטריון קלי.

מיותר לציין שאם נחשוב שנזכה ב-52% מההימורים השווים אבל בפועל נזכה רק ב-49% מהם, נפסיד כסף בטווח הארוך, לא משנה באיזו שיטה נשתמש לחישוב גובה ההימור. אחד מהדברים שמעניין לבדוק כאן הוא אם כשאנחנו לא יודעים במדויק מהו היתרון בכל הימור, השונות והסיכון הנלווה יגדלו כשנשתמש בקריטריון קלי.

היסטוריית הימורים בטווח ארוך יכולה לתת לנו רמז לגבי היתרון הממוצע. אם נרוויח €1,050 מ-1,000 הימורים בסכום של €1, נוכל להניח באופן סביר שיש לנו יתרון של 5% על פני הממוצע. דרך נוספת להערכת היתרון היא על ידי השוואה בין הליין שמהמרים איתו לליין הסגירה.

אם נהמר עם ליין של 2.10 והליין של פינקל ייסגר ב-2.00, לפי ניתוח הנתונים שלי נוכל לשער שיש לנו יתרון של 5% (אחרי הורדת השוליים). חשוב לזכור שניתוח כזה התבסס על מספר גדול של משחקי כדורגל. אנחנו יכולים להעריך מהו היתרון הממוצע, אבל לא להניח שהוא יהיה זהה בכל הימור והימור. התוצאה באירועי ספורט מושפעת ממידה כל כך גבוהה של אי-ודאות, כך שסביר להניח שהוא לא יהיה זהה.

ביצעתי סימולציית מונטה קרלו נוספת עם 250 הימורים שווים. אולם הפעם, במקום לקבע את ההסתברות לזכות ל-52% בכל הימור, השתמשתי בהתפלגות נורמלית של הסתברויות זכייה. הממוצע עדיין היה 52%, אבל הערכים הספציפיים נעו סביבו. חלק היו גבוהים יותר, אחרים נמוכים יותר.

השתמשתי בסטיית תקן של 5%, כך שכשני שליש מהערכים היו בין 47%-57% ו-95% מהערכים היו בין 42%-62%. למעשה, כשליש מהם היו מתחת ל-50%, ולכן התוחלת שלהם הייתה שלילית. 

התוצאות הפתיעו אותי. למרות שלשליש מההימורים הייתה תוחלת שלילית, הסיכון הנלווה לאסטרטגיית קלי לא השתנה. בעצם, מה שאפשר להסיק מזה הוא שכל עוד יש מושג כללי לגבי היתרון, לא חשוב אם יודעים אותו במדויק בכל הימור והימור. 

השוואת קריטריון קלי

יתרה סופית

קלי 1(4%)

קלי 2(4%)

<100%

38%

37%

<80%

24%

24%

<60%

14%

14%

<40%

4%

4%

<20%

0%

0%

קלי 1 - אנחנו יודעים במדויק את היתרון בכל הימור; קלי 2 - אנחנו יודעים את היתרון הממוצע אבל לא יתרון ספציפי בכל הימור.

כדי לבדוק עד כמה המסקנה שהגעתי אליה עומדת במבחן התוצאה, ביצעתי סימולציה נוספת שבה מספר ההימורים עם תוחלת שלילית הוגדל משמעותית.

ל-230 הימורים (או 92%) מתוך 250 הייתה הסתברות זכייה של 49%, שווה ערך לשוליים של פינקל בהימורים הפופולריים עם שתיים או שלוש אפשרויות. לשאר 20 ההימורים הייתה הסתברות זכייה של 86.5%, כדי שהממוצע של 250 ההימורים עדיין יהיה 52%. התוצאות היו זהות לחלוטין.

כמובן שבמציאות מאוד לא סביר שמהמר שלא מצליח ב-92% מההימורים שלו פתאום ירוויח בגדול ב-8% מההימורים האחרים, אבל התרגיל הזה מדגים את הנקודה שהעליתי קודם: כשמחשבים את גובה ההימור ומנהלים את הסיכון באמצעות קריטריון קלי, חשוב לדעת במדיוק רק מהו היתרון הממוצע.

לרוב המהמרים עצם מציאת היתרון היא משימה קשה מאוד. קל מאוד ליפול בפח של המזל או לשגות באשליות סיבתיות, שגורמות למהמרים להאמין שהם טובים יותר ממה שבהם באמת. כשזוכים רק ב-49% מההימורים השווים, באופן לא מפתיע, הימור על 4% לפי אסטרטגיית קלי ייכשל הרבה יותר פעמים (הסתברות לסיים בהפסד בשלושה מכל ארבעה ניסיונות של 250 הימורים שווים, בהשוואה לשלושה מכל חמישה עם הימור בסכום קבוע).

משאבי הימורים - משפרים את יכולות ההימור שלך

משאבי ההימורים של פינקל הם אחד מהאוספים המקיפים ביותר של עצות מקצועיות להימורים שאפשר למצוא באינטרנט. אנו מספקים עצות לכל רמות הניסיון, במטרה אחת פשוטה - לשפר את היכולת שלך להמר בצורה מושכלת.