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nov. 1, 2018
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Chance : en attendez-vous trop ?

L'exemple classique : pile ou face

La loi binomiale et l'écart type

La loi des grands nombres joue-t-elle en votre faveur ?

Chance : en attendez-vous trop ?

Les paris sont souvent influencés par la chance. Parfois, elle joue en notre faveur. Parfois, nous en sommes victimes. Il est essentiel de comprendre le rôle que joue la chance dans les paris, mais y a-t-il une vraie différence entre avoir de la chance et en manquer ? Lisez la suite pour le découvrir.

Les paris sportifs sont avant tout une affaire de chance. Lorsqu'on gagne, c'est presque exclusivement parce qu'on a eu de la chance ; les marges des bookmakers et la loi des grands nombres finissent presque toujours par nous jouer des tours. Ceux qui connaissent bien mes articles savent que je ne mâche pas mes mots lorsque j'évoque les probabilités pour les parieurs de gagner de l'argent sur le long terme. Mes théories ne sont pas très populaires car elles demandent aux parieurs de faire un choix entre espoir et réalisme.

À l'inverse, de nombreux articles des Ressources sur les paris de Pinnacle visent à informer les parieurs pour qu'ils élaborent des pronostics plus efficaces. Néanmoins, même pour les rares parieurs qui parviennent à trouver des profits à long terme, les règles de la probabilité s'appliqueront quand même. Dans cet article, je vais vous expliquer comment y parvenir. J'illustrerai en particulier la frontière très mince entre avoir de la chance et ne pas en avoir.

L'exemple classique : pile ou face

Tout le monde sait que le résultat d'un lancer de pièce de monnaie ne peut avoir que deux résultats aussi probables l'un que l'autre : pile ou face (proposition à 50-50). On sait également que, si on lance une pièce 20 fois, on n'obtiendra pas exactement 10 fois pile et 10 fois face, même si c'est le résultat le plus probable. Parfois on obtient 12 « face » et 8 « pile », parfois l'inverse. En revanche, on n'obtient que très rarement 5 « face » et 15 « pile ». Pour déterminer les probabilités exactes de chaque résultat, on peut utiliser la loi binomiale. Pour 20 lancers de pièce, on obtient le résultat suivant :

Content-In-article-luck-in-betting_1.jpg

Les résultats probables sont majoritairement compris entre 5 fois face et 15 fois pile, et 5 fois pile et 15 fois face. Et pour 100 lancers de pièce ? La distribution des résultats ressemble à ceci :

Content-In-article-luck-in-betting_2.jpg

Cette fois, l'éventail de résultats probables est plus large. Visuellement, pour 20 lancers, on obtient un résultat compris entre 5 et 15 fois face, soit une différence de 10. Pour 100 lancers, cet écart est grosso modo doublé : entre 40 et 60 fois face. Cela signifie-t-il que, plus on lance la pièce, plus on élargit l'éventail de résultats possibles ? Oui et non.

Quand le mathématicien Jacques Bernoulli a fait l'expérience d'un tel scénario, il a constaté que, si la différence numérique absolue entre le nombre de « face » et le nombre de « pile » grandit en même temps que le nombre de lancers, le pourcentage de « face », lui, se rapproche de 50 %. 5 « face » sur 20 lancers équivaut à un pourcentage de 25 % ; mais 40 « face » sur 100 lancers, c'est déjà 40 %. Cette deuxième explication, qui constitue la base de la loi des grands nombres, est l'élément clé qui permet aux parieurs de comprendre la probabilité. 

La loi binomiale et l'écart type

On peut mesurer l'éventail, ou dispersion, d'une distribution grâce à la loi binomiale. Dans ce cas, l'écart type, σ, est calculé par l'équation simple suivante :

thin-line-formula1.png

n est le nombre de répétitions binaires (= lancers de pièce), p est la probabilité de succès (face) et q la probabilité d'échec (pile). Vu que p + q = 1 : 

thin-line-formula2.png

Et dans le cas où p = q (= 0,5) : 

thin-line-formula3.png

Pour 20 lancers de pièce, σ = 2,24, mais pour 100 lancers, σ = 5.

L'écart type nous indique l'éventail des résultats les plus probables. Par exemple, sur 100 lancers, un peu plus de deux tiers auront un résultat moyen de ±1σ, soit entre 45 et 55 fois face.

Nous confirmons ainsi la première découverte de Bernoulli : plus l'échantillon est grand, plus l'écart absolu est grand. Et si on replace les nombres absolus par des pourcentages ? Pour calculer le pourcentage de faces, on divise leur nombre par le nombre total de lancers, c'est-à-dire n. De même, pour calculer l'écart type en pourcentage, on le divise également par n. 

Pour une simple proposition à 50-50, on obtient : 

thin-line-formula4.png

Pour 20 lancers de pièce, l'écart type du pourcentage de faces est 0,11 (soit 11 %), mais pour 100 lancers, il atteint 0,05 (soit 5 %).

La loi des grands nombres

Selon la loi des grands nombres, plus le nombre d'essais est grand, plus la moyenne des résultats obtenus avec un nombre donné d'essais tend vers la valeur attendue. Dans le cas d'un lancer à pile ou face, plus on lance la pièce, plus le pourcentage de fois où on obtient face s'approche de la valeur attendue, c'est-à-dire 50 %.

Comme l'écart type en pourcentage est proportionnel à la racine carrée du nombre de lancers, la relation entre ces deux variables relève de ce qu'on appelle la loi de puissance. L'écart type varie en fonction de la puissance, ou logarithme, du nombre de lancers. Sur un graphique, cette relation se traduit par une droite ; à chaque n au carré, la valeur de σ est divisée par deux.

Content-In-article-luck-in-betting_3.jpg

La loi de puissance indique que, proportionnellement, la diminution de l'écart type est plus importante lors des premiers essais. De σ=0,5 après 1 lancer, on passe à seulement 0,1 après 25 lancers, soit une diminution de quatre cinquièmes qui tend vers la valeur limite, zéro (après un nombre infini de lancers). Ainsi, on comprend mieux la vitesse à laquelle la loi des grands nombres se met en application. En redessinant le graphique ci-dessus sur une échelle linéaire, on visualise mieux cette vitesse. 

Content-In-article-luck-in-betting_4.jpg

Succès et échec : comment mettre la théorie en pratique ?

Les succès et les échecs en matière de paris sont comparables à un tirage à pile ou face. Un pari est intrinsèquement une proposition binaire : soit il est gagnant, soit il ne l'est pas. Ainsi, pour les paris les plus simples, pour lesquels la probabilité de victoire dans chaque camp est identique, les résultats possibles sont là aussi distribués de façon binomiale.

Exemple flagrant de cette proposition binaire : les paris sur écarts de points sur les marchés sportifs américains ou les paris à handicap asiatiques sur le football, où l'application d'un handicap d'un côté ou de l'autre transforme le pari en proposition à 50-50, avec des cotes équitables de 2,00. 

Toutefois, il n'est pas nécessaire de se limiter aux propositions à 50-50. Vous vous souvenez de l'équation ci-dessus qui permet de calculer l'écart type en pourcentage ? Il existe une version plus générique qui vous permet d'obtenir les pourcentages des autres victoires attendues possibles : 

thin-line-formula5.png

Même pour les parieurs avertis capables de générer des profits à long terme, la plupart des indices sont des bruits aléatoires autour d'un signal relativement faible, tout simplement en raison des variables aléatoires inhérentes aux systèmes complexes comme les compétitions sportives.

Bien évidemment, dans la réalité, les parieurs non avertis ne font aucun profit s'ils se contentent de suivre les probabilités attendues. Si l'on ajoute la marge du bookmaker, il est inévitable de perdre de l'argent après 1 000 paris.

Imaginez un parieur qui parie sur des propositions à 50-50 et en remporte 55 % sur le long terme. Son pourcentage de succès attendu est passé de 50 à 55 % grâce à son talent de prédiction, mais les règles binomiales de variance s'appliquent toujours.

Avec l'équation ci-dessus, on pourrait démontrer que l'écart type par rapport au pourcentage de paris gagnants devrait être de 3 % après 275 paris, soit une probabilité d'environ deux tiers d'obtenir un taux de succès compris entre 52 et 58 % pour le nombre total de paris engagés. 

Si les paris restent simples et conservent la même probabilité de victoire attendue (cote) pour chaque pari, alors nous pouvons utiliser la loi binomiale pour déterminer la probabilité de n'importe quel événement (sous Excel, utiliser la fonction BINOMDIST).

J'ai illustré cette théorie pour différents historiques de paris ci-dessous. Le premier historique ne compte que 20 paris. Les valeurs numériques du graphique montrent une probabilité cumulative de pourcentage de succès plus élevée qu'une valeur particulière. Par exemple, vous avez environ 9 % de chances de gagner plus de six paris (30 %) si le résultat attendu à long terme est 20 %. Vous avez environ 1 % de chances de gagner 20 paris sur 20 si le résultat attendu est 16. 

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Les zones rouges et vertes correspondent, grossièrement, aux zones de perte et de gain de profit, respectivement, lorsque les probabilités sont équilibrées. Sans surprise, si vous perdez plus de paris qu'attendu, vous perdrez de l'argent. Mais vous pouvez constater qu'il est rare de sous-performer de façon significative.

Même après seulement 20 paris à égalité, vous pouvez en gagner neuf ou plus les trois quarts du temps. La loi des grands nombres est de votre côté. Elle vous protège contre la probabilité d'un pourcentage élevé d'échecs.

Toutefois, le corollaire est également vrai. Si vous remportez plus de paris qu'attendu, vous serez en situation de profit, mais vous n'aurez que peu de chances de réaliser d'importants profits. Même si vous êtes un parieur averti capable de remporter 55 % de paris à égalité sur le long terme, vous n'avez toujours que 13 % de chances d'en remporter 14 ou plus sur 20. Cette fois, la loi des grands nombres joue en votre défaveur : elle vous empêche de réaliser des gains importants. 

La zone jaune correspond grosso modo à la zone dans laquelle les parieurs rentrent dans leurs frais. Ce qui est étonnant, c'est l'étroitesse de la zone qui sépare les résultats très chanceux et très malchanceux, c'est-à-dire la zone dans laquelle on retrouve la plupart des résultats de pari.

Regardons comment évolue la zone jaune après 100 paris.

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Les chances de se retrouver très loin des résultats attendus à long terme ont considérablement diminué. Et après 1 000 paris ?

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Bien évidemment, dans la réalité, les parieurs non avertis ne font aucun profit s'ils se contentent de suivre les probabilités attendues. Si l'on ajoute la marge du bookmaker, il est inévitable de perdre de l'argent après 1 000 paris. La loi des grands nombres vous a achevé. Pour les parieurs avertis, le tableau n'est pas du tout le même.

Si vous vous attendez à remporter 55 % de 1 000 paris à égalité, alors vous allez presque toujours en remporter au moins 50 %. Si la marge du bookmaker est inférieure à la différence entre le pourcentage de succès que vous attendez et celui attendu par le bookmaker, alors vous avez de très grandes chances de réaliser un profit à long terme. Le très respecté site ProfessionalGambler.com arrive à la même conclusion :

« La différence entre le pourcentage de paris gagnés par les parieurs chanceux et le pourcentage de paris gagnés par les parieurs malchanceux est relativement très réduite. »

Vous pouvez maintenant le constater par vous-même. La loi des grands nombres peut à la fois être votre plus grande alliée et votre pire ennemie. 

Mais bien sûr, la plupart du temps, les paris ne sont pas aussi simples que cet article le suggère, car les parieurs choisissent tout un éventail de cotes et d'enjeux. Pour les analyser, il faut utiliser des mathématiques bien plus sophistiquées ou bien faire appel à la fameuse méthode de Monte-Carlo quand tout devient trop compliqué. 

De plus, je n'ai pas évoqué les variances des profits et des pertes, un sujet à part entière que j'ai déjà traité dans mes précédents articles (plus les cotes sont longues, plus la variance des profits et des pertes est grande).

Toutefois, l'objectif de cet article est d'illustrer la vitesse et la puissance de la loi des grands nombres, ainsi que la finesse de la frontière entre résultat attendu et réel, être chanceux ou malchanceux.

Test de la crédibilité des historiques de paris

Avant de conclure, je voudrais également vous montrer comment utiliser ces informations sur l'écart type par rapport au pourcentage de succès pour tester la crédibilité des historiques de paris dont se vantent les services de conseil et d'astuces pour vous vendre leurs pronostics. 

On peut prendre l'exemple d'une entreprise spécialisée dans les handicaps qui fournit une « approche honnête et directe » de ses « principes de handicap ». Cette société n'ignore bien évidemment pas le côté aléatoire des paris sportifs et explique à ses clients que les victoires garanties n'existent pas et qu'il y a « toujours une part de chance dans tous les concours ». Cependant, avec un taux de succès affiché de 76 % sur plus de 11 000 pronostics, elle a de toute évidence réussi à contourner cette imprévisibilité.

Selon la loi des grands nombres, plus le nombre d'essais est grand, plus la moyenne des résultats obtenus avec un nombre donné d'essais tend vers la valeur attendue.

En examinant de plus près les résultats publiés jusqu'à ce jour, on remarque en réalité un taux de victoire de 75 % pour 10 312 pronostics (il en manque donc quelques-uns). S'il y a quelques propositions à prix long ou court, 94 % d'entre elles ont une cote comprise entre 1,67 et 2,50 (soit une probabilité de succès implicite de 60 et 40 %). La probabilité de victoire moyenne implicite pour l'échantillon complet est de 52,2 %, ce qui, après prélèvement de la marge du bookmaker, revient à une proposition à 50-50, à peu de choses près.

Si on répartit les résultats en 56 échantillons mensuels (entre mars 2014 et octobre 2018), on constate un nombre de pronostics mensuels moyen de 184. Pour plus de la moitié des échantillons, ce nombre est compris entre 140 et 224. Si nous partons du principe que le taux de victoire attendu à long terme est de 75 %, quelle devrait être la variation mensuelle du nombre de succès ? À l'aide de l'équation ci-dessus, on calcule l'écart type attendu par rapport au pourcentage de succès pour un échantillon de 184 pronostics et on obtient un résultat légèrement supérieur à 3 %. Un peu plus de deux tiers des échantillons doivent être compris entre 72 et 78 % de succès, et 95 % entre 69 et 81 %.

En réalité, l'écart type est de 8,6 %, bien plus élevé que la normale. Moins de 40 % des valeurs sont à ±1σ de 75 % et un peu plus de la moitié à ±2σ. La variation est donc beaucoup trop grande. Même si on partait sur un chiffre de 32 pronostics par mois seulement, le mois le plus faible, l'écart type attendu serait de seulement 7,7 %. 

Un écart type de 8,6 % est normalement celui d'un échantillon de 25 pronostics, pas 184. En décembre 2014, il y avait 151 pronostics avec un taux de succès attendu moyen implicite de 51,4 %. Un pourcentage de victoire de 46,4 % serait déjà extrêmement rare. En octobre 2015, on comptait 168 pronostics (victoire attendue moyenne implicite de 48,5 %) dont 154, soit 91,7 %, étaient donnés vainqueurs. Une telle performance par un parieur chanceux ne peut se produire en temps normal qu'une fois tous les millions d'années.

Je vous laisse décider de la conclusion à tirer de ces constatations. Elles signifient peut-être que le niveau de compétence des parieurs peut fluctuer de façon extraordinaire en très peu de temps. Elles signifient peut-être autre chose. Étant donné ce que j'ai affirmé précédemment concernant les limites de nos attentes en termes de profits, toutefois, je suis sûr que vous saviez déjà qu'une promesse de taux de victoire à handicap de 76 % n'est rien de plus qu'une bonne blague.

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