joulu 10, 2019
joulu 10, 2019

Prosenttipanostuksen mahdollisten palautusten muuttaminen numeroiksi

Prosenttipanostuksen mahdollisten palautusten muuttaminen numeroiksi

Tässä artikkelissa Joseph Buchdahl yrittää muutta numeroiksi mahdollisten palautusten jakauman, jonka vedonlyöjä voi odottaa saavansa käyttäessään prosenttipanostusta rahanhallintasuunnitelmanaan. Kuinka prosenttipanostus toimii? Lue lisää tästä artikkelista.

Helmikuussa 2019 Pinnaclen vedonlyöntiartikkeleissa julkaistiin artikkelini, joka mallinsi vedonlyöjän mahdollisten tuottojen jakauman. Odotetun suorituksen ympärillä on mahdollisten tulosten jakauma, johon vaikuttavat hyvä ja huono tuuri, joka määritetään matemaattisesti normaalijakaumalla. Jotta vedonlyöjät voisivat helpommin visualisoida tämän, tein yksinkertaisen suorituksen jakaumalaskurin.

Tämä analyysi otti huomioon vain samankokoiset panokset (tasaiset panokset). Vaikka puhunkin tämän rahanhallintastrategian puolesta, muilla on omat hyvät syynsä pitää enemmän muista strategioista. Yleisin on panostaa prosenttipanoksella, joka perustuu nykyisen pelikassan kokoon.

Tätä kutsutaan odotetusti prosenttipanostukseksi. Se on strategia, josta olen aiemmin puhunut Pinnaclella tasapanostukseen verrattuna. Yksinkertaisin versio on panostaa sama prosenttiosuus kertoimesta riippumatta. Hienostuneemmat versiot, kuten Kellyn panostus, neuvovat ottamaan huomioon kertoimet ja odotetun arvon, kun prosenttiosuutta määritetään.

Kuinka prosenttipanostus toimii?

Oletetaan, että vedonlyöjän pelikassassa on aluksi 100 yksikköä. He päättävät, että he haluavat käyttää vetoihinsa aina 1 %:n pelikassastaan. Tällöin ensimmäinen panos on 1 yksikkö. Jos voitto tapahtuu kertoimella 2,00, pelikassassa on nyt 101 yksikköä. Täten seuraava panos olisi 1,01 yksikköä, eli 1 % 101:stä. Jos ensimmäinen veto häviäisi, pelikassassa olisi 99 yksikköä, jolloin seuraava panos olisi 0,99 yksikköä.

Kellyn panostus määrittää käytettävä prosenttiluvun jakamalla odotetun arvon desimaalikertoimella miinus 1. Esimerkiksi kertoimella 3,00 olevaan vetoon, jonka odotusarvo on 10 % eli 0,1, määritettäisiin panokseksi 0,1 / 3 – 1 = 5 %. Joidenkin mielestä Kellyn panostus on liian aggressiivinen toimiakseen realistisena rahanhallintastrategiana, koska se voi joskus neuvoa käyttämään erittäin suuria prosenttilukuja. Tämän riskin pienentämiseksi käytetään usein suhteellista Kellyä.

Prosenttipanostuksen mahdollisten palautusten vinoutunut jakauma

Seuraava taulukko (toistettu aiemmasta Pinnacle-artikkelistani) vertaa mahdollisten palautusten jakaumaa tasapanostuksella verrattuna prosenttipanostukseen yhdessä vedonlyöntitilanteessa, joka on toteutettu Monte Carlo -simulaatiolla. Tasapanostukseen verrattuna prosenttipanostus voi – ripauksella onnea – johtaa erittäin suureen pelikassaan.

Tätä jakaumaa kutsutaan termillä positiivinen vinouma. Tässä tilanteessa osa voitoista oli huomattavasti 7 000 yksikköä suurempia, mutta selkeyden vuoksi jätin ne pois.

qps1.png

Palautusten matemaattinen määrittäminen

Yksinkertaisimmissa skenaarioissa, joissa kertoimet ja panoksen prosenttiosuus ovat aina samat, emme edes tarvitse Monte Carlo -simulaatiota: jakauma on mahdollista tuottaa matemaattisesti.

Ajatellaan seuraavaa esimerkkiä. Vedonlyöjä asettaa ensimmäisen panoksen tasakertoimelle 10 %:n panoksella. Jos se voittaa, pelikassa on nyt 110 % alkuperäisestä (eli 1,1-kertainen). Jos se häviää, pelikassa on vain 90 % alkuperäisestä (eli 0,9-kertainen). Sama pätee jokaisen myöhemmän vedon kohdalla. Täten jos vedonlyöjä lyö 10 vetoa ja voittaa kuudesti, pelikassan kasvu on helppo laskea:

Pelikassan kasvu = 1,16 x 0,94 = 1,162 eli 116,2 %

Sillä ei ole merkitystä, missä järjestyksessä voitot ja tappiot tapahtuvat. Vedonlyöjä voi saada ensin kuusi voittoa ja sitten neljä tappiota, tai aloittaa neljällä tappiolla ja päättää kuuteen voittoon, tai mitä tahansa muuta 210 mahdollisesta tavasta järjestää nämä voitot ja tappiot. Lopputulos on joka tapauksessa 116,2 % siitä, millä he aloittivat.

Täten n panosta panoksella S % ja w voitolla:

Pelikassan kasvu = (1 + S)w(1 – S)n–w

Suurin pelikassan kasvu Monte Carlo -simulaatiossani oli 948,8. En ole säilyttänyt varsinaisia voitto-/tappiolukuja, mutta koska tiedän, että vetoja oli 1 000 kertoimella 2,0 ja panoksella 5 %, voin tämän kaavan avulla määrittää, että voittojen määrä oli 581.

Lisäksi jos tiedämme vetojemme odotetun arvon (EV), voimme laskea pelikassan odotetun kasvun seuraavasti:

Odotettu pelikassan kasvu = {(EV x S) +1}n

Jos esimerkiksi vedonlyöjän EV on 20 % eli 0,2, pelikassan odotettu kasvu (eli odotusarvo) lasketaan kaavalla {(0,2*0,1)+1}10 = 1,0210 = 1,219 eli 121,9 %. Lukijat voivat huomata, että tämä on suurempi pelikassan kasvu kuin voittamalla kuusi tasaisen panoksen kertoimen vetoa kymmenestä, mihin 20 %:n EV viittaa.

Tämä johtuu siitä, että pelikassan kasvu useammilla voitoilla kasvattaa keskiarvoa suhteellisesti enemmän kuin vähemmillä voitoilla – muista, että mahdollisten voittojen jakauma on positiivisesti vinoutunut. Täten, siinä missä tyypillisin (mediaani) pelikassan kasvu tässä esimerkissä on 116,2 %, odotettu arvo (odotusarvo) on 121,9 %.

Tämä luonnollisesti odottaa, että jokaisen vedon EV on sama, mikä on yksinkertaistaa tilannetta aivan liikaa, mutta se vaaditaan kaavan määrittämiseen.

Jos kirjoitamme (EV x S) + 1 odotetuksi pelikassan kasvukertoimeksi, F, meillä on silloin:

Odotettu pelikassan kasvu = Fn

, ja siten:

n = LogF(Odotettu pelikassan kasvu)

, missä F on logaritmin kantaluku.

Vedoille, joilla on sama panosprosentti ja EV, odotetun pelikassan kasvun logaritmi on suhteessa vetojen määrään. Vastaavasti todellisen pelikassan kasvun logaritmi on suhteessa voittojen määrään. Tämä esitetään tässä visuaalisesti esimerkkivedonlyöjällemme. Toinen taulukko on sama kuin ensimmäinen, mutta logaritmisella y-akselilla.

Olet saattanut myös huomata, että viisi voittoa ja viisi tappiota, jotka tasapanoksella ja tasakertoimella pitäisivät pelikassan omillaan, tuottavat pienen tappion prosenttipanostuksella (pelikassan kasvu = 0,951). Aiemman tappion korvaaminen vaatii suuremman prosentin, mutta jos panosten prosentti pysyy samana, yksi voitto tappion jälkeen ei aivan riitä kattamaan menetettyä panosta. Vastaavasti yksi tappio yhden voiton jälkeen menettää enemmän kuin voitit ensimmäisellä vedollasi. Sama on totta 10 vedon aikana (tai kuinka monen vedon kanssa tahansa). Jos pelikassan kasvu yhdellä voitolla ja yhdellä tappiolla on 0,99 (1,1 x 0,9), silloin viidellä voitolla ja viidellä tappiolla se on 0,995 = 0,951.

Prosenttipanostuksen palautusten vinoutunut jakauma on normaalijakauma.

Jos vetosarjan voittojen määrä on suhteessa pelikassan kasvun logaritmiin, voisimme odottaa näkevämme mahdollisen pelikassan kasvun normaalijakauman.

Normaalijakauma on sellainen, jossa tietojen logaritmi on jakautunut normaalisti (perinteinen Gaussin käyrä). Alle olen kuvannut luonnollisen logaritmin (Ln) taajuusjakauman 10 000 havaitusta pelikassan kasvusta samalla Monte Carlo -simulaatiolla, johon viittasin aiemmin.

Pelikassan kasvulukujen logaritmisen muuntamisen sijaan voin näyttää alkuperäiset luvut logaritmisella skaalalla. Tulokset ovat visuaalisesti samoja.

Keskimääräinen tai odotettu pelikassan kasvu tässä Monte Carlo -otoksessa oli 12,2. Miten se vertautuu lukuihin, jotka laskettiin edellä olevan kaavan ensimmäisillä periaatteilla? Kun EV on 5 % (0,05) 1 000 vedolle ja panoksen koko on 5 % (eli 0,05), vastaus on 1,00251000 = 12,1, mikä vastaa tätä loistavasti. Odotetusti pelikassan kasvun mediaani (jakauman keskikohta) oli huomattavasti alhaisempi 3,49, ja vain 21,7 % pelikassan kasvusta oli suurempi kuin odotettu 12,2. Muista, että muutamat hyvin suuret pelikassat vääristävät odotusarvoa positiiviseen suuntaan.

Pelikassan kasvun todennäköisyyden arviointi

Voiko tietyn pelikassan kasvun todennäköisyyden laskea jotenkin? Yllä olevaa taulukkoa katsomalla voi tehdä visuaalisia arvioita, vaikka logaritmisen skaalan takia se ei olekaan helppoa. Vaihtoehtoisesti on mahdollista laskea kuinka monta kertaa pelikassa päätyi tiettyä kynnystä korkeammalle. Esimerkiksi tässä Monte Carlo -otoksessa pelikassa ylitti alkusumman (pelikassan kasvu = 1) 78,5 % ajasta, ja vähintään kaksinkertaistui 63,5 % ajasta.

Excelissä tähän on myös helpompi tapa. Kun luonnollinen logaritmi on laskettu (=Ln-toiminnolla) kaikille simuloiduille pelikassan kasvuluvuille, seuraavaa funktiota voidaan käyttää:

1 – LOGNORM.DIST(x,mean,SD,true)

missä x on valittu pelikassan kynnysarvo (esimerkiksi 2 tuplaamiseen), ”mean” ja ”SD” ovat luonnollisten logaritmiarvojen keskiarvo ja keskihajonta ja ”true” varmistaa kumulatiivisen todennäköisyyden. Tällä kaavalla todennäköisyys siihen, että lopussa on enemmän kuin alussa (x = 1), arvioitiin 78,2 %:ksi, pelikassan tuplaaminen (x = 2) oli 63,6 % ja odotusarvon ylittäminen (x = 12,2) oli 21,7 %, mitkä ovat lähes samat kuin laskemalla.

Pelikassan prosenttipanostuksen laskuri

Jos kaikilla vedoillamme on samat kertoimet ja panosprosentit, voimme tehdä pelikassan kasvukaavaa käyttävän laskurin ja piirtää mahdolliset pelikassan kasvuluvut eri voitto- ja tappiosuhteilla. Verkkosivulleni tekemääni Excel-laskuria käyttämällä saadut kaavat osoittavat eri vedonlyöntitilanteita.

Ensimmäinen vertaa suoritusta kolmelle eri kertoimelle täydellä Kellyn panostussuunnitelmalla 1 000 vedolla. Kun panosten EV on 5 %, prosenttipanokset kertoimille 1,5, 2,0, ja 5,0 ovat 10 %, 5 % ja 1,25 %. Odotettu pelikassan kasvu näissä kolmessa tilanteessa on 147, 12,1 ja 1,87, kun pelikassan mediaanikasvuluvut ovat 12,7, 3,49 ja 1,36. Vihreä jakauma on käytännössä sama kuin edellä oleva Monte Carlo -jakauma, jossa mallin syötteet olivat samat.

Seuraava taulukko näyttää kuinka pelikassan kasvujakauma muuttuu EV:n myötä. Näkyvissä on kolme skenaariota: 1 %, 3 % ja 5 %, jotka kaikki ovat kertoimella 2,0 ja 1 000 vedolla ja jälleen täydellä Kellyn panoksella (1 %, 3 % ja 5 %). Pelikassan kasvun odotusarvo ja mediaani näille skenaarioille olivat 1,11, 2,46 ja 12,11 sekä 1,05, 1,57 ja 3,49.

Kolmas taulukko osoittaa, miten pelikassan kasvujakauma muuttuu, kun vaihdamme Kellyn kaavan murto-osaan. Kertoimella 2,0 ja EV:llä 5 % täyden Kellyn, puolikkaan Kellyn ja neljännes-Kellyn panokset ovat 5 %, 2,5 % ja 1,25 %. Pelikassan kasvun odotusarvo ja mediaani näille skenaarioille olivat 12,1, 3,49 ja 1,87 sekä 3,49, 2,55 ja 1,73.

Kuten aiemmin mainittu, suhteellista Kellyä suositellaan usein riskien rajoittamiseen. Yllä oleva jakauma osoittaa miksi. Siinä missä huonon suorituksen todennäköisyys pienenee huomattavasti (vertaa aluetta vasemmalle kohdasta pelikassan kasvu = 1 sinistä ja vihreää jakaumaa varten), mediaanipelikassa on vain hieman pienempi (2,55 vastaan 3,49).

Pelikassan odotettu kasvu (odotusarvo) on kyllä paljon suurempi täydellä Kellyllä, mutta suurimman osan ajasta siihen ei päästä. Mediaania voi pitää parempana mittauksena sille, mitä tässä kontekstissa voisi odottaa tapahtuvan. Täydellä Kellyllä on vielä 21,5 %:n mahdollisuus tehdä tappiota. Puolella Kellyllä se on enää 11,8 %.

Odotettu pelikassan kasvu ja mediaani

Voimme käyttää laskuria katsomaan, miten odotettu pelikassan kasvu muuttuu vetojen määrän mukaan. Tiedämme jo edellä olevista laskuista, että se on logaritmista. Myös pelikassan kasvun mediaani vaihtelee logaritmisesti.

Katsotaan lopuksi miten pelikassan kasvun mediaani muuttuu EV:n mukaan. Tässä skenaariossa kerroin on taas 2,0, mutta vastaavan taulukon voi luoda muillekin kertoimille.

Muuttuvat kertoimet, muuttuvat panokset

Tässä esitetyt laskukaavat ja laskuri luottavat siihen, että kaikilla vedoilla on samat kertoimet ja samat panosprosentit. Kuinka hyvin ne pätevät todellisissa tilanteissa, joissa molemmat voivat vaihdella? Monte Carlo -simulaation kokeileminen paljastaa, että kertoimet voivat vaihdella huomattavasti ilman suurta vaikutusta tämän laskurin tuloksiin, mutta vain jos panosprosentti on aina sama. Näin ei luonnollisestikaan ole Kellyn panostuksella.

Laskuri on hyvä myös vaihteleville panosprosenteilla, esimerkiksi Kellyn strategian mukaisilla, mikäli kertoimet eivät vaihtele merkittävästi. Tyypillinen esimerkki olisi aasialainen tasoitusveto tai pistetasoitus, jossa kertoimet ovat yleensä noin 1,95 hyvin pienillä vaihteluilla.

Luotettavuus on heikompi, kun myös vetotyyppien EV vaihtelee, mutta mikäli kertoimet tai EV eivät vaihtele hirveästi, laskuri on suhteellisen hyvä tapa odotetun suorituksen pikaiseen arviointiin.

Tiedämme, että odotusten määrittäminen tasapanoksella on varsin suoraviivaista. Tämä artikkeli on osoittanut, että se on mahdollista myös prosenttipanostuksella. Siinä missä tasapanostuksen suoritus on normaalijakautunut, prosenttipanostuksessa se on log-normaalijakauma. Näiden tietojen avulla olen pystynyt kehittämään yksinkertaisen laskurin, joka auttaa vedonlyöjiä määrittämään odotusarvon jakauman, jos he haluavat käyttää tätä rahanhallintastrategiaa.

Vedonlyöntiresurssit auttavat vedonlyönnissä

Pinnaclen Vedonlyöntiresurssit-osio on yksi netin kattavimmista asiantuntevan vedonlyöntineuvonnan kokoelmista. Tavoitteenamme on auttaa kaikentasoisia vedonlyöjiä parantamaan tietämystään.