huhti 30, 2018
huhti 30, 2018

Lisää Kellyn kaavasta: riskinarvio

Mikä on Kellyn kaava?

Kuinka riskialtis Kellyn kaava on?

Miksi oman edun tietäminen on tärkeää

Lisää Kellyn kaavasta: riskinarvio

Panostusmenetelmän (tai rahanhallintastrategian) käyttäminen on tärkeä tekijä säännöllisen tuoton saamisessa vedonlyönnistä. Kellyn kaavaa pidetään usein parhaana vaihtoehtona monestakin syystä, mutta miten se toimii käytännössä? Kuinka riskialtis Kellyn kaava on? Lue lisää tästä artikkelista.

Kellyn kaavaa on usein kehuttu tehokkaimmaksi rahanhallintastrategiaksi vedonlyöjän pelikassan kasvattamisen kannalta. Pinnaclen Vedonlyöntiresursseissa on useita artikkeleita, joissa käsitellään, mitä Kellyn kaava tekee, miten se toimii ja mitkä ovat sen edut ja haitat. Tässä artikkelissa esittelen yksinkertaisen riskinarvion tästä panostusmenetelmästä.

Mikä on Kellyn kaava?

Pinnaclen kirjoittaja ja Maltan yliopiston matemaatikko Dominic Cortis kuvailee Kellyn kaavaa tavaksi laskea oman pelikassan osuus, jolla kannattaa lyödä vetoa ylikertoimisesta kohteesta, jotta pelikassa kasvaa eksponentiaalisesti.

Kellyn kaavan kehitti John Kelly työskennellessään AT&T Bell Labsilla vuonna 1956. Kaava tarjoaa taloudellisesti perustellun ja matemaattisesti tarkan tavan laskea optimaaliset panoskoot, jotka maksimoivat pelikassan kasvun pitkällä aikavälillä ottamalla huomioon odotetun palautuksen ja riskin. Tämä tehdään seuraavalla yksinkertaisella yhtälöllä:

Kellyn panostusosuus = (etu – 1) / (kerroin – 1)

Etu on yksinkertaisesti etusi (tai oletettu etusi) vedonvälittäjän vedonlyöntikertoimeen nähden. Jos esimerkiksi arvioit, että tuloksen reilu kerroin olisi 2,00 (50 %:n onnistumismahdollisuus), mutta vedonvälittäjä tarjoaa kerrointa 2,10, voit laskea eduksesi 2,10/2,00 = 1,05.

”Etu” on vain toinen tapa kuvata odotusarvoa. Kerroin on yllä olevassa yhtälössä ilmaistava desimaalimuodossa. Näin ollen Kellyn kaavan mukainen panostusosuutesi olisi tässä esimerkissä likimäärin 0,05 eli 5 %.

Kellyn menetelmä on esimerkki suhteellisesta panostusmenetelmästä, jossa panoskoot määritetään suhteessa pelikassaan. Näin ollen ne kasvavat ja pienenevät pelikassan vaihteluiden mukana toisin kuin tasapanostuksessa, jossa panokset ovat aina ennalta määritetyn kokoisia.

Kellyn kaavassa on erikoisuutena se, että se ottaa myös huomioon oletetun etusi sekä vedonlyöntikertoimen suuruuden. Mitä suurempi etusi on ja/tai mitä pienempi kerroin on, sitä suuremman panoksen voit riskeerata.

Panostusosuuksien laskemisessa Kellyn kaavalla voi tietenkin esiintyä ongelmia silloin, kun lyödään vetoa useasta lopputuloksesta tai ottelusta samanaikaisesti. Pinnacle on julkaissut myös näitä ongelmia käsittelevän artikkelin. Tässä artikkelissa käsittelen tästedes kuitenkin vain yksinkertaista tilannetta, jossa Kellyn kaavaa käytetään vain yhteen vetoon kerrallaan.

Kuinka riskialtis Kellyn kaava on?

Koska Kellyn kaavan käyttäminen on suhteellinen rahanhallintastrategia, sillä ei tietenkään varsinaisesti voi menettää kaikkia rahojaan. Mitä enemmän häviät, sitä pienempiä panoksia käytät, mutta teoriassa et koskaan joudu nollille. 

Toisin kuin kasinopeleissä, jotka perustuvat tunnettuihin matemaattisiin algoritmeihin, jalkapallo-ottelun kaltaisen monimutkaisen tapahtuman tuloksen oikean todennäköisyyden ”tietäminen” on käytännössä mahdotonta.

Jossakin vaiheessa tappiot voivat kuitenkin saavuttaa rajan, jota ei enää voi pitää hyväksyttävänä. Siksi onkin ehkä syytä tarkastella pelikassan koon varianssia ja tutkia, ovatko valitut riskitasot sellaisia, että ne kattavat tällaisen varianssin.

Pinnaclen kirjoittajavieras ja pörssimeklari Joe Peta on aiemmin esittänyt, että ”Kellyn kaavan käytössä on se ongelma, että riippumatta siitä, millaiseksi odotetun tuottosi lasket, varianssista tulee naurettavan... ja... investointikelvottoman suuri”. Hän kehottaa meitä tarkastelemaan kuvitteellista vedonlyöjää, joka voittaa 52 % vedoistaan kertoimella 2,00. Kellyn kaavan mukaan panostusosuus kullakin vedolla olisi 4 %. 

Peta väittää, että 250 vedon sarjalla olisi yli 10 %:n mahdollisuus, että pelikassa olisi lopussa vähintään 40 % alkuperäistä pienempi. Onko hän oikeassa? 

Siltä vaikuttaisi. Tekemällä näillä parametreilla 10 000 suorituskerran Monte Carlo -simulaation saimme tulokseksi, että 14 % lopullisista pelikassoista oli kooltaan alle 60 % alkuperäisestä. Vastaava osuus olisi vain 9 prosenttia tasapanosstrategialla, jossa panostetaan tasaisesti neljä yksikköä 250 kertaa (kun alkupelikassa on 100 yksikköä).

Seuraavassa taulukossa on laajempi vertailu Kellyn menetelmän ja kiinteän panoskoon välillä. Kuten olen aiemmassa artikkelissani esittänyt, niin vaikka suhteellinen panostus optimoikin tuottavuuden parhaiten (tässä simulaatiossa keskimääräinen loppupelikassa oli Kellyn kaavalla 149 ja tasapanoksilla 140 yksikköä), tappiokausista palautuminen kestää kauemmin.

Suurempi tappiollisten loppupelikassojen osuus on yksinkertaisesti seurausta suuremmasta pelikassan vaihtelusta, jonka suhteellinen panostusmenetelmä saa aikaan. Lähes neljä kymmenestä simulaatiosta päättyi tappiollisesti Kellyn panostusmenetelmällä, kun kiinteillä panoksilla tämä osuus oli vain yksi neljästä.

Kellyn kaavan vertailu

Loppupelikassa

Kellyn panokset (4 %)

Kiinteät panokset (4 yksikköä)

<100%

38 %

24%

<80%

24%

17 %

<60%

14 %

9 %

<40%

4 %

6 %

<20%

0 %

2 %

Kuinka riskit muuttuvat, jos etumme on suurempi? Suoritin simulaation uudelleen 54 %:n voittotodennäköisyydellä jokaiselle kertoimen 2,0 vedolle, jolloin Kellyn panokseksi tuli 8 %. Vain harva vedonlyöjä pystyisi tuollaisiin lukuihin pitkällä aikavälillä.

On sanomattakin selvää, että jos arvioit voittavasi 52 % kertoimen 2,0 vedoistasi, mutta voitatkin lopulta vain 49 % niistä, menetät rahaa pitkällä aikavälillä.

Ymmärrettävästi edun tai odotusarvon kaksinkertaistuminen jokaisella vedolla parantaa tuottavuutta huomattavasti enemmän Kellyn kaavalla kuin kiinteillä panoksilla (keskimääräiset loppupelikassat olivat 494 ja 260). Valitettavasti hintana tästä on edelleen suurempi varianssi.

Keskimääräinen tai odotettu loppupelikassa on suurempi, koska tuloksia vääristää pieni määrä erittäin suuria pelikassoja. Keskinkertaisia ja tappiollisia pelikassoja oli paljon enemmän kuin kiinteiden panosten strategialla, ja loppupelikassan mediaani oli vain 223. Todennäköisyys menettää 40 % pelikassasta 250 2,0-kertoimisen vedon jälkeen 8 %:n edulla Kellyn kaavaa käyttäen on edelleen 14 %. Epäilemättä Joe Peta toteaisi, ettei kukaan itseään kunnioittava 8 %:n palautuksiin pystyvä investoija hyväksyisi sellaista riskiä.

Kellyn kaavan vertailu

Loppupelikassa

Kellyn panokset (8 %)

Kiinteät panokset (8 yksikköä)

<100%

29 %

9 %

<80%

21 %

7%

<60%

14 %

6 %

<40%

9 %

4 %

<20%

3 %

3 %

Tiedämmekö oikesti etumme suuruuden?

Näissä simulaatioissa oletetaan, että tiedämme tarkasti voiton todennäköisyyden ja näin ollen myös etumme vedonvälittäjän kertoimiin nähden. Kuten Joe Peta meille muistuttaa, urheiluvedonlyönnin tulosten mallinnus ei kuitenkaan ole kuin blackjackin korttien laskemista.

Toisin kuin kasinopeleissä, jotka perustuvat tunnettuihin matemaattisiin algoritmeihin, jalkapallo-ottelun kaltaisen monimutkaisen tapahtuman tuloksen oikean todennäköisyyden ”tietäminen” on käytännössä mahdotonta. Twitter-syötteessäni käsiteltiin äskettäin sen vaikutusta Kellyn strategian menestykseen, ettemme tiedä tarkasti etuamme vedonvälittäjän kertoimiin nähden. Halusin selvittää, millainen tämä vaikutus todella on.

Pelkästään keskimääräisen edun tietäminen tarkasti riittää määritettäessä panoskokoa Kellyn kaavalla ja pyrittäessä hallitsemaan sen riskejä.

On sanomattakin selvää, että jos arvioit voittavasi 52 % kertoimen 2,0 vedoistasi, mutta voitatkin lopulta vain 49 % niistä, menetät rahaa pitkällä aikavälillä, oli panostusmenetelmäsi mikä hyvänsä. Kiinnostavampaa tässä on, kasvattaako tietämättömyys tarkasta omasta edusta Kellyn kaavaan liittyviä variansseja ja riskejä.

Pitkän aikavälin vedonlyöntihistoriasi perusteella voit arvioida, mikä keskimääräinen etusi voisi olla. 1 050 €:n palautus tuhannesta 1 €:n vedosta antaa aihetta uskoa, että sinulla on keskimäärin 5 %:n etu. Toinen tapa arvioida etua on vertailla saamiasi vedonlyöntikertoimia sulkemiskertoimiin.

Jos lyöt vetoa kertoimella 2,10 ja kohteen sulkeutuessa Pinnaclen kerroin on 2,00, sinulla on data-analyysini perusteella 5 %:n etu (pois lukien kate). Tällainen analyysi perustuu kuitenkin suurten jalkapallon ottelumäärien koostamiseen. Vaikka keskimääräisen edun voikin johtaa, emme voi olettaa sen pohjalta, että etu olisi sama joka vedolla. Koska urheilutapahtumiin vaikuttaa niin paljon epävarmuustekijöitä, on perusteltua olettaa, että se nimenomaan ei ole.

Suoritin uuden Monte Carlo -simulaation 250:lle kertoimen 2,0 vedolle. Tällä kertaa en kuitenkaan pitänyt voittotodennäköisyyttä kiinteästi 52 %:ssa vaan määritin sen vaihtelemaan voittotodennäköisyyksien normaalijakauman mukaisesti. Vaikka keskiarvo oli 52 %, varsinaiset arvot vaihtelivat tämän lukeman ympärillä. Jotkin olivat suurempia ja jotkin pienempiä.

Käytin 5 %:n keskihajontaa, jonka mukaan kaksi kolmasosaa arvoista oli välillä 47–57 % ja 95 % arvoista välillä 42–62 %. Itse asiassa kolmasosa arvoista oli alle 50 %:n eli niiden odotusarvo oli negatiivinen. 

Tulokset olivat melkoinen yllätys. Vaikka kolmasosalla vedoista oli negatiivinen odotusarvo, Kellyn strategiaan liittyvät riskit olivat käytännössä muuttumattomat. Tästä voisimme päätellä, että kunhan tietää keskimääräisen etunsa tarkasti, etua ei ole välttämätöntä tuntea tarkasti vetokohtaisesti. 

Kellyn kaavan vertailu

Loppupelikassa

Kelly 1 (4 %)

Kelly 2 (4 %)

<100%

38 %

37%

<80%

24%

24%

<60%

14 %

14 %

<40%

4 %

4 %

<20%

0 %

0 %

Kelly 1 – etu tiedetään tarkasti joka vedolla. Kelly 2 – keskimääräinen etu tiedetään, mutta etua ei tiedetä vetokohtaisesti. 

Yritin testata tämän johtopäätöksen luotettavuutta suorittamalla uuden simulaation, jossa odotusarvoltaan negatiivisten vetojen määrä oli merkittävästi suurempi.

Määritin 230 vetoa 250:stä (eli 92 %) voittamaan todennäköisyydellä 49 %, mikä vastaa Pinnaclen katetta suosituissa kahden tai kolmen tuloksen vetokohteissa. Lopuille 20 vedolle määritin voittotodennäköisyydeksi 86,5 %, jotta 250 vedon keskimääräinen voittotodennäköisyys pysyi 52 %:ssa. Tulokset olivat täsmälleen samat.

Tietenkin todellisuudessa on hyvin epätodennäköistä, että vedonlyöjä, joka ei löydä arvovetoja 92 %:ssa vedoistaan, onnistuu jollain keinolla löytämään valtavan positiivisen odotusarvon lopuilla 8 %:lla, mutta tämä testi vahvisti aiemmin esittämääni johtopäätöstä: pelkästään keskimääräisen edun tietäminen tarkasti riittää määritettäessä panoskokoa Kellyn kaavalla ja pyrittäessä hallitsemaan sen riskejä.

Useimmille vedonlyöjille minkäänlaisen edun löytäminen ylipäätään on paljon vaikeampi ongelma ratkaistavaksi. Vedonlyöjän on kovin helppoa antaa tuurin ja syy-seuraussuhteiden illuusioiden johtaa harhaan ja saada hänet kuvittelemaan, että hän on parempi kuin onkaan. Jos voittaa vain 49 % kertoimen 2,0 vedoistaan panostaen aina 4 % pelikassastaan, Kellyn strategia ymmärrettävästi epäonnistuu paljon useammin (todennäköisyys tappiolla olemiseen 250 vedon jälkeen on kolme neljästä, kun se on kiinteillä panoksilla kolme viidestä).

Vedonlyöntiresurssit auttavat vedonlyönnissä

Pinnaclen Vedonlyöntiresurssit-osio on yksi netin kattavimmista asiantuntevan vedonlyöntineuvonnan kokoelmista. Tavoitteenamme on auttaa kaikentasoisia vedonlyöjiä parantamaan tietämystään.