avr. 14, 2022
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Pourquoi le biais favori-outsider (« favourite-longshot bias ») n'en est-il pas un ?

Découvrez pourquoi le biais favori-outsider n'en est pas un

Comment les bookmakers appliquent-ils leur marge ?

Pourquoi accepter un avantage plus faible sur les favoris ?

Pourquoi le biais favori-outsider (« favourite-longshot bias ») n'en est-il pas un ?

Le débat sur la manière de déterminer les cotes véritables d'un événement simplement au moyen du prix du marché n'est pas nouveau. Cet article explique pourquoi le biais favori-outsider n'en est pas un. Lisez la suite pour en savoir plus.

Pour ce faire, vous devez déterminer quelles sont les cotes susceptibles de refléter fidèlement les cotes réelles avant d'en retirer la marge du bookmaker. Sur de nombreux marchés, Pinnacle est bien placé pour fournir une vue précise des cotes réelles, car il consacre son temps et son argent à recueillir l'opinion des parieurs gagnants, plutôt qu'à la deviner ou à la limiter.

Mais le processus se complique lorsqu'il s'agit de retirer la marge du bookmaker. Examinons donc de plus près la manière de la supprimer des lignes d'un marché donné. À cette fin, nous devons nous mettre à la place du bookmaker et comprendre, pour commencer, comment il applique sa marge.

La sagesse populaire veut qu'il soit dans l'intérêt du bookmaker d'appliquer une marge égale à ses lignes. En d'autres termes, s'il réduit ses cotes à 91 % des cotes justes sur une ligne, il doit réduire l'autre ligne (ou plusieurs lignes, sur les marchés à entrées multiples) dans les mêmes proportions. Par exemple, pour les écarts et totaux NFL, la marge appliquée par la plupart des bookmakers est d'environ 4,8 %. Les écarts (spreads) étant conçus pour que la probabilité des deux côtés soit de 50/50, leurs cotes sont déterminées en ajoutant la marge à 100 % pour former une marge bénéficiaire, puis en multipliant ce nombre par le pourcentage de gain réel pour obtenir un pourcentage de gain rentable pour les parieurs :

50 % * 104,8 % = 52,4 %

Il en résulte une ligne -110/-110 des deux côtés, car :

100 * [(52,4 %/(52,4 % - 100 %)] ≈ -110

Ce faisant, le bookmaker gagne le même avantage ou espérance de gain (EV) sur les parieurs, quelle que soit la ligne sur laquelle ils parient, ou la cote. Peu importe le côté présentant le plus de risque, il possède le même avantage théorique quoi qu'il arrive, non ?

Le problème avec cette théorie traditionnelle, c'est qu'elle s'est avérée fausse dans de très nombreux cas. En examinant les résultats des événements sportifs réels et en les comparant aux lignes de clôture les plus précises possibles, plusieurs auteurs qualifiés ont démontré l'existence d'un « favourite-longshot bias » (biais favori-outsider) ou FLB. Cela signifie qu'il existe un biais dans la manière dont les bookmakers ajoutent la marge aux lignes, avec un montant plus élevé sur l'outsider et moins élevé sur le favori qu'ils ne le devraient. Deux questions se posent alors : comment appliquent-ils la marge, et plus fondamentalement, pourquoi accepteraient-ils un avantage plus faible sur les favoris en faveur des outsiders ?

Il existe une différence subtile entre équilibrer l'espérance de gain sur un marché et équilibrer la croissance maximale attendue.

Il existe autant de théories pour expliquer ce phénomène qu'il y en a sur la méthode utilisée par les bookmakers pour appliquer leur marge. Mais je vais en ajouter une autre pour tenter de répondre aux deux questions à la fois.

Ma théorie est la suivante : un bookmaker sportif traditionnel (à savoir, un teneur de marché qui peut prendre le risque de perdre son argent en cas d'action déséquilibrée) n'a aucun intérêt à ce qu'il y ait le même avantage des deux côtés du marché. Il en a un en revanche lorsque l'excès de risque porte indifféremment sur l'un ou l'autre des côtés du marché, ce qui se produit lorsque la même croissance maximale (MEG) est attendue des deux côtés. La valeur MEG pour une ligne correspond à la croissance attendue que l'on obtiendrait en pariant à la fraction Kelly intégrale, selon le critère de Kelly.

Il existe une différence subtile entre équilibrer l'espérance de gain sur un marché et équilibrer la croissance maximale attendue (MEG, maximum expected growth), et il sera mathématiquement complexe de trouver une formule permettant de supprimer la marge si le bookmaker l'applique de la sorte dans la pratique. Nous devrons faire appel à des logarithmes et à beaucoup d'algèbre pour répondre aux questions avec ma méthode TKO (Theoretical Kelly Optimization). Si j'ai vu juste, toutefois, nous disposerons alors d'une méthode précise pour retirer la marge d'un ensemble de lignes et mieux déterminer l'importance de l'avantage sur nos paris. Et nous saurons pourquoi il est dans l'intérêt des bookmakers de procéder ainsi.

Pour que ma théorie soit vérifiée, nous devons apporter la preuve que la croissance attendue du capital des deux côtés d'un marché double doit être la même lorsque la fraction optimale du capital du bookmaker présente un risque des deux côtés, cette fraction étant, bien entendu, déterminée par le critère de Kelly. Cette méthode est d'ailleurs semblable, dans son concept, à la théorie avancée par Jonathon Brycki dans son article intitulé « Qui est responsable du biais favori-outsider », écrit pour Pinnacle en mars 2019. Il semble, toutefois, qu'il ne soit pas parvenu à une réponse définitive quant à la répartition optimale de la marge. L'équilibre correct du MEG sera atteint lorsque l'équation suivante des valeurs attendues du logarithme de la richesse des deux côtés du marché sera vraie :

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)

où :

p, q = probabilité réelle de la victoire du favori et de l'outsider, respectivement.

f1, f2 = fraction optimale du capital à risque pour le favori et l'outsider, respectivement

b1, b2 = cotes publiées pour le favori et l'outsider, respectivement (à savoir, cotes décimales – 1)

Et où il est possible de résoudre les cotes véritables pour les deux côtés du marché (en fonction des probabilités implicites des cotes publiées), de sorte que :

p1, p2 = probabilité implicite du favori et de l'outsider, respectivement

b0 = cotes véritables nettes fractionnelles de l'outsider

1/b0 = cotes véritables nettes fractionnelles du favori

Pour trouver les cotes véritables, nous supposerons que les fractions du capital que le bookmaker risque sont au niveau optimal. Nous pouvons donc utiliser la formule simple du critère de Kelly pour remplacer les fractions f1, f2 par les cotes et les probabilités de gagner, comme suit :

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)
p * log(1 + f1b1) - p * log(1 – f2) = q * log(1 + f2b2) - q * log(1 – f1)
p [log(1 + f1b1) - log(1 – f2)] = q [log(1 + f2b2) - log(1 – f1)]

Étant donné que :

f1* = p – q/b1   et     f2* = p – q/b2
 Nous pouvons remplacer f1, f2 par les équations de Kelly intégrales et simplifier :
p [log(1 + pb1 - q) - log(1 – q + p/b2)] = q [log(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(1 + pb1 - q)/(1-p+q/b1)]
= q log[(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(p + pb1)/(p + p/b2)] = q log[(q + qb2)/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1))/(p + p/b2)] = q log[(q (1 + b2))/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1) * b2)/((p (1 + b2))] = q log[(q (1 + b2) * b1)/((q (1 + b1))]
p log[((1 + b1) * b2)/(1 + b2)] = q log[((1 + b2) * b1)/(1 + b1)]

À ce stade, nous pouvons convertir en cotes décimales (O1, O2) pour plus de commodité, puis convertir en probabilités implicites (car les probabilités implicites sont l'inverse des cotes décimales) :

p log[O1(O2 - 1)/O2] = q log[O2(O1 - 1)/O1]
p log[p2(1/p2 - 1)/p1] = q log[p1(1/p1 - 1)/p2]
p log[(p2/p1) * ((1 - p2)/p2)] = q log[(p1/p2) * ((1 - p1)/p1)]
p log[(1 - p2)/p1] = q log[(1 - p1)/p2]
b0 = p/q = log[(1 - p1)/p2] / log[(1 - p2)/p1]
b0 = log[p2/(1 - p1)] / log[p1/(1 - p2)]

b0 = log[p2/q1]
/ log[p1/q2]

C'est la réponse si le bookmaker risque la fraction optimale de Kelly, ce qui représente beaucoup pour un seul marché. La réponse est-elle valable pour des fractions de Kelly plus petites des deux côtés ? Après saisie de cette formule très simple dans Excel et examen de la croissance attendue (EG) pour des fractions plus petites mais identiques du Kelly intégral, j'ai déterminé que l'EG des deux côtés était très proche, que le risque du bookmaker soit sur le favori ou l'outsider. Ainsi, même si le bookmaker a un risque bien inférieur au montant optimal sur un marché individuel, le côté où se trouve le risque importe peu, car dans tous les cas, l'EG reste identique. Et les faibles valeurs de l'EG issues de centaines (ou milliers) de marchés simultanés différents se combinent pour offrir l'équilibre optimal entre l'avantage et le risque.

Nous disposons donc, désormais, d'une formule à partir de laquelle effectuer des prédictions testables. Lorsque les données réelles viennent conforter notre théorie, c'est que celle-ci est très probablement avérée. Je ne fais guère de magie avec les données, mais je connais quelques personnes pour lesquelles c'est le cas. L'une d'elles, Joseph Buchdahl, a compilé plusieurs années de données sur les résultats de matchs de football et les a comparées à différentes méthodes permettant de trouver les cotes sans marge dans un article intitulé « The Wisdom of the Crowd ». 

Matt Buchalter, également connu sous le nom @PlusEVAnalytics sur Twitter, a étudié, il y a plusieurs années, différentes méthodes de suppression du vig et a constaté que la meilleure méthode était celle qui utilisait l'échelle des probits. Je n'ai aucune idée de ce qu'est une échelle des probits, mais il a pris soin de publier une feuille de calcul Excel avec la formule correspondante. J'ai ainsi pu comparer sa méthode avec ma méthode TKO de MEG égal, ainsi qu'avec les méthodes de marge proportionnelle aux cotes, de fonction logarithmique et de rapport de cotes étudiées par Joseph Buchdahl. J'ai calculé les chiffres pour un large éventail de probabilités implicites et, en partant d'une marge totale double de 1,8 % (comme celle que vous pourriez trouver sur un marché Pinnacle très efficace), j'ai tracé le pourcentage de marge implicite ajoutée à chacun des chevaux. Résultats :

inarticle-graph.jpg

La ligne noire (marge égale) représente ce qui se passe en l'absence de FLB. Elle diffère complètement des autres. Bien que la courbe de la fonction logarithmique diffère également légèrement, elle suit globalement la même direction que les autres méthodes basées sur le FLB, avec plus de marge ajoutée à la probabilité implicite des outsiders que pour les favoris. Je n'ai pas représenté la méthode de Joseph Buchdahl (marge proportionnelle aux cotes), car elle se traduirait simplement par une ligne horizontale à une marge implicite de 0,9 % pour chaque cheval, puisqu'il s'avère que l'application d'une telle marge ajoute un pourcentage fixe à la probabilité implicite de chaque cheval. Pour les probabilités comprises entre 10 et 90 %, la différence entre cette réponse et la mienne est insignifiante. Il n'était donc pas utile qu'une ligne supplémentaire vienne masquer les petites différences entre les autres méthodes, et ces différences sont vraiment très minimes.

Pour ce type de marché double, les méthodes rapport des cotes et échelle des probits suivent pratiquement le même tracé que la méthode TKO. Soit elles sont toutes très précises, soit elles sont toutes fausses. En fait, la méthode de l'échelle des probits étant basée sur les scores z, certains éléments du nouveau livre de Joseph Buchdahl, « Monte Carlo or Bust », suggèrent qu'elle pourrait mathématiquement être identique à la méthode TKO.

Dans l'article de Joseph Buchdahl, l'analyse qu'il fait des données montre que le modèle de fonction logarithmique suit de beaucoup plus près sa méthode, produisant à peu près les mêmes résultats supérieurs. Dans ce cas, pourquoi leurs tracés diffèrent-ils tant sur mon graphique ? Parce que la fonction logarithmique est particulièrement adaptée à la modélisation de marchés triples (comme les marchés 1X2 du football anglais analysés par Joseph Buchdahl), tandis que la méthode du rapport des cotes l'est davantage pour les marchés doubles.

Ainsi, la méthode TKO correspondant très étroitement aux trois meilleures approximations de la répartition de la marge selon le FLB, nous pouvons dire que nous savons maintenant comment les bookmakers procèdent et pourquoi. Et une fois que vous examinez l'avantage qu'a le bookmaker sur le parieur du point de vue de l'EG (qui tient compte de la variance) plutôt que de celui de l'EV, il en ressort que le soi-disant biais favori-outsider n'en est pas un du tout. C'est de cette manière que le bookmaker devrait appliquer sa marge pour tirer un profit égal du parieur, quel que soit le côté du marché sur lequel il choisit de parier.

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