שימוש בסימולציית מונטה קרלו לניתוח ההימורים

ניתוח היכולת בהימורים

מדידת ההשפעה של המזל על הרווח בהימורים

בעיה בשיטת ההימורים לעומת חוסר מזל

שימוש בסימולציית מונטה קרלו לניתוח ההימורים

אחרי הדיון על אקראיות בתוצאות ספורט, ג'וזף בוכדאל עולה שלב בניתוח ההשפעה של המזל. בכתבה הזו הוא מסביר איך האקראיות יכולה להשפיע על היכולת בהימורים ואיך מודדים אותה באמצעות Excel.

בסימולציית מונטה קרלו משתמשים בחזרות רבות של דגימה אקראית כדי להגיע למספרים שקשה מאוד לחשב בדרכים מתמטיות אחרות. השיטה הזו שימושית במיוחד למהמרים שפחות מכירים מבחנים סטטיסטיים מסורתיים, כי צריך בה רק מעט ידע במתמטיקה.

דומיניק קורטיס כבר הסביר איך אפשר להשתמש בה לחיזוי תוצאות ספורט, והשתמש בדוגמה ספציפית – חיזוי אליפות הפורמולה 1. בכתבה הזו אני רוצה להשתמש בה כדי לבדוק איך היכולת בהימורים עשויה להשתנות כתוצאה ממזל טוב או ביש מזל. 

ניתוח היכולת בהימורים

בכתבה הזו אשתמש במדגם הימורים המבוסס על חוכמת ההמונים, שמכיל 1,521 הימורים שווים עם תשואה של 0.76%. אבל איך יודעים אם התשואה הזו מייצגת יכולת מאוזנת, מזל טוב או ביש מזל?

השלב הראשון הוא להשוות אותה לתוחלת. אחת מההנחות המובנות במדגם שלי היא שלכל הימור יש יחסי זכייה הוגנים, כך שאפשר לחשב את התוחלת של התשואה. לדוגמה, ליחסי זכייה הוגנים של 2.00 (שהסוכנות מפרסמת כ-2.10) יש תשואה של 5% או 1.05 (מחשבים אותה על ידי פעולת חילוק פשוטה – 2.10/2.00).

ליין הוגן של 2.00 מרמז על 50% הסתברות לזכייה. אם זוכים ב-50 מתוך 100 הימורים ומרוויחים €1.10 בכל אחד מהם, אבל מפסידים ב-50 ההימורים האחרים €1, הרווח נטו הוא 5€ (או 5% ממחזור של €100). באופן דומה, ליחסי זכייה הוגנים של 3.00 (שהסוכנות מפרסמת כ-3.50) יש תוחלת של 16.67%. בטבלה הבאה מוצגים ההימורים שבחרתי.

דוגמאות להימורים באמצעות סימולציית מונטה קרלו

משחק

הימור

יחסי זכייה להימור

הערכה של יחסי הזכייה ההוגנים*

תוחלת

הירנביין נגד אייאקס

אייאקס

1.75

1.61

8.58%

הראקלס נגד פיינורד

פיינורד

2.0

1.95

2.52%

יובנטוס נגד לאציו

לאציו

7.5

7.29

2.86%

ססואולו נגד סמפדוריה

סמפדוריה

4.3

4.16

3.32%

אוטרכט דה חראפסחאפ

דה חראפסחאפ

7.0

6.48

7.99%

ווסטהאם נגד ווטפורד

ווסטהאם

1.65

1.58

4.77%

*יחסי הזכייה של פינקל לאחר הסרת השוליים

במדגם הימורים מלא קל מאוד לחשב את התוחלת הכללית ואת תוחלת הרווח – פשוט מחשבים את הממוצע. ב-1,521 ההימורים שבמדגם שלי הוא היה 4.04%. כלומר, אם מערכת ההימורים שלי הייתה פועלת לפי התוחלת, הייתי אמור להמר ב-€1,521 ולהרוויח €61.45.

במציאות, הרווח היה €11.61. בהנחה שמודל החיזוי שלי פעל כמו שצריך, המערכת שלי סבלה מחוסר מזל שגרם לה להיות פחות טובה מהתוחלת. השאלה היא בכמה. כאן נכנסת לתמונה סימולציית מונטה קרלו.

איך מבצעים סימולציית מונטה קרלו ב-Excel?

די פשוט לבצע סימולציית מונטה קרלו בתוכנה כמו Excel:

  1. מחשבים את ההסתברות המשוערת לזכייה בכל אחד מההימורים בערך עשרוני בין 0 ל-1. זו פעולה פשוטה של היפוך יחסי הזכייה ההוגנים.
  2. משתמשים בפונקציה RAND ב-Excel כדי לתת לכל הימור מספר אקראי בין 0 ל-1. כדי לבדוק אם ההימור הזה זוכה או מפסיד בסימולציה, בודקים באמצעות Excel אם המספר האקראי שניתן לכל הימור נמוך מההסתברות לזכייה. אם הוא נמוך, רושמים רווח לפי יחסי הזכייה פחות 1. אם הוא גבוה מההסתברות, רושמים הפסד של 1-.
  3. סוכמים את הרווחים וההפסדים בכל ההימורים של הסימולציה ומחשבים את התשואה. בהימורים שווים, פשוט מחלקים את סכום הרווח במספר ההימורים
  4. משתמשים בפונקציה Data Table ב-Excel כדי לתת מספרים אקראיים חדשים, לפי מספר הסימולציות שרוצים לבצע.

בטבלה הבאה מוצגים שני השלבים הראשונים בשיטת ההימורים שלי.

דוגמה להימורים באמצעות סימולציית מונטה קרלו

משחק

הימור

הערכה של יחסי הזכייה ההוגנים

הסתברות לזכייה

מספר אקראי

רווח

הירנביין נגד אייאקס

אייאקס

1.61

0.621

0.462

€0.61

הראקלס נגד פיינורד

פיינורד

1.95

0.513

0.15

€0.95

יובנטוס נגד לאציו

לאציו

7.29

0.137

0.8

€1-

ססואולו נגד סמפדוריה

סמפדוריה

4.16

0.24

0.702

€1-

אוטרכט דה חראפסחאפ

דה חראפסחאפ

6.48

0.154

0.525

€1-

ווסטהאם נגד ווטפורד

ווסטהאם

1.58

0.633

0.533

€0.58

אם נלחץ על F9, לכל ההימורים יינתנו מספרים אקראיים חדשים. כך נוכל לבצע סימולציה חדשה עם דגימה תאורטית חדשה ועם תשואה חדשה. נוכל לרשום בצד את התשואה לכל אחת מהסימולציות, אבל אם אנחנו רוצים לבצע את הסימולציה אלפי פעמים, זה עלול להיות מפרך ומסובך.

מזל של-Excel יש שיטה קלה ומהירה לבצע המון סימולציות בבת אחת באמצעות הפונקציה Data Table. היא נמצאת ב-Data > What If Analysis > Data Table:

    1. מחשבים את התשואה למדגם אחד באמצעות שלושת השלבים הקודמים ומזינים אותה באחד מהתאים הפנויים ב-Excel.
    2. אחר כך, מסמנים את מספר התאים שבהם רוצים להזין את התשואות של הסימולציות החדשות ועמודה אחת משמאל.

monte-carlo-image-1.png

    1. פותחים את הפונקציה Data Table ב-Excel. תיפתח תיבה כמו זו שבתמונה כאן. בשדה Column input cell בוחרים אחד מהתאים. אפשר לבחור כל תא, כל עוד הוא לא אחד מהתאים שסימנו בשלב הקודם.

      monte-carlo-image-2.png

    2. לוחצים על OK וצופים ב-Excel עושה קסמים. בתאים שסימנו מתחת לתא הראשון יוזנו תשואות חדשות. כל אחת מהן מייצגת סימולציה אחת. בדוגמה הזו ביצעתי 6 סימולציות, כמו שאפשר לראות בתמונה הבאה.

monte-carlo-image-3.png

מדידת ההשפעה של המזל על הרווח בהימורים

ד"ר ג'רארד ורשורן הכין סרטון שימושי מאוד ב-YouTube המתאר את התהליך הזה בפירוט. נוכל לבצע כמה סימולציות שנרצה, למרות שככל שהמספר גדול יותר כך ייקח ל-Excel יותר זמן לבצע את החישובים. לצורך הכתבה הזו ביצעתי 100,000 סימולציות (שלקחו לי כחמש דקות).

נקודה נוספת שחשוב לזכור מהדוגמה הזו היא ההשפעה של חוסר המזל על מהמרים עם תוחלת חיובית ומדגם הימורים גדול יחסית.

התשואה הממוצעת הייתה 4.05%, כמעט כמו התוחלת במדגם ההימורים שלי. עם זאת, הייתה שונות גדולה מאוד בין התשואות של הסימולציות, מ-12.23%- במקרה הגרוע ביותר ל-23.26% במקרה הטוב ביותר.

קרוב ל-17% מהסימולציות שלי הסתיימו בהפסד, למרות שלמדגם ההימורים שלי יש תוחלת תיאורטית שגדולה מ-4%, ואילו ב-78% מהפעמים הגעתי לפחות ל-0.76%, התשואה שקיבלתי בפועל.

למעשה, נוכל להשתמש בנתונים האלה ב-Excel כדי לחשב את ההסתברות להגיע לכל אחת מהתשואות הספציפיות, בלי להשתמש במבחנים סטטיסטיים. סימולציית מונטה קרלו כבר עשתה את זה בשבילנו. בתרשים הבא מוצגת ההתפלגות המלאה של התשואות מ-100,000 הסימולציות שביצעתי (במרווחים של 0.1% לאורך ציר האיקס). מי שמכיר את ההתפלגות הנורמלית יוכל לראות שהיא כמעט זהה להתפלגות שלנו.

monte-carlo-image-4.png

כמובן שאם התשואה שלי בפועל הייתה 5%- או גרוע מזה (כמו שקורה ב-1% מהפעמים), יכול להיות שהבעיה טמונה בעצם בשיטת ההימורים שלי. אם כן, סימולציית מונטה קרלו היא כלי שעוזר מאוד בהערכות סובייקטיביות כאלה.

בעיה בשיטת ההימורים לעומת חוסר מזל

נקודה נוספת שחשוב לזכור מהדוגמה הזו היא ההשפעה של חוסר המזל על מהמרים עם תוחלת חיובית ומדגם הימורים גדול יחסית. במדגם שלי היו יותר מ-1,500 הימורים עם תוחלת שגדולה מ-4%. למרות היתרון הזה, בסימולציות מונטה קרלו ראיתי שאני עשוי להפסיד ביותר מאחת מכל חמש חזרות.

איך הייתם מרגישים אם היה לכם יתרון דומה בשיטת ההימורים, אבל אחרי 1,500 הימורים הייתם מסיימים בהפסד: בטוחים בשיטה שלכם ומשייכים את חוסר ההצלחה למזל רע, או מאבדים אמונה בשיטה?

אחת מהדרכים לפתור את הדילמה הזו היא להגדיל את המדגם. שוב, נוכל לשחק עם סימולציית מונטה קרלו כדי לראות איך הדברים משתנים כשמדגם ההימורים גדל. לצורך הניסוי התאורטי, הגדלתי את 1,521 ההימורים המקוריים שלי פי עשרה (פשוט על ידי חזרה על המדגם המקורי של יחסי הזכייה עוד תשע פעמים). אחרי 100,000 סימולציות נוספות, אלו היו המספרים:

  • תשואה ממוצעת = 4.04%
  • התשואה הנמוכה ביותר = 1.21%-
  • התשואה הגבוהה ביותר = 10.17%
  • ההסתברות לתוחלת קטנה מ-0% = 0.1%
  • ההסתברות לתוחלת גדולה מ-0.76% = 99.3%

בתרשים הבא מוצגת ההתפלגות החדשה של 100,000 סימולציות, מעל ההתפלגות של המדגם המקורי עם 1,521 הימורים.

monte-carlo-image-5.png

ההבדל הברור לעין בין שני המדגמים הוא גודל ההפרש או טווח התשואות האפשריות. הטווח הזה הרבה יותר צר כשמדגם ההימורים גדול יותר. תוצאה כזו היא משהו שאפשר לחזות, והיא פשוט תוצר של חוק המספרים הגדולים.

הערכת התוצאות בסימולציית מונטה קרלו

ככל שמדגם ההימורים שלי גדול יותר, כך יש יותר סיכוי שהתוצאות בפועל יהיו קרובות לתוחלת, בהנחה כמובן ששיטת החיזוי שלי טובה כמו שאני חושב. העניין הוא שאם עדיין תהיה לי תשואה של 0.76% או גרוע מזה אחרי 15,000 הימורים, אפקפק מאוד בכך שהשיטה שלי טובה.

בסופו של דבר סימולציית מונטה קרלו לא יכולה להגיד לנו באופן חד-משמעי אם לשיטת ההימורים שלנו יש יתרון מעבר להשפעה של המזל. אף על פי כן, היא יכולה לעזור לנו להגיע למסקנה מושכלת ולהבין מהו טווח התוצאות האפשריות שסביר לצפות להן בתוך המגבלות של המזל הטוב וחוסר המזל.

משאבי הימורים - משפרים את יכולות ההימור שלך

משאבי ההימורים של פינקל הם אחד מהאוספים המקיפים ביותר של עצות מקצועיות להימורים שאפשר למצוא באינטרנט. אנו מספקים עצות לכל רמות הניסיון, במטרה אחת פשוטה - לשפר את היכולת שלך להמר בצורה מושכלת.