La loi des grands nombres a été établie au 17e siècle par Jacob Bernoulli pour démontrer la théorie suivante : plus l'échantillon d'un événement (ex. un lancer de pièce) est grand, plus il est susceptible de représenter sa véritable probabilité. Les parieurs se heurtent encore à cette idée 400 ans plus tard, ce qui explique qu'elle a ensuite été dénommée l'Erreur du parieur. Découvrez pourquoi cette erreur peut s'avérer ruineuse.
La loi des grands nombres
Prenons un simple lancer de pièce en exemple (où la chance de tirer pile et face est égale à 50 %) : Bernoulli a déduit que, plus le nombre de lancers de pièces est élevé et plus le pourcentage des résultats de piles ou faces se rapproche des 50 %, tandis que la différence entre le nombre réel de piles ou faces obtenus augmente également.
« À mesure que le nombre de lancers augmente, la distribution de piles ou faces tend à s'équilibrer vers les 50 % »
C'est la deuxième partie de la théorie de Bernoulli que les gens ont du mal à saisir, ce qui lui a valu d'être surnommée l'« Erreur du parieur ». Si vous dites à quelqu'un qu'une pièce a été lancée neuf fois, et qu’elle a atterri sur face à chaque fois, sa prédiction pour le lancer suivant porte généralement sur « face ».
C'est toutefois incorrect, car une pièce n'a pas de mémoire. Chaque fois qu'elle est lancée, la probabilité qu'elle retombe sur pile ou face est donc identique : 0,5 (soit 50 % de chance).
La découverte de Bernoulli a démontré que, à mesure qu'un échantillon de lancers de pièces augmente de façon substantielle, disons un million, la distribution entre piles et face tend à s'équilibrer autour de 50 %. Mais compte tenu des proportions de cet échantillon, l'écart escompté par rapport à une distribution égale à 50/50 peut atteindre les 500.
Cette équation servant à calculer l'écart standard statistique nous donne une idée de ce qu'on est en droit d'attendre :
0,5 × √ (1 000 000) = 500
Bien que l'écart escompté soit observable pour ce nombre donné de lancers, l'exemple des 9 lancers mentionné précédemment n'est pas assez élevé pour que cela s'applique.
Les neuf lancers sont donc une sorte d'extrait issu de la séquence du million de lancers - où l'échantillon est trop petit pour s'équilibrer, comme Bernoulli le suggère sur son échantillon d'un million de lancers - et peut dès lors former une séquence par pure chance.
Appliquer la distribution dans le domaine des paris
Il existe des applications d'écart escompté claires en ce qui a trait aux paris. L'application la plus évidente concerne les jeux de casino comme la roulette, où l'erreur consistant à croire que les séquences rouge/noir ou pair/impair s'équilibreront au cours d'une seule partie peut coûter gros. Voilà pourquoi l'Erreur du parieur est également appelée Erreur de Monte Carlo.
En 1913, une table de roulette dans un casino de Monte Carlo a vu le noir sortir 26 fois d'affilée. Au bout du 15e noir, les parieurs misaient tout sur le rouge, se disant que les chances d'apparition d'un nouveau numéro noir devenaient astronomiques, ce qui illustre la croyance irrationnelle selon laquelle un tour influe parfois sur le suivant.
« En 1913, une table de roulette dans un casino de Monte Carlo a vu le noir sortir 26 fois d'affilée. C'est pour cela que l'Erreur du parieur est également appelée Erreur de Monte Carlo »
Autre exemple possible : celui de la machine à sous, qui est en réalité un générateur de nombres aléatoires avec un RAJ (Retour Au Joueur) défini. On voit souvent des joueurs continuer d'injecter en vain des sommes considérables dans une machine, la confisquant de facto à d'autres joueurs, car convaincus qu'un gros gain doit logiquement suivre une série de pertes.
Bien entendu, pour que cette tactique soit viable, le parieur devrait avoir joué un nombre de fois insensé pour atteindre le RAJ.
En fondant sa loi, Jacob Bernoulli a affirmé que même l'individu le plus stupide comprend que plus l'échantillon est grand et plus il est susceptible de représenter la véritable probabilité de l'événement observé. Il a peut-être été un peu dur dans son évaluation, mais une fois que vous saisissez la Loi des grands nombres, et que vous faites une croix sur la loi (ou le hiatus) des moyennes, vous ne serez pas l'un des idiots de Bernoulli.
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