Comprendre les probabilités

Qu'il s'agisse de brandir un parapluie ou de placer un pari, nous prenons quotidiennement des décisions fondées sur notre compréhension des probabilités. Pourtant, nos instincts naturels parviennent souvent à nous induire en erreur, les statistiques étant notre allié le plus fiable pour nous ramener sur le chemin de la vérité.

Avertissement : le piège mental révélé dans cet article est tellement contre-intuitif qu'il a étonné même les statisticiens les plus à la pointe. Mais avant de passer à la théorie, mettons nos instincts naturels à l'épreuve. 

Deux joueurs de snooker de même niveau s'affrontent. Combien de fois pensez-vous que le lead change ? Vous attendez-vous à plus ou moins de changements de lead selon le nombre de frames jouées ?

Puisque nous supposons que le niveau des joueurs est égal, nous pouvons utiliser le dispositif de randomisation le plus connu, à savoir le tirage à pile ou face, pour observer comment le lead change, en attribuant « face » à un joueur et « pile » à l'autre. Pour qu'un changement de lead ait lieu, le joueur mené au score doit d'abord rattraper son retard. Commençons donc par la fréquence de l'égalisation.

Si nous jouons six fois à pile ou face, nous comprenons intuitivement que le fait d'obtenir six faces consécutives n'est pas un résultat très probable. Six tirages peuvent générer 64 combinaisons possibles. La probabilité d'obtenir six tirages identiques, que ce soit à pile ou face, est de 2/64, soit environ 3 %. (1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½)

Nous comprenons également que, bien que chaque résultat ait 50 % de chances, cela ne signifie pas nécessairement que, dans un échantillon aussi petit que six tirages à pile ou face, nous obtiendrons nécessairement trois piles et trois faces.

La probabilité réelle d'obtenir un nombre égal de piles et de faces lors de six tirages à pile ou face est de 20/64 (environ 31 %), soit environ une chance sur trois. Cela signifie-t-il que si nous répétons trois fois l'expérience de six tirages consécutifs à pile ou face, nous aurons la garantie d'un résultat égal entre pile et face ? Là encore, pas nécessairement. 

Calcul des probabilités d'égalisation

Ainsi, pour différents nombres de tirages à pile ou face, quelles sont les chances d'obtenir un nombre égal de faces (F) et de piles (P) ? À tout moment, soit F mène, soit P mène, soit nous avons une égalité. Pour qu'il y ait égalité dans une séquence, le nombre total de tirages doit être pair.

Au fur et à mesure que nous augmentons le nombre de tirages (2, 4, 6, 8...), nous avons tendance à penser qu'un nombre égal de F ou de P devient plus probable. Il s'agit d'une application intuitive de la loi des moyennes ; la croyance commune selon laquelle plus la taille de l'échantillon augmente, plus les résultats se rapprochent de la moyenne de l'ensemble de la population ou, plus simplement, la raison pour laquelle nous sommes susceptibles de nous attendre à une journée ensoleillée après une semaine de jours pluvieux.

D'un point de vue statistique, cependant, ce n'est pas seulement faux, c'est incroyablement faux.

Dans « Taking Chances », John Haigh examine les probabilités d'un nombre égal de F et de P à n'importe quel moment d'une séquence de tirages indépendants.

Le schéma qui se dégage des chiffres est tellement contre-intuitif que même les plus matheux d'entre nous doivent regarder les données deux fois pour y croire. Les données montrent en réalité qu'à mesure que le nombre de tirages augmente, la probabilité d'égalisation diminue.

Si nous continuons à tirer à pile ou face 20 fois, à quel moment devrions-nous nous attendre à trouver le dernier cas d'égalité entre F et P ? La dernière égalité peut se trouver à 2, 4, 6, [...], 16, 18 ou 20 tirages. Sur quelle réponse miseriez-vous parmi les 11 possibles ? Un tirage récent, lointain ou entre les deux ?

De nombreuses personnes ont tendance à répondre « entre les deux », mais le professeur américain de statistiques David Blackwell a découvert qu'il existe une symétrie totale autour du milieu. La probabilité que le dernier cas d'égalité entre F et P se trouve à 16 tirages est identique à 4 tirages, 0 et 20 tirages détenant les chances les plus élevées. Cette probabilité diminue au fur et à mesure que l'on se rapproche du milieu. 

En d'autres termes, si l'égalisation n'intervient pas rapidement, elle risque de prendre beaucoup de temps.

Combien de fois le lead change-t-il ?

Que signifie ce qui précède pour la fréquence à laquelle le lead change ? Le tableau ci-dessous indique les probabilités du nombre de fois où le lead change entre F et P pour une séquence de 101 tirages à pile ou face.

Dans 68 % des cas, le changement de lead n'aura pas lieu plus de quatre fois. Cinq à neuf changements de lead se produisent dans environ 27 % des cas et 10 ou plus dans seulement 4 à 5 % des cas.

Pour rendre les choses plus intéressantes : dans la moitié des cas, aucune égalisation n'a eu lieu dans la seconde moitié de la séquence, ce qui signifie que celui entre F et P qui était en tête à la moitié de l'expérience l'est resté durant toute l'autre moitié. 

Appliquer les connaissances relatives aux tirages à pile ou face dans les paris sportifs

Espérons qu'à ce stade, l'application aux paris est devenue claire. Ce que l'expérience de la pièce de monnaie nous apprend, c'est que parmi des joueurs de niveau égal, il y a généralement de longues périodes sans égalisation, puis peut-être plusieurs égalisations rapprochées. Les égalisations sont beaucoup plus susceptibles d'avoir eu lieu au début ou à la fin d'un match, plutôt qu'au milieu.

Haigh a calculé que dans 50 % des matchs de snooker entre joueurs de même niveau, le joueur en tête après 16 frames reste en tête jusqu'à la 32e frame. Peut-on aller jusqu'à appliquer la même logique au football ? Une ligue est composée de plusieurs équipes de niveau différent ; elle doit donc faire l'objet d'un examen plus approfondi avant que l'on puisse affirmer que la règle s'applique.

Bien sûr, tous les résultats ne sont pas aussi clairs qu'un tirage à pile ou face, car il faut tenir compte d'un certain nombre de facteurs situationnels, par exemple l'aversion pour la défaite : la tendance à être plus performant dans des situations où l'on essaie d'éviter la défaite, plutôt que si l'on ne vise que la victoire. L'expérience du tirage à pile ou face est un modèle théorique, mais néanmoins très pertinent pour les parieurs sportifs.

Si vous avez apprécié cet article, lisez nos articles sur la stratégie dans les paris ou rendez-vous dans la rubrique Ressources pour les parieurs pour en savoir plus.