sept. 21, 2016
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Combien faut-il risquer par pari ?

Combien faut-il risquer par pari ?
Pour remporter des paris sportifs, vous avez besoin d'une stratégie de pari offrant une espérance (estimation de vos gains moyens par pari) positive. Mais quel capital faut-il risquer par pari pour maximiser les profits ? Pour le savoir, vous devez comprendre le concept de l'utilité. Lisez cet article pour tout savoir à ce sujet.

L'espérance, concept exploré à l'origine par les mathématiciens français Pascal et Fermat au 17e siècle tandis qu'ils tentaient de résoudre un problème de jeu à points, nous montre combien nous pouvons espérer gagner en moyenne avec un pari. En revanche, elle ne dit pas grand chose du capital qu'un parieur doit risquer sur son pari. C'est là qu'entre en jeu l'utilité espérée. 

Explication de l'espérance et de l'utilité espérée

Dans le domaine des paris, l'espérance peut se calculer en multipliant la probabilité de gagner (p) par le gain potentiel par pari, et en soustrayant la probabilité de perdre multipliée par le montant perdu par pari. La probabilité de perdre étant équivalente à 1 (ou 100 %) moins la probabilité de gagner, nous obtenons la simplification suivante :
expected-utility-betting.jpg

« o » représente les cotes décimales européennes communiquées par le bookmaker. L'espérance est le chiffre le plus important pour les parieurs, car elle leur indique s'ils peuvent s'attendre à gagner ou à perdre de l'argent à long terme.

Une fois que le parieur a identifié l'espérance, il doit décider du montant de capital à engager. Le mathématicien du 18e siècle Daniel Bernoulli a compris que les plus téméraires décidaient des sommes à risquer en fonction de la valeur objective de l'espérance sans tenir compte des conséquences subjectives du pari, c'est-à-dire de la désirabilité du gain (ou de la perte). La désirabilité subjective se nomme l'utilité.

L'utilité dans des conditions d'incertitude

Nous sommes face à deux coffres. Le premier contient 10 000 $ en liquide. Le second contient soit 20 000 $ en liquide, soit rien ; nous ne savons pas ce qu'il contient vraiment, mais les deux possibilités ont la même probabilité. Vous devez maintenant prendre l'un des deux coffres. Lequel choisiriez-vous ? 

Il s'agit d'un problème d'utilité classique. D'un point de vue mathématique, les deux coffres ont la même espérance : 10 000 $. Si vous aviez la possibilité de rejouer à l'infini, votre choix n'aurait pas d'importance. Cependant, vous ne pouvez jouer qu'une seule fois à ce jeu. La loi des grands nombres ne s'applique pas.

Si vous choisissez le premier coffre, vous avez la certitude de remporter 10 000 $. Si vous choisissez le second, vous vous en remettez au hasard : avec de la chance, vous gagnez 20 000 $ ; sinon, vous ne recevez rien. Sans surprise, compte tenu des sommes d'argent en jeu, la plupart des gens choisissent la certitude du premier coffre.

Du point de vue de l'utilité, la certitude de gagner 10 000 $ est clairement bien meilleure que le risque de ne rien recevoir. Ceux qui trouvent une utilité plus grande aux certitudes qu'aux paris, à espérance mathématique égale, montrent une aversion pour le risque.

Comment calculer le montant optimal de l'enjeu ?

Daniel Bernoulli a soutenu que le comportement rationnel standard de prise de décision dans un contexte d'incertitude est l'aversion pour le risque. Il a quantifié ainsi son hypothèse : « l'utilité résultant de la moindre augmentation des richesses sera inversement proportionnelle à la quantité de biens déjà acquise. » En d'autres termes, plus l'on possède de richesses, moins l'on perçoit d'utilité au fait de gagner plus. Cette fonction d'utilité, communément nommée utilité marginale décroissante de la richesse, est logarithmique.

L'application du critère de Kelly, même si elle peut provoquer une certaine volatilité des rendements, permet aux vainqueurs de maximiser leurs fonds sur le long terme.

Parmi les applications les plus concrètes de la théorie de Daniel Bernoulli figure un plan de gestion financière connu parmi les parieurs comme le critère de Kelly. Développé par John Kelly, qui travaillait à la résolution d'un problème de parasites téléphoniques longue distance à AT&T Bell Laboratories en 1956, il a été rapidement adopté par les parieurs et les investisseurs comme moyen d'optimiser la gestion financière et la croissance des bénéfices.

Bien que la motivation de Kelly ait été entièrement différente de celle de Bernoulli, son critère est l'équivalent mathématique de la fonction d'utilité logarithmique. En pratique, il conduit le parieur à risquer sur un pari un pourcentage de sa richesse globale directement proportionnel à l'espérance (E) et inversement proportionnel à la probabilité de réussite.

Rappelons que E = po - 1 (où p est la « véritable » probabilité de réussite et o la cote décimale du pari). Nous pouvons ainsi calculer le pourcentage de mise de Kelly (K) de la façon suivante :

kelly-criterion-betting.jpg
En somme, le critère de Kelly maximise l'utilité logarithmique espérée. L'une des conséquences des paris suivant le critère de Kelly est une certaine volatilité des rendements, une caractéristique qui n'est pas toujours idéale pour l'utilité de chacun. De plus, il requiert des estimations précises des probabilités « véritables » des résultats. 

Mais techniquement, l'approche de Kelly permet bel et bien aux parieurs de maximiser leurs fonds sur le long terme. Bien sûr, un parieur a besoin pour cela d'un bookmaker qui ne se méfie pas des stratégies de gestion financière comme celle de Kelly et, surtout, qui ne restreindra pas les paris gagnants. En cela, Pinnacle a une réputation sans égale.

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