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nov. 30, 2018
nov. 30, 2018

Comment résoudre un problème comme celui de l'efficacité : première partie

Qu'est-ce que l'efficacité du marché ?

À quel point les cotes finales de Pinnacle sont-elles efficaces ?

Créer un modèle de l'efficacité du marché

Comment résoudre un problème comme celui de l'efficacité : première partie

Quiconque souhaite savoir si ses prévisions sont suffisamment précises pour battre le marché aura probablement entendu parler de la méthode consistant à utiliser les cotes finales de Pinnacle. À quel point les cotes finales de Pinnacle sont-elles efficaces, et comment créer un modèle de l'efficacité du marché ? Pour le savoir, lisez cet article.

Marco Blume, qui dirige le département des négociations chez Pinnacle, n'a aucun doute sur ce qui permet à un parieur d'espérer une valeur attendue rentable à long terme, et donc de faire preuve de précision : il s'agit de sa capacité à battre les cotes finales.

On suppose généralement que les cotes finales d'un marché constituent les plus efficaces (ou précises) de toutes, car elles reflètent l'ensemble des informations disponibles sur un événement. Si, une fois la marge prise en compte, ces cotes correspondent à la probabilité « réelle » de la survenue d'un événement, alors tout montant par lequel elles sont battues permet de mesurer l'avantage attendu.

En les battant de 10 %, vous pouvez espérer une rentabilité de 10 % à long terme. Certains, cependant, pensent que la capacité d'un parieur à faire mieux que les cotes finales, si elle prouve que celui-ci est compétent, n'est pas un critère déterminant. Cette théorie sous-entend cependant que les cotes finales ne sont pas toujours efficaces.

Dans cet article, je veux essayer de réconcilier ces deux opinions en étudiant de plus près le concept d'efficacité et, plus particulièrement, celle des cotes finales de Pinnacle, afin de parvenir à un consensus. Je préfère prévenir les lecteurs potentiels qu'ils risquent de devoir s'accrocher, car nous allons embarquer pour un voyage dans le monde de mes expériences statistiques.

Lorsque je l'ai moi-même réalisé, je n'étais pas sûr de ce que j'y découvrirais. Même à présent, je ne suis toujours pas certain de mes propres conclusions, mais je vais tout de même vous en faire part. Ce ne sera pas aussi amusant qu'une visite chez Willy Wonka, mais sans doute plus enrichissant pour ceux d'entre vous aspirant à devenir des parieurs efficaces. 

Qu'est-ce que l'efficacité du marché ?

Ces dernières années, j'ai beaucoup parlé du concept d'efficacité du marché. Lorsqu'on parle de paris, un marché efficace est un marché dont les cotes reflètent avec précision les probabilités d'occurrence des événements concernés. Par exemple, si la probabilité « réelle » d'une humiliation de Manchester United par leurs rivaux de Manchester City est de 70 %, alors une cote de 1,429, calculée en amont de la marge du bookmaker, serait efficace. 

Les marchés des paris sont, après tout, des processeurs bayésiens plutôt efficaces ; ils s'affinent en permanence et améliorent ainsi leurs prévisions concernant la probabilité d'un événement.

Pour une simple rencontre, évidemment, le résultat peut varier et un pari sur Manchester City peut s'avérer gagnant ou perdant. Cependant, avec des centaines ou des milliers d'occurrences, la bonne ou la mauvaise chance des mises individuelles s'annulera (en vertu de la loi des grands nombres). C'est pourquoi il est pertinent de parler de probabilité « réelle » d'un résultat, même s'il est, en pratique, impossible de connaître précisément celle-ci. C'est précisément ce que reflètent les cotes appliquées aux paris.

L'efficacité du marché est un concept intéressant lorsqu'il est appliqué à des échantillons importants. Toutefois, s'il nous est impossible, pour des événements uniques, de déterminer la probabilité « réelle » de l'occurrence d'un résultat, comment se faire une idée de l'efficacité de sa cote ? 

Il est bien sûr possible de tester un large échantillon de paris, dont la cote équitable (hors marge) serait par exemple de 2,00. Si 50 % de ces mises sont gagnantes, nous pouvons en déduire que la probabilité moyenne de gagner pour ces paris est de 50 %, et donc que les cotes associées constituaient une représentation raisonnable de ces probabilités. Mais cela ne nous donne pas d'indication concernant les probabilités individuelles de gagner ces paris, qui ont contribué à la moyenne globale. Un marché peut se montrer efficace dans son ensemble, sans pour autant refléter l'efficacité de paris individuels.

À quel point les cotes finales de Pinnacle sont-elles efficaces ?

En juillet 2016, Pinnacle a publié un article dont j'étais l'auteur et qui traitait de l'efficacité (ou précision) des cotes de leurs matchs de football, et plus particulièrement de leurs cotes finales, les dernières publiées avant le début d'une rencontre.

J'ai démontré qu'une fois la marge soustraite, une cote de 2,00 permet de gagner environ 50 % du temps, une cote de 3,00, 33 % du temps, une cote de 4,00, 25 % du temps, etc. Bien sûr, comme je l'ai déjà expliqué, tout cela ne nous aide pas à comprendre les probabilités « réelles » des résultats de matchs individuels, mais nous indique seulement qu'en moyenne, les cotes étaient assez précises.

En allant plus loin, j'ai également montré que le rapport entre les cotes d'ouverture et les cotes finales était, chez Pinnacle, un indicateur de probabilité très fiable, ce qui sous-entend que leurs cotes finales sont particulièrement efficaces. Pour prendre un exemple, des équipes dont les cotes d'ouverture étaient de 2,20 (hors marge) et dont les cotes finales étaient réduites à 2,00 gagnaient environ 50 % du temps et permettaient un profit par mise de 10 % sur la cote d'ouverture (ou 2,20 / 2,00 - 1) et 0 % sur la cote finale.

On constate aussi que les équipes dont la cote a varié de 1,80 à 2,00 ont gagné environ 50 % du temps et engendré une perte de 10 % par rapport à la cote d'ouverture (soit 1,80 / 2,00 - 1) et de 0 % par rapport à la cote finale. J'ai de nouveau effectué l'analyse avec un échantillon porté à 158 092 rencontres et 474 278 cotes domicile/nul/extérieur, et les résultats comme les conclusions sont globalement les mêmes. Vous pouvez les retrouver dans le graphique ci-dessous.

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Chaque point de donnée représente le rendement réel d'intervalles de 1 % du rapport cote d'ouverture / cote finale. Les points en bleu montrent le rendement par rapport aux cotes d'ouverture, et les points en rouge par rapport aux cotes finales. Ces données suggèrent clairement l'existence d'une variance, mais la tendance générale est nette. J'ai mis en évidence les tendances, en choisissant de régler leurs intersections à zéro (une supposition raisonnable dans la mesure où la marge n'est pas prise en compte), ainsi que leurs équations.

Celles-ci confirment à nouveau mon hypothèse d'origine, à savoir que le rapport entre la cote d'ouverture et la cote finale (x sur le graphique) est un excellent moyen de prévoir la rentabilité des cotes d'ouverture (y sur le graphique) et, plus généralement, que les cotes finales de Pinnacle sont, en moyenne, particulièrement efficaces.

Le « Coefficient de Proportionnalité » entre le Rapport cote d'Ouverture/Cote finale (moins 1) et la rentabilité (ou Gain) est la valeur du gradient de la ligne de tendance. Une valeur de 1 suppose une proportionnalité parfaite. Pour simplifier, j'utiliserai l'acronyme ROCGCDP pour la suite de cet article.

Cependant, et ainsi nous l'avons déjà souligné, ce rapport est « valable » pour l'ensemble des données. Nous n'avons toujours pas déterminé l'efficacité des cotes finales individuelles. Chaque point de donnée dans le graphique correspond à des milliers de résultats.

Créer un modèle de l'efficacité du marché

Afin de comprendre comment produire un tel graphique ROCGCDP, qui suppose une certaine efficacité des cotes finales, j'ai créé un modèle simple permettant de simuler les variations entre les cotes d'ouverture et les cotes finales. Ce modèle est constitué de 10 000 paris, chacun comprenant une cote d'ouverture et une cote finale. 

Afin de tenter de reproduire l'incertitude de la probabilité des résultats « réels » des paris, j'ai décidé de fixer les cotes d'ouverture de manière aléatoire, avec une moyenne de 2,00 et un écart-type (σ) de 0,15 (ce qui suppose que les deux tiers sont compris entre 1,85 et 2,15, et que 95 % sont compris entre 1,70 et 2,30). 

C'est pourquoi, même si la cote « réelle » de chaque pari, qui n'était connue que du démon de Laplace (et de moi), était de 2,00, la cote d'ouverture publiée par le bookmaker virtuel de mon modèle variait d'une moyenne similaire. J'ai choisi une valeur de 0,15 pour l'écart-type, car elle reflète assez bien les variations réelles entre cote d'ouverture et cote finale sur les marchés de paris dont les cotes sont proches de 2,00.

Un écart-type de 0,05, par exemple, suppose que 95 % des cotes d'ouverture publiées situées aux alentours de 2,00 seraient précises à ±5 %. Une telle amplitude paraît trop faible au vu du nombre de cotes pour lesquelles on observe une variation. De la même façon, une valeur de 0,3 ou plus suggère que les bookmakers ne sont pas particulièrement précis lorsqu'ils établissent leurs cotes, ce qui ne correspond pas, en général, à la « réalité ». 

L'efficacité du marché est un concept intéressant lorsqu'il est appliqué à des échantillons importants. Toutefois, s'il nous est impossible, pour des événements uniques, de déterminer la probabilité « réelle » de l'occurrence d'un résultat, comment se faire une idée de l'efficacité de sa cote ?

Il est fort peu probable qu'un bookmaker choisisse de fixer une cote à 3,00 si la cote « réelle » est de 2,00. Cela peut certes arriver, mais il s'agit souvent d'une erreur, ou de la conséquence d'un événement majeur et imprévisible, dont l'information n'était pas disponible au moment où la cote a été établie. Dans de telles circonstances, il semble raisonnable de parler d'une évolution de la cote « réelle ». Mais revenons à notre modèle. J'ai établi des cotes d'ouverture ; qu'en est-il des cotes finales ?

Les cotes finales reflètent, en théorie, les opinions des parieurs, exprimées par des choix financiers. Supposons que dans un cas extrême, et même si ces opinions sont le reflet d'une accumulation d'informations relatives à la probabilité « réelle » d'un résultat, le niveau d'incertitude lié à l'aléatoire reste le même. Cette supposition n'est pas réaliste : les marchés des paris sont, après tout, des processeurs bayésiens plutôt efficaces ; ils s'affinent en permanence et améliorent ainsi leurs prévisions concernant la probabilité d'un événement, ce qui réduit le niveau d'incertitude.

En ce qui concerne notre modèle, la cote moyenne et l'écart-type sont à nouveau de 2,00 et 0,15, respectivement. Pour chaque paire de cotes, nous pouvons désormais établir un rapport (cote d'ouverture / cote finale). Et, comme nous connaissons la probabilité « réelle » de résultat pour chacune d'entre elles (50 %), nous pouvons également calculer le rendement attendu pour chacune des 10 000 occurrences. Nous pouvons enfin établir un graphique représentant la variation du rendement attendu des cotes d'ouverture et finale pour des rapports différents, ainsi que je l'avais déjà fait pour les cotes Pinnacle.

Le premier des six graphiques ci-dessous expose les résultats du modèle. Les lignes rouge et bleu montrent la moyenne de profit par mise attendu (ordonnée) pour 50 séquences, respectivement pour les cotes d'ouverture et finale, les 10 000 paris étant classés par cotes d'ouverture / cotes finales - 1 (abscisse). Cela ne ressemble pas vraiment aux données de Pinnacle.

Bien que mes cotes d'ouverture et finale soient théoriquement efficaces pour l'ensemble des données, puisqu'elles correspondent en moyenne aux cotes « réelles », le taux cote ouverture / cote finale ne prévoit que la moitié de la rentabilité attendue (ROCGCDP = 0,5). Par exemple, un taux de 110 % donne un rendement de 105 % (soit 5 % de profit par mise) lorsque le pari est réalisé sur la cote d'ouverture, et un rendement de 95 % (soit 5 % de perte par mise) lorsque le pari est réalisé sur la cote finale. 

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Bien entendu, notre taux cote ouverture / finale n'est pas, dans cet exemple, un bon moyen de prévoir la rentabilité et, par extension, nos cotes finales individuelles ne sont probablement pas très efficaces. La raison en est simple. Premièrement, nous savons que nos cotes finales individuelles ne sont pas efficaces. Elles ne correspondent pas toutes à la cote « réelle » de 2,00, puisque je les ai intentionnellement fait varier de manière aléatoire autour de cette valeur.

Deuxièmement, les plus grandes amplitudes dans les rapports cote d'ouverture / cote finale sont survenues lorsque mon générateur de cotes aléatoires a établi une cote d'ouverture importante et une cote finale faible. Le taux le plus important ayant été généré était de 1,55 (avec une cote d'ouverture de 2,27 et une cote finale de 1,46). En réalité, pour une cote d'ouverture de 2,27 dont la cote « réelle » est de 2,00, notre rendement attendu sera de 2,27 / 2,00 - 1 = 0,135, soit 13,5 %, et non 55 %, ainsi que je l'avais annoncé dans mon hypothèse d'origine.

Les cinq graphiques supplémentaires ci-dessus répètent ce modèle, mais diminuent progressivement la variable aléatoire (écart-type) de mes cotes finales, par paliers de 0,03 (tout en conservant la variance des cotes d'ouverture). Vous noterez que lorsque la variable des cotes finales concernant la cote « réelle » de 2,00 diminue, la valeur de ROCCGDP tend vers 1. Dans le cas extrême où toutes les cotes finales sont de 2,00, et donc individuellement parfaitement efficaces, il existe une corrélation parfaite de 1:1.

Consultez à nouveau le graphique détaillant les cotes réelles de Pinnacle. Les lignes de tendance (et leurs équations) correspondent presque à l'exemple de notre modèle qui présente une corrélation parfaite. Cependant, nous pouvons constater qu'il existe toujours une variance ; les points ne sont pas tous situés exactement sur les lignes de tendance. Cela est partiellement dû à la bonne et à la mauvaise chance, présentes dans les résultats réels (mais exclues de mon modèle, qui utilise le rendement attendu). 

Il est évidemment parfaitement irréaliste de penser que chaque cote finale peut correspondre à la perfection aux cotes « réelles ». Le problème, cependant, est que si les cotes finales individuelles ne sont pas parfaitement efficaces, nous sommes obligés d'accepter qu'il existe une corrélation imparfaite entre le rapport cote d'ouverture / cote finale et le rendement attendu (ROCGCDP < 1). Existe-t-il un moyen de pallier à ce problème ? C'est la question à laquelle je tâcherai de répondre dans la deuxième partie de cet article.

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