close

הוכחה חמה מהתנור לקיומה של יד חמה בספורט

שמים מספרים מאחורי הטיית הדגימה

יד חמה בתחרות השלשות באירוע האולסטאר של ה-NBA

אשליית היד החמה: אינטואיציה לעומת ניתוח

הוכחה חמה מהתנור לקיומה של יד חמה בספורט

אחת מהאמונות הרווחות בספורט היא שיש כזה דבר מומנטום, או "יד חמה", למרות מספר מחקרים שהפריכו אותה. האם באמת צריך להתעלם מעניין המומנטום והכושר בהימורים? לפי הכתבה הזו, התעלמות מוחלטת עלולה להיות טעות.

ב-1985, אותה שנה שבה מייקל ג'ורדן זכה בתואר רוקי העונה ב-NBA, פורסם בכתב העת לפסיכולוגיה קוגניטיבית מאמר מעניין במיוחד: מחבריו ניסו להפריך את התפיסה הרווחת לפיה יש פרקי זמן שבהם יכולת הקליעה של שחקני כדורסל טובה יותר ממה שאפשר לצפות באופן אקראי.

ספציפית, המחברים (גילוביץ', ואלון וטברסקי) טענו שהאמונה בכך שלשחקני כדורסל יש רגעי מומנטום עם יכולת קליעה טובה היא "הטיה קוגניטיבית". התופעה הזו נקראת היום "אשליית היד החמה", והיא חולקת קווי דמיון עם "כשל המהמר". מקור ההטיה הוא בנטייה האנושית לחפש דפוסים והיגיון באקראיות.

האמונה ברצף בספורט, או ביד חמה, ודאי לא מוגבלת רק לכדורסל. פרשנים ואוהדים בענפי ספורט רבים משתמשים לא מעט בביטויים כמו "הקבוצה בכושר", "השחקן לוהט" או "הכול הולך לו".

הם עושים זאת למרות הממצאים במאמר של טברסקי ושות' ובמאמרים רבים נוספים שפורסמו אחר כך וחקרו את אשליית היד החמה. עד היום, כמעט אי אפשר לצפות בתחרות או במשחק בלי שפרשן ישתמש במונח המרמז על מומנטום, או סטייה מהאקראיות.

אז למה כבר 30 שנה פרשנים ואוהדים ממשיכים להאמין שיש כזה דבר מומנטום? במחקר חדש שפורסם נראה שהאינטואיציה שלנו לגבי קיומו של מומנטום הייתה מוצדקת אחרי הכול.

במאמר בשם "מופתעים מכשל המהמר ומאשליית היד החמה? האמת בחוק המספרים הקטנים", מילר וסנג'ורג'ו הראו שלכדורסלנים במאמר של טברסקי ושות' אכן הייתה יד חמה, ושאשליית היד החמה היא הכשל פה. הסיבה לשגיאה בתוצאות המחקר של טברסקי ושות' מ-1985 היא טעות דגימה פשוטה אך חשובה. כדי להבין אותה טוב יותר, נשתמש בדוגמה.

נניח שאנחנו מטילים מטבע הוגן חמש פעמים. אחרי כל פעמיים שיוצא ברצף "עץ", אנחנו רושמים לעצמנו את תוצאות ההטלות הבאות. אחרי חמש הטלות, מה יהיה החלק היחסי שבו קיבלנו עץ? 50%? פחות או יותר מ-50%?

אפשר להניח, כמו שהניחו טברסקי ושות', שההסתברות לקבל עץ תהיה 50% כי המטבע הוגן, אבל היא פחות. כשמטילים מטבע הוגן חמש פעמים יש 32 אפשרויות לרצפים, ולכל אפשרות יש את אותה הסתברות. האפשרויות האלה רשומות בעמודה 2 בטבלה.

hot-hand-1.png

ב-16 מתוך 32 הרצפים יצא עץ לפחות פעמיים ברצף לפני ההטלה החמישית, כך שאנחנו צריכים "לרשום" אותם. ב-8 מאותם רצפים, אחוז הפעמים שקיבלנו עץ הוא 0%, ב-3 רצפים הוא 50%, ברצף אחד הוא 67% וב-4 רצפים קיבלנו 100% עץ. מכיוון שלכל אחד מ-16 הרצפים יש הסתברות שווה, ההסתברות שנרשום עץ אחרי שתי הטלות רצופות של עץ היא רק 38.5%.

hot-hand-2.png

התוצאה הזו נוגדת את האינטואיציה והובילה לטעויות במחקרים על "היד החמה", כולל במאמר של טברסקי ושות'. כדי שיהיה עוד יותר קל לראות את ההטיה הזו ניקח תרחיש פשוט נוסף, שבו אנחנו רוצים לדעת מה הסיכוי שיצא עץ בהטלה אחרי שיצא עץ פעם אחת. בתרשים הבא אפשר לראות את ההסתברות הזו ב-5,000 סימולציות עם עד 500 הטלות של מטבע הוגן.

hot-hand-3.png

שמים מספרים מאחורי הטיית הדגימה

אפשר לשים מספרים מאחורי ההטיה הזו – זה המרחק האנכי בין הקו הכתום להסתברות האמיתית הבלתי מותנית, 50%. אם מטילים את המטבע רק 10 פעמים, הסיכוי שיצא עץ אחרי שיצא פעם אחת עץ הוא 44.5%. כלומר, ההטיה היא 5.5%.

בספורט, לא סביר שנשמע שמישהו מתייחס ל"יד חמה" רק אחרי קליעה אחת או צבירת נקודה אחת. בתרשים הבא אפשר לראות את ההטיה בסיכוי להצליח אחרי רצף של "k" הצלחות, עם הסתברות הוגנת של 50%. שוב, השתמשתי ב-5,000 סימולציות.

hot-hand-4.png

אפשר לראות שככל שרצף ההצלחות ארוך יותר, כך ההטיה גדלה, ושהיא קטנה עם מספר הניסיונות. במאמר שלהם, טברסקי ושות' תכננו ניסוי קליעה מבוקר בכדורסל, שבו 25 שחקני קולג' זרקו לסל 100 פעמים. הם רשמו את אחוזי הקליעה של השחקנים אחרי רצף של "k" החטאות או קליעות (k = 1,2,3).

מיקום הקליעה של כל שחקן נקבע לפי הערכה של 50% סיכויי הצלחה. טברסקי ושות' השוו בין אחוזי הקליעה אחרי רצף קליעות לבין אחוזי הקליעה אחרי רצף דומה של החטאות. ההשערה שלהם הייתה שההסתברות לקלוע אחרי k קליעות שווה להסתברות לקלוע אחרי k החטאות.

עם זאת, מהדוגמה של המטבע למדנו כבר שההסתברויות האלה שונות. בהנחה שההסתברות האמיתית ששחקן יקלע היא 50% לכל אחת מ-100 הזריקות, ההסתברות שהוא יקלע אחרי רצף של 3 קליעות היא כ-46%. להשלמת החצי השני של התמונה, ההסתברות לקלוע אחרי רצף של 3 החטאות היא כ-54%.

מדובר בהטיה משמעותית מאוד, שכשמשקללים אותה המסקנות של טברסקי ושות' לגבי היעדר יד חמה בקליעה מתהפכות. הרוב המוחלט של השחקנים אכן חווה יד חמה. בספורט, לא סביר שההסתברות של "הצלחה" תהיה קבועה על 50%. ב-NBA למשל, הממוצע של אחוז קליעות העונשין הוא 75%.בתרשים הבא אפשר לראות איך ההטיה משתנה בהתאם להסתברות של ההצלחה. כאן ההסתברות הייתה 75%, ב-5,000 סימולציות.


hot-hand-5.png

כשמשווים בין שני התרשימים, רואים שההטיה קטנה כששהסתברות גדלה. למשל, כשההסתברות הבלתי מותנית היא 50% או 75%, ההסתברות לקלוע אחרי 5 קליעות ב-100 ניסיונות היא 38% או 72% בהתאמה. כלומר, ההטיה היא 12% (50-38) ו-3% (75-72) בהתאמה.

יד חמה בתחרות השלשות באירוע האולסטאר של ה-NBA

בשלב הבא בדקתי אם למשתתפים בארבע תחרויות השלשות האחרונות (2015-2018) באירוע האולסטאר של ה-NBA הייתה יד חמה. התחרות הזו מושלמת לניתוח היד החמה, כי התנאים ומיקום הקליעה זהים ואין לחץ מצד ההגנה על השחקן הקולע. בתחרות, השחקנים מנסים לקלוע 25 שלשות כל סיבוב, מ-5 מיקומים קבועים סביב קשת השלוש.

ב-4 השנים שדגמתי השתתפו בה 46 שחקנים, שזרקו 1,150 פעם וקלעו ב-54%. בטבלה הבאה אפשר לראות את אחוזי הקליעה המותנים של כל שחקן אחרי קליעה אחת, החטאה אחת, שתי קליעות ושתי החטאות.

סטטיסטיקות מתחרות השלשות של ה-NBA

hot-hand-6.png

אחוזי הקליעה גבוהים מהממוצע אחרי קליעה אחת או שתיים ונמוכים מהממוצע אחרי החטאה אחת או שתיים.

בעמודה 11 רשום ההפרש בין אחוזי הקליעה אחרי קליעה או החטאה (אחוזי הקליעה אחרי קליעה פחות אחוזי הקליעה אחרי החטאה). טברסקי ושות' השתמשו בהפרש הזה כמבחן ליד חמה בקליעה.

אם נשתמש באותם נתונים של טברסקי ושות', נוכל לראות שבארבע התחרויות ל-24 שחקנים היה הפרש חיובי ול-21 היה הפרש שלילי. הממוצע של השחקנים היה טוב יותר ב-10% אחרי קליעה. אולם עכשיו אנחנו מכירים את הטיית הדגימה, וצריכים לקחת אותה בחשבון.

אם נשתמש בהנחת היסוד שלכל שחקן יש הסתברות של 54% לקלוע (הממוצע), ההסתברות לקלוע אחרי קליעה היא כ-52%. שוב, להשלמת התמונה, ההסתברות לקלוע אחרי החטאה היא כ-56%. לכן, נוכל להוסיף 4% לעמודה 11 כדי לשקלל את הטיית הדגימה.

אחרי השקלול הזה נוכל לומר ששחקן עם הפרש חיובי היה טוב יותר אחרי קליעה מאשר אחרי החטאה. אם נסתכל על הנתונים אחרי השקלול, ל-32 שחקנים היה הפרש חיובי ול-14 היה הפרש שלילי. ממוצע אחוזי הקליעה של השחקנים היה טוב יותר ב-14% אחרי קליעה. זאת הוכחה טובה מאוד לכך שיש כזה דבר "יד חמה" בקליעה לסל. 

אם נבצע שקלולים דומים לעמודה 12 (אחוזי הקליעה אחרי שתי קליעות פחות אחוזי הקליעה אחרי שתי החטאות), נראה של-30 שחקנים הייתה יד חמה (הפרש חיובי) לעומת רק 19 אם לא היינו משקללים את ההטיה. העלייה בממוצע אחוזי הקליעה אחרי שתי קליעות היא 29% – שוב, הוכחה טובה מאוד לכך שבתחרויות השלשות האחרונות ב-NBA יש כזה דבר "יד חמה".

אינטואיציה לעומת ניתוח

המונח "אשליית היד החמה" מלווה אותנו יותר מ-30 שנה, אבל כך גם הביטחון של פרשני ואוהדי ספורט בכך שאשליית היד החמה היא אשליה בפני עצמה, ושיש כזה דבר "מומנטום". מונחים כמו "הולך לו" או "הוא לוהט" תפסו מקום של קבע בז'רגון הספורט, כך שנראה שהאינטואיציה והאינסטינקטים לא פחות חשובים מניתוח סטטיסטי כשמנסים להסביר את היכולת בספורט, לאור העובדה שבשני המקרים יש הטיות מסוימות.

למרות שרק לאחרונה מושג המומנטום בספורט זכה לאישוש מהאקדמיה, סוכנויות ההימורים מודעות לו מזה זמן רב. המודלים שבהם הן משתמשות כדי לתמחר יחסי זכייה תוך כדי משחק מתחשבים במומנטום, בהתאם לענף הספורט, לקבוצה ולשחקנים.

באחת מהכתבות הקודמות הראיתי את ההשפעה של המומנטום בין מערכות במשחקי טניס מקצועניים. אם נוכל לקבוע במדויק יותר לאיזו קבוצה או לאיזה שחקן הסיכוי להצליח גבוה מההסתברות שניתנה ביחסי הזכייה, אולי נוכל להמר ולהרוויח, גם אם התחזית שלנו נבעה מאינסטינקט ולא בהכרח מניתוח סטטיסטי.

משאבי הימורים - משפרים את יכולות ההימור שלך

משאבי ההימורים של פינקל הם אחד מהאוספים המקיפים ביותר של עצות מקצועיות להימורים שאפשר למצוא באינטרנט. אנו מספקים עצות לכל רמות הניסיון, במטרה אחת פשוטה - לשפר את היכולת שלך להמר בצורה מושכלת.