Pour réussir dans le milieu des paris sportifs, il vous faut une bonne stratégie de pari avec une valeur escomptée positive, c.-à.-d. une estimation de vos gains moyens par pari. Mais quelle part de capital devez-vous risquer par pari pour engranger des profits maximum ? À cette fin, vous devez comprendre le concept d'utilité. Pour tout comprendre, lisez cet article.
La valeur escomptée, concept exploré pour la première fois par Pascal et Fermat au 17e siècle en vue de résoudre un problème de probabilités, démontre combien un pari peut nous rapporter, en moyenne. Ce qu'on sait moins, en revanche, c'est la part de capital qu'un parieur doit risquer sur son pari. Et c'est là que l'utilité escomptée entre en jeu.
Explication de la valeur escomptée et de l'utilité escomptée
La valeur escomptée (VE) en matière de paris peut être calculée en multipliant votre probabilité de gain (p) par le montant que vous pourriez gagner par pari, et en soustrayant la probabilité de perdre multipliée par le montant perdu par pari. La probabilité de perdre étant équivalente à 1 (ou 100 %) moins la probabilité de gagner, nous parvenons à la simplification suivante :
« o » représente les cotes décimales européennes annoncées par le bookmaker. La valeur escomptée constitue la donnée la plus importante pour tout parieur, car elle lui indique ce qu'il peut espérer gagner ou perdre sur le long terme.
Une fois que le parieur a déterminé la valeur escomptée, il doit décider quelle part de capital parier. Daniel Bernoulli, mathématicien du 18e siècle, a compris que seuls les imprudents prennent des décisions sur la part de risque en fonction de la valeur escomptée cible sans tenir compte des conséquences subjectives du pari, autrement dit l'opportunité de gain (ou de perte) potentielle. Cette opportunité subjective s'appelle l'utilité.
L'utilité face à l'incertitude
Imaginons deux coffres. Le premier contient 10 000 en espèces. Le second contient soit 20 000 € en espèces ou rien du tout ; nous ignorons cette donnée, mais la probabilité est identique dans les deux cas. On vous propose maintenant de prendre l'un des deux coffres. Lequel choisiriez-vous ?
« Techniquement, l'approche de Kelly permet aux parieurs gagnants de maximiser le montant de leurs fonds sur le long terme »
Ceci est une énigme d’utilité classique. Mathématiquement, ces deux coffres ont la même valeur escomptée, soit 10 000 €. Si vous recommenciez ce jeu à l'infini, le coffre que vous choisiriez ne ferait aucune différence. Toutefois, pour cette partie, vous n'êtes autorisé à jouer qu'une seule fois. La loi des grands nombres ne s'applique pas.
Si vous prenez le premier coffre, vous êtes certain d'acquérir 10 000 €. En choisissant le second, ce que vous recevez est une question de hasard : si vous avez de la chance, vous serez plus riche de 20 000 €. Mais sur un coup de malchance, vous pourriez ne rien obtenir. Sans surprise, compte tenu de ces sommes d'argent, la plupart des gens optent pour la certitude du premier coffre.
Du point de vue de l'utilité, la certitude des 10 000 € est sûrement préférable au risque de ne rien obtenir. Les gens qui voient plus d'utilité dans les certitudes que dans les paris pour le même calcul mathématique font montre d'une aversion au risque.
Comment calculer le montant d'enjeu optimum ?
Daniel Bernoulli a déduit que l'aversion au risque motive le raisonnement rationnel habituel des personnes lors de leurs prises de décisions face à l'incertitude. Et il a ainsi quantifié son hypothèse : « L'utilité issue d'une petite hausse de richesse sera inversement proportionnelle à la quantité de biens précédemment possédés. » En d'autres termes, plus vous possédez de richesses et moins l'utilité perçue des gains sera élevée. Une telle fonction d'utilité est logarithmique, et plus communément appelée la réduction de l'utilité marginale des richesses.
« Bien que le recours à la formule de Kelly puisse induire une volatilité considérable en termes de retours, elle permet aux parieurs gagnants de maximiser leurs fonds sur le long terme »
L'une des applications les plus pratiques de la théorie de Daniel Bernoulli est un programme de gestion d'argent connu par de nombreux parieurs sous le nom de Formule de Kelly. Développée par John Kelly alors qu'il travaillait aux Bell Labs d'AT&T en 1956 sur la résolution d'un problème concernant les signaux de transmission téléphonique à longue distance, elle a rapidement été adoptée par les parieurs et les investisseurs comme un moyen d'optimiser la gestion de l'argent et la croissance des bénéfices.
Bien que le motif de Kelly fût radicalement différent de celui de Bernoulli, son critère était mathématiquement équivalent à la fonction d'utilité logarithmique. En pratique, elle incite un parieur à risquer un pourcentage de sa richesse globale sur un pari à la fois directement proportionnel à la valeur escomptée (VE) et inversement proportionnel à la probabilité de succès.
Sachant que VE = po – 1 (où p désigne la probabilité « concrète » de succès et les cotes décimales du pari), nous pouvons calculer le pourcentage d'enjeu de Kelly (K) de la manière suivante :
Fondamentalement, le critère de Kelly maximise l'utilité logarithmique escomptée. L'une des conséquences des paris avec le critère de Kelly, c'est la forte volatilité des retours, aléa risquant de compromettre l'utilité. En outre, son utilisation nécessite des estimations précises des probabilités « concrètes » de résultats.
Néanmoins, l'approche de Kelly permet aux parieurs gagnants de maximiser le montant de leurs fonds sur le long terme. Mais évidemment, pour ce faire, un parieur a besoin d'un bookmaker qui ne mettra pas en doute les stratégies de gestion d'argent spécifiques comme Kelly et, surtout, ne restreindra pas les paris à la suite de gains. En cela, Pinnacle jouit d'une réputation inégalée.