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avr. 30, 2018
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Le critère de Kelly : évaluation des risques

Qu'est-ce que le critère de Kelly ?

Dans quelle mesure le critère de Kelly est-il risqué ?

L'importance d'identifier son avantage

Le critère de Kelly : évaluation des risques

L'utilisation d'une méthode de mise (ou d'une stratégie de gestion de l'argent) est un élément essentiel si vous souhaitez réaliser des gains constants lors de vos paris. Le critère de Kelly est souvent cité comme l'une des meilleures options, et ce pour plusieurs raisons. Mais comment fonctionne-t-il réellement ? Dans quelle mesure le critère de Kelly est-il risqué ? Pour le savoir, lisez cet article.

Le critère de Kelly est souvent décrit comme la stratégie de gestion d'argent la plus efficace pour maximiser le taux de croissance du bankroll d'un parieur gagnant. Grâce à ses ressources sur les paris, Pinnacle propose plusieurs articles expliquant l'utilité, le fonctionnement, les avantages et les inconvénients du critère de Kelly. Dans cet article, je propose une évaluation des risques de la méthode de mise.

Qu'est-ce que le critère de Kelly ?

Dominic Cortis, auteur pour Pinnacle et mathématicien à l'Université de Malte, décrit le critère de Kelly comme étant une méthode pour calculer la proportion de fonds à miser sur un résultat dont les cotes sont plus élevées que prévu, de manière à augmenter vos propres fonds de manière exponentielle.

Développé en 1956 par John Kelly alors qu'il travaillait dans les Laboratoires Bell d'AT&T, le critère de Kelly constitue une solution mathématique précise et économiquement légitime pour calculer la taille optimale des mises afin de maximiser la croissance globale d'un bankroll, en tenant compte du taux de rentabilité attendu et des risques. Pour cela, il convient d'utiliser la formule suivante :

Pourcentage de mise Kelly = avantage – 1 / cotes – 1

L'avantage correspond à l'avantage que vous avez (ou pensez avoir) par rapport aux cotes des bookmakers. Par exemple, si vous pensez que la cote légitime d'un résultat est 2,00 (probabilité de réussite de 50 %), mais que le bookmaker vous propose une cote de 2,10, vous pouvez calculer votre avantage comme suit : 2,10/2,00 = 1,05.

En réalité, « l'avantage » désigne tout simplement la valeur attendue. Dans cette équation, les cotes doivent être exprimées selon le système décimal. Ainsi, dans cet exemple, le pourcentage de mise Kelly est de 0,05 ou 5 %.

La méthode Kelly est un exemple de méthode de mise proportionnelle, selon laquelle la taille de la mise est proportionnelle à la taille de votre bankroll. Ainsi, elle augmente ou diminue en fonction de la hausse ou de la baisse de votre bankroll, contrairement aux mises fixes, dont la taille est prédéterminée.

Le critère de Kelly diffère en ce qu'il prend aussi en compte la taille de l'avantage perçu et la longueur des cotes. Plus votre avantage est important et/ou plus les cotes sont longues, plus la mise sera grosse.

Bien évidemment, cette méthode Kelly de calcul des pourcentages de mises impliquent certains problèmes lorsque vous pariez sur plusieurs résultats ou matchs simultanément. Pinnacle a publié un article consacré à ce sujet. Toutefois, dans le présent article, je ne vous parlerai que de la forme simplifiée du critère de Kelly, applicable aux paris uniques.

Dans quelle mesure le critère de Kelly est-il risqué ?

Le critère de Kelly est une méthode de gestion proportionnelle de l'argent. Par conséquent, vous ne pouvez techniquement pas faire faillite en l'utilisant. Plus vous perdez, plus vos mises seront petites. En théorie, vous n'arriverez jamais à zéro. 

Contrairement aux jeux de casino, basés sur des algorithmes mathématiques connus, il est effectivement impossible de « connaître » la probabilité réelle d'un système complexe comme un match de football.

Cependant, en pratique, vous atteindrez bien évidemment une limite, où les pertes encourues seront considérées comme inacceptables. Par conséquent, il est plus judicieux de tenir compte de la variance de la taille de votre bankroll et de déterminer si vos préférences en matière de risques peuvent supporter ces conditions.

Joe Peta, auteur-contributeur pour Pinnacle et trader en bourse, affirme que le problème du critère de Kelly est que « quel que soit le rendement escompté que vous calculez, votre variance sera ridiculement élevée (…) et (…) "ininvestissable" ». Il propose l'exemple théorique suivant : un parieur gagne 52 % de ses paris avec une cote de 2,00. La méthode de Kelly implique un pourcentage de mise de 4 %. 

En imaginant une série de 250 paris, Joe Peta affirme que vous avez plus de 10 % de chance de perdre au moins 40 % de votre bankroll d'ici la fin des paris. A-t-il raison ? 

Il semblerait que oui. Si l'on considère ces paramètre dans le cadre d'une simulation Monte Carlo de 10 000 opérations, on constate que 14 % des bankrolls finaux se retrouvent à seulement 60 % des fonds initiaux. Avec la stratégie de mise fixe, ce chiffre s'élève à 9 % pour chacune des 250 mises définies sur quatre unités (si l'on considère un bankroll initial de 100 unités).

Le tableau ci-dessous compare plus largement le critère de Kelly par rapport à la méthode de mise fixe. Comme je l'ai déjà  affirmé dans un précédent article, bien que les mises proportionnelles soient mieux adaptées pour optimiser la rentabilité (dans cette simulation, les moyennes des bankrolls finaux avec le critère de Kelly et avec les mises fixes sont de 149 et 140, respectivement), il est plus difficile de se remettre d'une période de perte.

L'augmentation des bankrolls finaux affichant des pertes est simplement le résultat de l'augmentation de la variance, introduite par les mises proportionnelles. Dans le cas de la méthode de Kelly, près de quatre simulations sur dix affichaient des pertes, contre seulement une sur quatre pour les mises fixes.

Comparaison : critère de Kelly

Bankroll final

Mises Kelly (4 %)

Mises fixes (4 unités)

<100 %

38  %

24 %

<80 %

24 %

17 %

<60 %

14 %

9 %

<40 %

4 %

6 %

<20 %

0 %

2 %

Comment évoluent les risques si l'avantage est plus grand ? J'ai reproduit la simulation avec une probabilité de gain de 54 % pour chaque pari « even-money », avec un mise Kelly de 8 %. Peu de parieurs pourront obtenir ces résultats sur le long terme.

Cela va sans dire, si vous pensez que 52 % de vos paris « even-money » vous rapporteront des gains, mais que vous n'en remportez que 49 %, vous allez perdre de l'argent sur le long terme.

Naturellement, si vous doublez l'avantage ou la valeur attendue pour chaque pari, la rentabilité attendue est bien meilleure avec le critère de Kelly plutôt qu'avec la mise fixe (bankrolls finaux de 494 et 260 en moyenne, respectivement). Malheureusement, cela se fait au détriment d'une variance considérablement plus importante au niveau des performances.

Le bankroll final moyen ou attendu est plus élevé, car il est faussé par un plus petit nombre de très gros bankrolls. Toutefois, le nombre de bankrolls médiocres et perdants est bien plus élevé par rapport à la méthode de mise fixe, avec un bankroll final médian de seulement 223. La probabilité de perdre 40 % de vos fonds après 250 paris « even-money », avec un avantage de 8 %, en appliquant la méthode Kelly, est toujours de 14 %. Joe Peta allèguerait très certainement qu'aucun investisseur financier qui se respecte, affichant un retour sur investissement de 8 %, n’accepterait un tel risque.

Comparaison : critère de Kelly

Bankroll final

Mises Kelly (8 %)

Mises fixes (8 unités)

<100 %

29 %

9 %

<80 %

21 %

7 %

<60 %

14 %

6 %

<40 %

9 %

4 %

<20 %

3 %

3 %

Connaissez-vous vraiment votre avantage ?

Dans ces simulations, l'on suppose que vous connaissez exactement les probabilités de gain et donc, que vous connaissez exactement l'avantage que vous possédez par rapport aux cotes du bookmaker. Cependant, comme le rappelle Joe Peta, modéliser les résultats des paris sportifs et compter les cartes au blackjack, ce n'est pas la même chose.

Contrairement aux jeux de casino, basés sur des algorithmes mathématiques connus, il est effectivement impossible de « connaître » la probabilité réelle d'un système complexe comme un match de football. Récemment, des utilisateurs de Twitter ont abordé la question de la détermination précise de l'avantage par rapport aux cotes du bookmaker dans le cadre de la méthode de Kelly. Je me suis évertué à en comprendre l'impact.

Connaître précisément la valeur de son avantage n'est utile que lorsque vous déterminez la somme à parier avec la critère de Kelly et que vous souhaitez gérer les risques associés.

Cela va sans dire, si vous pensez que 52 % de vos paris « even-money » vous rapporteront des gains, mais que vous n'en remportez que 49 %, vous allez perdre de l'argent sur le long terme, quelle que soit la méthode de mise utilisée. Ce qui nous intéresse ici, c'est de savoir si ne pas connaître précisément l'avantage pour chaque pari peut augmenter les variances et les risques liés à la méthode de Kelly.

Pour en savoir plus sur votre avantage moyen, il convient de s'appuyer sur un historique de paris à long terme. Si vous remportez 1 050 € sur 1 000 paris de 1 €, vous pouvez raisonnablement supposer que vous détenez un avantage moyen de 5 %. Alternativement, vous pouvez comparer les sommes que vous pariez par rapport aux montants à la fermeture des marchés.

Si vous pariez 2,10 et que Pinnacle ferme à 2,00, selon mon analyse de données, vous possédez un avantage de 5 % (en déduisant la marge de pari). Toutefois, une telle analyse s'appuie sur le cumul d'un grand nombre de matchs de football. Malgré l'implication d'un avantage moyen, nous ne pouvons pas nous baser sur ces informations pour affirmer que les conditions sont les mêmes pour tous les paris. Les résultats des événements sportifs sont influencés par une grande incertitude. L'on peut donc raisonnablement s'attendre à ce que ce ne soit pas le cas.

J'ai réalisé une autre simulation Monte Carlo pour 250 paris « even-money ». Cependant, cette fois-ci, au lieu de définir la probabilité de gain à 52 % pour chacun d'eux, j'ai appliqué la variance conformément à une distribution normale des probabilités de gain. La moyenne était de 52 %, mais les valeurs spécifiques variaient en fonction de ces données. Certaines étaient plus élevées, d'autres plus basses.

J'ai appliqué un écart standard de 5 %, ce qui signifie qu'environ 2/3 des valeurs se trouvaient entre 47 % et 57 % et que 95 % des valeurs se trouvaient entre 42 % et 62 %. En réalité, 1/3 des valeurs sont inférieures à 50 % et offrent donc une valeur attendue négative. 

Les résultats sont très surprenants. Bien qu'un tiers des paris offrent une valeur attendue négative, les risques associés au critère de Kelly restent effectivement inchangés. Cela signifie en fait que, tant que vous avez une idée précise de votre avantage global, il n'est pas nécessaire d'en connaître la valeur exacte pour chaque pari. 

Comparaison : critère de Kelly

Bankroll final

Kelly 1 (4 %)

Kelly 2 (4 %)

<100 %

38  %

37 %

<80 %

24 %

24 %

<60 %

14 %

14 %

<40 %

4 %

4 %

<20 %

0 %

0 %

Kelly 1 : valeur exacte de l'avantage connue pour chaque pari. Kelly 2 : valeur moyenne de l'avantage connue, mais valeur spécifique pour chaque pari inconnue.

Afin de tester la solidité de ces conclusions, j'ai réalisé une autre simulation comportant un nombre considérablement plus grand de paris affichant une valeur attendue négative.

Sur les 250 paris, une probabilité de gain de 49 %, a été attribuée à 230 paris (92 %), soit une valeur effectivement équivalente à la marge de paris de Pinnacle pour le marché double ou triple, qui connaît un grand succès. Une probabilité de gain de 86,5 % a été attribuée aux 20 paris restants, afin de maintenir une moyenne de 52 % pour les 250 paris. Les résultats ont été exactement les mêmes.

Bien entendu, dans la réalité, il est peu probable qu'un parieur qui ne parvient à trouver aucune valeur pour 92 % de ses paris obtienne des attentes extrêmement rentables dans les 8 % restants. Toutefois, cet exercice étaye l'hypothèse précédente : il n'est utile de connaître précisément l'avantage moyen que lorsque l'on détermine la somme à miser avec la méthode Kelly et afin de gérer les risques.

Pour la plupart des parieurs, la vraie difficulté consiste à trouver un avantage. Il est facile de trop faire confiance à la chance et de se bercer des illusions de causalité qui encouragent le parieur à croire qu'il est meilleur que ce qu'il n'est vraiment. Si vous ne remportez que 49 % de vos paris « even-money », un critère de Kelly de 4 % échouera bien plus souvent, sans surprise (avec 3 chances sur 4 de perte après 250 paris « even-money »), contre 3 sur 5 pour les mises fixes).

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