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déc. 12, 2016
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La loi des petits nombres dans les paris sportifs

La loi des petits nombres dans les paris sportifs

La loi des petits nombres est un biais cognitif qui pousse les individus à croire qu’un petit nombre d’observations peut refléter fidèlement la population générale. Poursuivez votre lecture, testez votre logique avec le test de l’hôpital, apprenez comment les graphiques peuvent vous induire en erreur et découvrez ce que vous pouvez faire pour éviter les pertes lorsque vous basez vos paris sur des statistiques. 

Le test de l’hôpital

En 1974, les psychologues Daniel Kahneman et Amos Tversky présentaient leurs sujets expérimentaux, qui étaient basés sur le scénario suivant et la question suivants. Une ville est desservie par deux hôpitaux. Dans l’hôpital le plus grand, environ 45 bébés naissent chaque jour. En moyenne, 15 nouveau-nés naissent chaque jour dans le plus petit hôpital.

On sait qu’environ 50 % des bébés sont des garçons. Toutefois, le pourcentage exact varie d’un jour à l’autre. Certains jours, il peut être supérieur à 50 %, d’autres jours, il sera inférieur. Pendant un an, chaque hôpital a enregistré les jours au cours desquels plus de 60 % des nouveau-nés étaient des garçons. Selon vous, quel hôpital a enregistré le plus grand nombre de jours ?

  •        Le plus grand hôpital
  •        Le plus petit hôpital
  •        Les deux hôpitaux ont un résultat similaire (à 5 % près)

Selon la loi binomiale, le nombre de jours pour lesquels le nombre de garçons a dépassé le nombre de filles d’au moins 20 % devrait être trois fois plus élevé dans l’hôpital le plus petit que dans le plus grand, en raison de la plus grande volatilité des ratios de naissance. Plus l’échantillon est grand, moins il est susceptible de s’éloigner de 50 %. Pourtant, seuls 22 % des participants ont répondu correctement.

Qu’est-ce que l’heuristique ?

D. Kahneman et A. Tversky expliquent cette erreur par la croyance en la loi des petits nombres. En général, les jugements émis à partir d’échantillons restreints sont souvent considérés, à tort, comme représentatifs d’une population générale. Par exemple, si un échantillon restreint semble être réparti de façon aléatoire, nous aurons davantage tendance à croire que la population générale à partir de laquelle il a été sélectionné est elle aussi répartie aléatoirement. 

Le test de l’hôpital : plus l’échantillon est grand, moins il est susceptible de s’éloigner de 50 %. Pourtant, seuls 22 % des participants ont répondu correctement.

À l’inverse, un échantillon restreint démontrant un schéma significatif (comme un résultat de 9 faces sur 10 lancers de pièce) amènera le sujet à croire que la population démontrera le même schéma. Dans ce cas, l’hypothèse serait que la pièce est truquée. Le fait d’identifier des schémas à partir de données aléatoires ou sans fondement correspond au concept d’apophénie.

La loi des petits nombres fait partie d’un ensemble de raccourcis mentaux que les individus font lorsqu’ils expriment des jugements malgré des données incertaines. D. Kahneman et A. Tversky appellent ces raccourcis l’heuristique. Le fait de généraliser à partir d’échantillons restreints est un exemple d’heuristique de représentativité. Cette notion désigne le comportement d’individus qui évaluent la probabilité d’un événement spécifique en se basant uniquement sur la généralisation d’événements similaires existants.

Le sophisme du parieur constitue un autre exemple d’heuristique de représentativité. Ce biais est en effet une autre conséquence de la croyance en la loi des petits nombres. Comme le disent D. Kahneman et A. Tversky :

le sophisme du parieur repose sur la conception erronée de l’équité des lois du hasard. Le parieur pense que l’impartialité de la pièce lui permet de s’attendre à ce qu’une déviation d’un résultat soit rapidement équilibrée par la déviation inverse. Les sujets agissent comme si chaque segment d’une séquence aléatoire reflétait une proportion réelle ; si la séquence s’éloigne de la proportion d’une population, les sujets attendront un biais de correction inverse.

Lecture de graphiques avec des échantillons de taille différente

En se fiant à la loi des petits nombres, les parieurs sportifs sont particulièrement susceptibles d’identifier des schémas erronés. Sur le long terme, le fait de considérer les résultats d’un échantillon restreint de paris comme la représentation d’un comportement déterminé et comme la preuve d’une capacité de prédiction peut avoir de fâcheuses conséquences financières. Considérons le graphique de rentabilité hypothétique suivant, qui illustre 100 paris sur des écarts de points de matchs de NFL. Chaque pari est conclu à une cote de 1,95. Impressionnant, n’est-ce pas ?

 gr-small-numbers-1.jpg

Me croiriez-vous si je vous disais que ces résultats proviennent d’un handicapeur sportif américain réputé ? Avec cette bonne courbe de gains et un rendement de 15 %, il est facile d’y croire. Bien sûr, ce n’est pas le cas. En fait, le prochain graphique de 1 000 paris révèle la vérité.

gr-small-numbers-2.jpg


Il est en réalité impossible d’être gagnant sur le long terme. En effet : ce graphique a été créé par un générateur de nombres aléatoires, en considérant qu’un individu a 50 % de chance de gagner. Ainsi, les
perspectives de gains atteignent -2,5 %. Le premier graphique représente simplement les 100 premiers paris du second tableau.

Pourtant, même pour le reste du graphique, plusieurs centaines de paris ont été très rentables. De plus, malgré des pertes globales, le schéma de la série chronologique ne semble pas aléatoire et révèle une tendance constante en forme de vague.

Toutefois, comme l’ont démontré Kahneman et Tversky, nous sommes bien plus à même de considérer que les séquences de résultats similaires ne sont pas aléatoires, même s’il n’y a aucun mécanisme sous-jacent. Parmi les deux séquences binaires ci-dessous, laquelle semble aléatoire ?

0, 0, 0, 0 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
 
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1

 

La majorité de la population choisirait la deuxième séquence. En réalité, la première séquence a été générée aléatoirement dans Excel, et j’ai intentionnellement réalisé la seconde avec des séries de 1 et de 0 plus courtes. Si nous devions créer des séquences aléatoires comme celles-ci, beaucoup d’entre nous changeraient des 1 en 0 et vice versa si nous avions le sentiment que l’un des résultats revient trop souvent.

Analysons maintenant les graphiques de 1 000 paris suivants. Tous ont été créés aléatoirement. Le grand nombre de résultats possibles devrait vous prouver avec quelle facilité nous pouvons être trompés par des schémas en apparence significatifs.


gr-small-numbers-3.jpg
Souvenez-vous que ceux-ci comportent 1 000 paris et non 100. Observez celui du milieu. Il inclut tous les indices d’un pronostiqueur ou d’un parieur expert, avec un rendement de 5 % et une excellente courbe de gains tout au long de la séquence de paris ; le type de performance que seuls les meilleurs handicapeurs peuvent atteindre sur le long terme. Pourtant, tout cela n’est dû qu’au hasard.

À l’aide de la distribution binomiale, il est possible de calculer la probabilité d’être gagnant après une série de paris, malgré une espérance de gain de -2,5 %.

Nombre de paris (cote à 1,95, 50 % de chance de victoire)

Nombre minimum de victoires requis

Probabilité d’être gagnant

100

52

38,22 %

250

129

32,90 %

500

257

28,05 %

1 000

513

21,46 %

2 500

1 283

9,68 %

5 000

2 565

3,40 %

10 000

5 129

0,51 %


Après 1 000 paris, nous avons toujours 20 % de chance d’être gagnant, malgré le fait que nos paris sont entièrement aléatoires. Cela représente près de quatre saisons de NFL si nous placions un pari à handicap sur chaque match, soit quatre ans à penser que nos compétences en pari, et non la simple chance, sont à l’origine de nos résultats.

Qu’entend-on par « petits » ?

La loi des petits nombres est un biais cognitif qui pousse les individus à croire qu’un petit nombre d’observations peut refléter fidèlement la population générale. De plus, comme nous l’avons vu au cours de cette démonstration, un petit échantillon peut en vérité contenir de nombreuses occurrences. Cette loi influe sur nos décisions, car nous préférons la certitude au doute, l’explication à l’ignorance, la causalité à l’association, les schémas au hasard, et les compétences (en particulier celles qui contribuent aux biais d’autocomplaisance) à la chance. Pour les parieurs sportifs, l’incapacité à reconnaître son importance peut s’avérer coûteuse. 

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