helmi 1, 2019
helmi 1, 2019

Kuinka voit mallintaa mahdollisten tuottojesi jakauman

Vedonlyönnin tuottojakaumien matematiikka

Mitä tuoton keskihajonta voi kertoa meille?

Kuinka pitkään vedonlyöntiura voi kestää ilman osaamista?

Kuinka voit mallintaa mahdollisten tuottojesi jakauman

Vedonlyöjien huomio keskittyy usein siihen, mistä he lyövät vetoa, millä summalla he lyövät vetoa ja kuinka paljon he voivat voittaa (joskus eri järjestyksessä). Vaikka yksittäisenkin vedon voittosumma voi olla tärkeä asia, vedonlyöjien kannattaa pohtia suuremman vetojen otoksen tuottamia palautuksia. Kuinka voit mallintaa mahdollisten tuottojesi jakauman? Lue lisää tästä artikkelista.

Äskettäisessä Twitter-keskustelussa arvioin erään tunnetun Twitterissä toimivan hevosurheilun vetovihjaajan tuottoja. 1 015:llä päivän vihjeellä (päivän parhaiksi arvioiduilla vihjeillä) hänen tuottonsa tasapanoksilla oli -4,3 %.

”Tämä on kelvollinen otoskoko yleisen tuottavuuden testaamiseen”,

huomautin ajattelematta asiaa sen kummemmin. Tuhat vihjettähän on kuitenkin jo aika paljon, vai mitä? Itse asiassahan kirjoitin juuri viime kuussa siitä, miten satunnaisuus voi vaikuttaa tämän suuruisten otosten lopputuloksiin.

Emmekö kuitenkin ole melko tuvallisilla vesillä, kun uskomme, että tämä vihjaaja ei luultavasti anna meille väitettyjä ”Internetin parhaita hevosurheiluvihjeitä”?

Eräs Twitter-seuraajistani tarttui tähän: ”Ei niin, että olisin kanssasi eri mieltä... mutta onko 1 000 vetoa riittävästi minkään päätelmien tekemiseen?”

Hetken pohdittuani tulin siihen tulokseen, että luultavasti se ei ole. Vastasin hänelle:

”Itse asiassa taidat olla oikeassa. Voittaneiden vihjeiden keskimääräinen kerroin on 2,62. Oletetaan vaikka, että lopuilla kahdella kolmasosalla vedoista eli hävinneillä vedoilla (joiden kertoimia ei näytetä), on ollut hieman suuremmat kertoimet (ja siksi ne ovat hävinneet), niin että keskimääräinen kerroin olisi noin 3,00.

Odotettu tuoton keskihajonta 1 015 vedon otoksella olisi noin 0,045 (4,5 %). Oletetaan, että hänen pitkän aikavälin odotuksensa olisi -4,5 %. Siinä tapauksessa oltaisiin lähellä sitä. Oletetaan sen sijaan, että odotusarvona olisi omilleen pääseminen. Silloin vihjaaja olisi keskihajonnan päässä siitä – huonoa tuuria, mutta hyvinkin luonnollisen variaation rajoissa.

Oletetaan vielä, että oikea odotusarvo olisi +4,5 %. Tämä on noin kahden keskihajonnan päässä tuloksista, mikä tarkoittaisi noin 2,5 %:n todennäköisyyttä. Vihjaaja voi edelleen juuri ja juuri väittää, että hänen pitkän aikavälin odotusarvonsa on +4,5 % mutta hän on vain ollut epäonninen. Vielä suuremmilla odotustuotoilla alkaa olla kuitenkin yhä vaikeampaa perustellusti väittää, että hänen 1 015 vedon tuloksensa on ollut vain huonoa tuuria.” 

Mistä keksin luvun 4,5 % odotetuksi tuoton keskihajonnaksi? Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää juuri tämä asia sekä kertoa, miten se voi auttaa meitä arvioimaan omia vedonlyöntituloksiamme ja vertaamaan niitä mahdollisiin odotuksiimme.

Vedonlyönnin tuottojakaumien matematiikka

Vedot ovat binaarisia tapahtumia: ne joko voittavat tai häviävät. Marraskuussa 2018 tarkastelin, miten voi käyttää binomijakaumaa voittojen ja häviöiden mahdollisen jakauman mallintamiseen satunnaisuuden ailahteluille alttiiden vetojen otoksessa. Otoksessa, jossa on n vetoa ja kullakin vedolla ”oikea” voittotodennäköisyys p, mahdollisten otoksen voittoprosenttien keskihajonta saadaan seuraavalla kaavalla:

modelling-returns-formula1.png

Jos meillä on esimerkiksi 100 vetoa ja kullakin niistä 50 %:n todennäköisyys voittaa, voimme odottaa voittavamme 50 % niistä ja keskihajonta on 5 %. Toisin sanoen noin kaksi kolmasosaa kaikista mahdollisista tuloksista osuu välille 45–55 %, ja noin 95 % niistä osuu välille 40–60 %. 

Voitot ja häviöt sikseen – entä varsinaiset tuotot? Meidän on vain säädettävä hieman edellä olevaa kaavaa sisällyttämällä siihen vedonlyöntikertoimet. Nyt mahdollisen tuoton keskihajonta saadaan seuraavalla kaavalla, kun kullakin vedolla on kerroin o: 

modelling-returns-formula2.png

Oletetaan tässä esimerkissä, että ”oikea” voittotodennäköisyys oli 60 % vedonvälittäjän tarjotessa kerrointa 2,00 – erittäin antelias kolikonheitto. 100 vedon mahdollisten tuottojen keskihajonta olisi 9,798 % eli noin 20 %:n tuotto.

Reiluilla kertoimilla o = 1/p edellä oleva kaava supistuu seuraavaan muotoon:

modelling-returns-formula3.png

Vaikka tämä erityistapaus koskee oikeastaan vain tilanteita, joissa vedonlyöjällä on odotuksena päästä omilleen (tuotto = 0 %), ero suureiden o ja 1/p välillä on yleensä pieni sekä osaamattomilla vedonlyöjillä, jotka kärsivät vedonvälittäjän katteesta, että taitavilla vedonlyöjillä, jotka ovat onnistuneet voittamaan sen, joten sitä voinee käyttää yksinkertaisuuden vuoksi. Seuraava kuva havainnollistaa tätä.

modelling-returns-in-article1.jpg

Tässä esimerkissä tämän oikotiekaavan käyttäminen antaisi aina keskihajonnaksi 10 % millä tahansa p:n arvolla. Tämä on melko lähellä oikeaa keskihajontaa voittotodennäköisyyksillä 40–60 %. Yhdenkään vedonlyöjän ainakaan Pinnaclella ei tulisi joutua kohtaamaan niin alhaista voittoprosenttia kuin 40 % kertoimella 2,00. 

Pinnaclen katteet ovat yleensä 1–3 %, ja 2,00:n kertoimella 2 %:n kate tarkoittaisi noin 49 %:n voittotodennäköisyyttä. (Todellinen 100 vedon tuoton keskihajonta olisi 9,998 %.) Vastaavasti maailman parhaat kertoimenlaskijat saavat 55–56 %:n voittoprosentteja. (Todellinen 100 vedon tuoton keskihajonta olisi 9,928 %.) 

Mitä tuoton keskihajonta voi kertoa meille?

Palataan alun esimerkkiin ja tutkitaan, mitä tietoja voimme saada tuoton keskihajonnasta. Jos oletetaan, että 1 015 tasapanosvedon keskimääräinen kerroin (o) on 3,00 ja odotusarvosta -4,3 % johdettu ”oikea” voittotodennäköisyys (p) on 32 %, saamme edellä olevasta yhtälöstä tuoton keskihajonnaksi 4,39 % (tai 4,44 % käyttämällä oikotiekaavaa). 

Mahdollisten vedonlyönnin tuottojen jakauma odotusarvon ympärillä on alla olevan kuvan mukainen. Voit piirtää näitä kuvaajia helposti itsekin käyttämällä Excelissä NORMDIST-funktiota. Vaikka nämä jakaumat ovat teoriassa binomijakauman mukaisia ja näin ollen diskreettejä, noin 30 vetoa suuremmilla otoksilla (jatkuva) normaalijakauma antaa erittäin luotettavan likiarvon, jota on helpompi käyttää näiden kaavioiden piirtämiseen Excelissä. 

modelling-returns-in-article2.jpg

Sinisen käyrän alapuolisen alueen summa on 100 %. Tässä skenaariossa olemme olettaneet, että todellinen tuotto vastaa odotusarvoa. Koska kertoimet ovat melko suuria, mahdollisten tulosten hajonta on kuitenkin varsin laaja, joten todennäköisinkin lopputulos -4,3 % tapahtuu alle 10 % kerroista. 

Oliko Twitter-seuraaja oikeassa kyseenalaistaessaan alkuperäisen toteamukseni? Sanoisin, että oli. Vaikka kyseessä ei selvästikään ole tilasto, jonka voisi ajatella edustavan parasta saatavilla olevaa hevosurheilun vedonlyöntineuvontaa, ei ole mitenkään selvää, että kyseisen palvelun odotusarvo olisi negatiivinen. 13,65 % mahdollisista odotustuotoista tässä skenaariossa on voitollisia ja hyvin tilastollisen hyväksyttävyyden rajoissa. Kenties vihjaajalla on parempi odotusarvo kuin -4,3 % ja hän on vain ollut epäonninen.

Oletetaan seuraavaksi, kuten johdannossa esitin, että vihjaajan odotusarvona on omilleen pääseminen. Nyt jakauma näyttää tältä: 16,13 % tuotoista tässä skenaariossa on oikeasti tapahtunutta huonompia – luku on aivan liian korkea, jotta epäonnisuuden mahdollisuuden voisi sulkea pois.

modelling-returns-in-article3.jpg

Entä jos odotusarvo olisikin +4,3 %? Nyt saamme seuraavan jakauman. Edelleenkin on 2,76 % tuloksista on toteutunutta huonompia. Osuus on pieni, mutta voimmeko silti täysin sulkea pois huonon tuurin mahdollisuuden? Tämä on likimäärin sama kuin 1 vihjaaja 40:stä, ja jos tarkasteluun otetaan esimerkiksi 4 000 vihjaajaa, tällainen tilasto saadaan käytännössä varmasti.

modelling-returns-in-article4.jpg

Oletetaan lopuksi, että tämä vihjaaja todella väittää tarjoavansa Internetin parhaita hevosvedonlyöntineuvoja ja että yleensä sen tuotto olisi 10 %. Mahdollisten tuottojen jakauma olisi seuraavanlainen.

modelling-returns-in-article5.jpg

Lähes 2 % niistä on tappiollisia, mutta alle yksi tuhannesta on huonompi kuin tapahtunut 4,3 %. Nyt voimme ehkä jo pitää tämän vihjaajan tapausta esimerkkinä ylisuuren itseluottamuksen harhasta.

Jos tunnemme keskimääräisen kertoimen, oman tuottomme ja vetojen määrän, voimme laskea mahdollisten tuottojen odotetun keskihajonnan ja kuvata melkeinpä millaisen jakauman vain haluamme. Kuten olen tehnyt tässä, toteutunutta tilannetta voi verrata erilaisiin mielipiteisiin siitä, mitä arvelemme pystyvämme saavuttamaan.

Silloin, kun on vain pieni mahdollisuus, että toteutunut tuottomme voisi tapahtua sen perusteella, mitä arvioimme odotusarvoksemme (vaikkapa pienempi kuin 1 % tai jopa 0,1 %), meidän tulisi harkita odotusarvomme uudelleenarviointia.

Vedonlyöntikertoimien muuttaminen

Miten mahdollisten vedonlyönnin tuottojen jakauma vaihtelee eri vedonlyöntikertoimilla? Alla on kuvattu skenaarioita, joissa odotusarvona on omilleen pääseminen.

modelling-returns-in-article6.jpg

Ei ole yllätys, että mitä suurempia kertoimet ovat, sitä suurempi on tulosten varianssi. Tietenkin näissä omilleen pääsemisen odotusarvon skenaarioissa varianssi (eli keskihajonnan neliö) on suoraan verrannollinen kertoimeen miinus yksi.

Vedonlyönti suuremmilla kertoimilla aiheuttaa suuremman todennäköisyyden saada paljon odotettua parempia tuloksia pelkästään hyvän onnen johdosta (jakauman häntä on paksumpi suuremmilla tuotoilla). Tietenkin sama pätee valitettavasti toiseenkin suuntaan, koska jakaumat ovat symmetrisiä.

Vedonlyöntihistorian pituuden muuttaminen

Voimme myös katsoa, miten vedonlyöntihistorian koko vaikuttaa jakaumaan. Edellä olevasta kaavasta tiedämme, että tuoton keskihajonta on kääntäen verrannollinen vetojen määrän neliöjuureen. Näin ollen, kun odotusarvona on omilleen pääseminen, sadalla tasapanosvedolla on 10 kertaa niin suuri hajonta (10 %) kuin vastaavalla 10 000 vedon tilastolla (1 %). Seuraavassa on kuvattu lisää esimerkkejä. 

modelling-returns-in-article7.jpg

Jakaumien kaventaminen ja niiden korkeuden kasvattaminen kasvattamalla vedonlyöntihistorian pituutta on oikeastaan visuaalinen kuvaus suurten lukujen laista. Mitä suurempi otoskoko on, sitä todennäköisempää on, että saavutuksemme kuvastavat todellista odotusarvoamme.

Kuinka pitkään vedonlyöntiura voi kestää ilman osaamista?

Tutkitaan viimeisenä ajatuskokeena, kuinka kauan osaamattomalta Pinnaclella pelaavalta vedonlyöjältä, jonka odotusarvo on -2,5 %, kestää huomata osaamattomuutensa. Oman odotetun tuoton keskihajonnan tunteminen voi antaa hieman vihjeitä.

Seuraavassa taulukossa on kuvattu todennäköisyys, että vedonlyöjä on edelleen voitolla vetosarjan jälkeen eri vedonlyöntikertoimilla.

Voitolla olemisen todennäköisyys n vedon jälkeen kertoimilla o

Voitolla olemisen todennäköisyys n vedon jälkeen kertoimilla o

-

Vedonlyöntikerroin (o)

Vetojen määrä (n)

1,5

2

3

5

10

100

36.34%

40.13%

42.94%

44.98%

46.64%

500

21.73%

28.80%

34.54%

38.89%

42.53%

1,000

13.46%

21.45%

28.68%

34.49%

39.49%

5,000

0.67%

3.85%

10.42%

18.61%

27.56%

10,000

0.02%

0.62%

3.76%

10.35%

19.97%

Vain pienen katteen ottavilla vedonvälittäjillä pienikin tuuri voi kestää pitkälle erityisesti suurilla kertoimilla. Tietysti jos onni ei ole myötä, suuret kertoimet ovat paljon nopeampi tie vararikkoon.

Tässä on samanlainen taulukko, mutta tällä kertaa todennäköisyydelle, että tuloksena ovat 10 %:n tappiot. Tämä on yksikertaisesti seurausta suuremmista variansseista (ja laajemmista mahdollisten tuottojen jakaumista).

10 % tappiolla olemisen todennäköisyys n vedon jälkeen kertoimilla o

10 % tappiolla olemisen todennäköisyys n vedon jälkeen kertoimilla o

-

Vedonlyöntikerroin (o)

Vetojen määrä (n)

1,5

2

3

5

10

100

14.73%

22.66%

29.68%

35.25%

40.02%

500

0.95%

4.67%

11.63%

19.86%

28.59%

1,000

0.05%

0.88%

4.57%

11.56%

21.20%

5,000

0.00%

0.00%

0.01%

0.37%

3.69%

10,000

0.00%

0.00%

0.00%

0.01%

0.57%

Kuinka hyvin kaava pätee todellisiin vedonlyöntihistorioihin?

Kuinka hyvin kaavani pätee arvioitaessa tuoton keskihajontaa, kun lyödään vetoa vaihtelevilla kertoimilla? Tähän asti olen olettanut yksinkertaisesti, että kaikilla vedoilla on sama kerroin. Tietenkin useimmat vedonlyöjät lyövät vetoa monenlaisilla kertoimilla. Voimmeko vain ottaa vedonlyöntikertoimien keskiarvon ja saada luotettavan lukeman tuoton keskihajonnaksi? 

Vain pienen katteen ottavilla vedonvälittäjillä pienikin tuuri voi kestää pitkälle erityisesti suurilla kertoimilla. Jos onni ei ole myötä, suuret kertoimet ovat nopea tie vararikkoon.

Palataan tämän artikkelin alussa olevaan vetovihjaajan tilastoon, johon olen nyt itse keinotekoisesti täyttänyt puuttuvat kertoimet (julkaisemattomat hävinneiden vetojen kertoimet) niin, että keskimääräiseksi kertoimeksi tulee 3,00. Lisäämieni kertoimien hajonta oli melkoinen: 1,73:sta 15:een.

Käyttämällä Excelin satunnaislukugeneraattoria tulosten simulointiin, kun kunkin vedon odotusarvo on -4,3 %, suoritin 100 000 iteraation Monte Carlo -simulaation, josta sain siis 100 000 erilaista tuottoa 1 015 vedon otoksella. Keskimääräinen tuotto oli -4,297 % ja näiden tuottojen keskihajonta oli 4,373 %. Tämä on hyväksyttävissä virhemarginaaleissa ja käytännössä sama kuin kaavani ennustama arvo 4,389 %.

Olet saattanut huomata yhtäläisyyksiä tämän menetelmän ja vedonlyöntihistorian satunnaisen esiintymisen todennäköisyyttä arvioivan T-testin menetelmäni välillä. Näiden kahden menetelmän lähestymistapa onkin hyvin samanlainen. Itse asiassa vaatimattomallakin otoskoolla (n > 30) binomi-, normaali- ja T-jakaumat ovat käytännössä sama asia.

Toivottavasti tämä artikkeli onnistuu havainnollistamaan, millaisia odotusarvoja vedonlyöjällä voi olla omien valintojensa ja tulostensa perusteella.

Aiemmin vedonlyöntihistorian testaamista varten luomani T-testilaskimen lisäksi olen nyt tuonut saataville tuottojakaumalaskimen, jolla voit testata omia vetohistorioitasi.

Vedonlyöntiresurssit auttavat vedonlyönnissä

Pinnaclen Vedonlyöntiresurssit-osio on yksi netin kattavimmista asiantuntevan vedonlyöntineuvonnan kokoelmista. Tavoitteenamme on auttaa kaikentasoisia vedonlyöjiä parantamaan tietämystään.