close
touko 22, 2018
touko 22, 2018

Lisää Kellyn kaavasta, osa 2: suhteellinen Kellyn kaava

Ongelma Kellyn kaavan käytössä täysimääräisenä

Tappioiden välttäminen ja Kellyn kaava

Evoluutioon perustuva selitys tappioiden kaihtamiselle

Kellyn kaavan säätäminen murtoluvuilla

Lisää Kellyn kaavasta, osa 2: suhteellinen Kellyn kaava

Kellyn kaava on usein keskusteltu aihe vedonlyöjien keskuudessa. Pinnacle on julkaissut aiheesta lukuisia artikkeleita yksinkertaisista selityksistä monimutkaisiin analyyseihin. Kuinka suhteellinen lähestymistapa Kellyn kaavaan toimii, ja onko se paras vaihtoehto vakavissaan oleville vedonlyöjille? Lue lisää tästä artikkelista.

Viime kuun artikkelissani palasin tarkastelemaan Kellyn kaavaa rahanhallinnan menetelmänä. Kertauksena: Kelly kehottaa panostamaan suhteessa voittotodennäköisyyteen sekä omaan etuun vedonvälittäjän kertoimiin nähden.

Jokseenkin yllättäen sain selville, että Kellyn menetelmää käytettäessä riskit eivät kasvaneet, vaikka omaa etuaan ei tuntenut tarkasti, kunhan sen tiesi keskimäärin oikein. Siitä huolimatta oli selvää, että Joe Peta tiesi, mistä puhui, kun hän analysoi Kellyn kaavaa sanoen, että ”riippumatta siitä, millaiseksi odotetun tuottosi lasket, varianssista tulee naurettavan... ja... investointikelvottoman suuri”.

Tässä jatkoartikkelissa tutkin, mitä voimme tehdä näiden varianssiriskien pienentämiseksi, ja mitä vaikutusta sillä on odotettuun tuottoon.

Ongelma Kellyn kaavan käytössä täysimääräisenä

Usein mainitaan, että suuri ongelma Kellyn kaavan käytössä on pelikassan epätasainen kasvu, kun tuottojen sekaan tulee joskus merkittäviäkin tappioita. Toisin sanoen pelikassan kasvu on ailahtelevaista.

Kun muistamme, miten Kellyn kaavan mukainen panostus lasketaan – (etu – 1) / (kerroin – 1) – suuret kertatappiot ovat väistämättömiä silloin, kun pienikertoiminen veto ei osu, vaikka uskomme sillä olevan merkittävä positiivinen odotusarvo.

Tässä kuussa pelattu Ligue 1 -ottelu tarjoaa esimerkin tästä. Eräs kilpaileva vedonvälittäjä tarjosi PSG:n voitolle Caenia vastaan kerrointa 1,35, kun kerroin oli Pinnaclella 1,20. Kun katteen vaikutus oli laskettu pois, tämä tarkoitti odotettua 11,5 %:n etua (olettaen, että Pinnaclen markkina on tarkin) ja 32,8 %:n osuuden panostamista pelikassasta Kellyn kaavan mukaan.

PSG:n ottelu Caenia vastaan päättyi tasapeliin, ja Kellyn kaavaa käytettäessä lähes kolmannes pelikassasta olisi kadonnut yhdellä vedolla kuin tuhka tuuleen. Ymmärrettävästi useimmat vedonlyöjät eivät sietäisi tämänkaltaisia pelikassan romahduksia, vaikka tulevilla vedoilla voisikin kasvattaa pelikassaa vastaavasti.

Tappiot satuttavat enemmän kuin voitot tuovat iloa

Useimmille ihmisille – jopa riskejä kaihtamattomille – tämän suuruusluokan tappiot tuottavat paljon suurempaa tuskaa kuin vastaavanlaiset voitot toisivat iloa. Kirjassaan Thinking, Fast and Slow Daniel Kahneman selittää asian yksinkertaisella ajatusleikillä.

A) Sinulle on annettu 1 000 $ aiemman omaisuutesi lisäksi. Sinua pyydetään nyt valitsemaan jompikumpi näistä vaihtoehdoista:

1) 50 %:n mahdollisuus voittaa 1 000 $ lisää

2) varmat 500 $ lisää.

A) Sinulle on annettu 2 000 $ aiemman omaisuutesi lisäksi. Sinua pyydetään nyt valitsemaan jompikumpi näistä vaihtoehdoista:

1) 50 %:n mahdollisuus menettää 1 000 $

2) varma 500 $:n menetys.

Absoluuttisen varallisuuden suhteen tapausten A ja B tulokset ovat identtiset. Jos valitset varman vaihtoehdon, päädyt sekä A- että B-tapauksessa summaan 1 500 $ (aiemman omaisuutesi lisäksi). Jos valitset uhkapelin, päädyt sen lopputuloksen mukaan joko summaan 2 000 $ tai 1 000 $. Kumman valitsit?

Kun Kahneman ja hänen kollegansa Amos Tversky tekivät tutkimusta tällä kompakysymyksellä, he havaitsivat, että suurin osa vastaajista valitsi mieluummin riskin välttämisen (ja valitsivat varman vaihtoehdon) tapauksessa A, kun saatavilla oli lisävoittoa, ja ottivat riskin (uhkapelivaihtoehdon) tapauksessa B, kun uhkana oli tappio.

Samasta päätöksentekoon liittyvästä pulmasta johdettujen toisiaan vastaavien lausekkeiden pitäisi tuottaa samanlaisia valintoja. Koska tässä esimerkissä niin ei käynyt, vastaajat eivät selvästikään toimineet rationaalisesti. Selitys on, että tapauksissa A ja B oli erilaiset aloitus- eli viitepisteet.

Tapauksessa A se oli aiempi omaisuus +1 000 $, ja tapauksessa B se oli aiempi omaisuus +2 000 $. Kahneman esittää väitteen, että koska harva meistä kiinnittää huomiota näihin viitepisteisiin, suhtautumisemme voittoihin ja tappioihin ei johdu absoluuttisista varakkuuden tilan arvioistamme vaan suhteellisista. Mitä voittoihin ja tappioihin tulee, inhoamme häviämistä enemmän kuin pidämme voittamisesta.

Hyväksyisitkö reilun tasapanosvedon, joka kasvattaisi pelikassaasi kolmanneksella voittaessaan ja pienentäisi sitä kolmanneksella hävitessään? Jos et, kuten luultavasti useimmat meistä, osoitat taipumusta riskien kaihtamiseen. Kuinka suuri voittotodennäköisyyden olisi oltava, että harkitsisit mielesi muuttamista? 60 %? 70 %? 95 %? Suurempi?

Evoluutioon perustuva selitys tappioiden kaihtamiselle

Evoluution näkökulmasta ei ole yllättävää, että tappiot liikuttavat meitä enemmän kuin voitot. Kuten Kahneman on selittänyt, elävillä olennoilla, jotka arvioivat uhat nopeammin kuin mahdollisuudet, on suurempi todennäköisyys selviytyä ja tuottaa jälkeläisiä.

Koska edustamme evoluutiossa voittajia (olemme sentään täällä), johtopäätöksen on oltava, että riskien kaihtaminen on luonnonvalinnan mukaista mukautumista.

Evoluution myötä hermostomme on hienosäätynyt havaitsemaan suhteellisia muutoksia ärsykkeisiin absoluuttisten arvojen sijaan. Voit tarkistaa tämän itse kolmella vesilasilla, joista ensimmäisessä on kuumaa vettä, toisessa kylmää ja kolmannessa jotain näiden väliltä.

Pidä minuutin ajan vasenta kättäsi kuumassa vedessä ja oikeaa kylmässä. Työnnä sitten molemmat kätesi yhtä aikaa lasiin, jonka lämpötila on niiden välillä. Vaikka molemmat kädet kokevat saman absoluuttisen lämpötilan, vasen käsi tuntuu kylmemmältä ja oikea lämpimämmältä, koska niillä on ollut aluksi erilainen viitelämpötila.

Kellyn kaavan säätäminen murtoluvuilla

Jos taipumuksemme riskien kaihtamiseen saa meidät kokemaan Kellyn kaavaa täysimääräisenä käyttämällä saadut panokset investointikelvottoman suurina, ilmeinen ratkaisu on Kellyn kaavan mukaisten panosten pienentäminen. Mutta kuinka se vaikuttaisi tämän rahanhallintastrategian odotettuun tuottavuuteen?

Lukuisissa lähteissä on esitetty, että puolittamalla Kellyn kaavan mukaiset panoskoot vedonlyöjä voi merkittävästi pienentää pelikassan kehittymisen epävakautta menettämättä paljoakaan odotetusta tuotosta. Suoritetaanpa muutama simulaatio ja selvitetään, pitääkö tämä paikkansa.

Ensimmäisessä kaaviossa on esimerkki simulaatiosta, jossa noudatetaan samaa 250 tasakertoimisen vedon sarjaa, jossa vedonlyöjällä on 4 %:n etu (odotettu voittoprosentti on 52 %).

Kaaviossa vertaillaan neljää eri panostusmenetelmää: täysimääräinen Kelly, puolitettu Kelly, neljäsosa-Kelly ja kahdeksasosa-Kelly. Jos panos täysimääräisellä Kellyn menetelmällä olisi siis 8 %, puolikas olisi 4 %, neljäsosa 2 % ja kahdeksasosa 1 %. Odotetusti pelikassan kehittymisen epävakaus on suurin täysimääräisellä Kellyn menetelmällä ja pienin kahdeksasosa-Kellyllä.

kelly-p2-in-article1.jpg

Seuraava kaavio osoittaa myös, että kun olemme tavallista onnekkaampia, täysimääräinen Kellyn menetelmä suoriutuu suhteellisesti paljon paremmin kuin sen murtolukuja käyttävät vastineet.

kelly-p2-in-article2.jpg

Vastaavasti epäonnen kohdatessa tappiot ovat paljon suurempia täysimääräisellä Kellyn menetelmällä. Alla olevassa kolmannessa kaaviossa näkyy 10 peräkkäisen tappiovedon sarja, joka pienensi pelikassaa 30 %:lla. Kahdeksasosa-Kelly-panostuksella tappioiksi tuli vain 3,75 %. Kuten selitimme, tällaiset tappiot ovat useimmille vedonlyöjille erityisen sietämättömiä, vaikka täysimääräisellä Kellyn kaavan käytöllä voitot olisivatkin suurempia.

kelly-p2-in-article3.jpg

Nämä ovat kuitenkin vain kolme mahdollista vetohistoriaa 4 %:n edulla tasakertoimilla pelaavalle vedonlyöjälle. Meidän on suoritettava uusi Monte Carlo -simulaatio selvittääksemme, mitä voimme odottaa keskimäärin.

Tein 10 000 suorituskerran Monte Carlo -simulaation, jossa verrattiin neljää Kellyn suhdeluvun menetelmää sen suhteen, millä todennäköisyydellä pelikassa olisi lopussa pienempi kuin alussa. Huomaa, että aiempien tutkimustemme mukaan täydellä Kellyllä noin 14 %:ssa vetohistorioista loppupelikassa oli alle 60 % alkupelikassasta, mikä käy vahvistuksesta Joe Petan alkuperäiselle kritiikille strategiaa kohtaan.

Tässä uudessa simulaatiossa tulos toisinnettiin sattuman rajoissa. Koko todennäköisyyksien sarja näkyy seuraavassa taulukossa.

Suhteelliset Kellyn todennäköisyydet

Loppupelikassa

Täysi Kelly (4 %)

Puolikas Kelly

Neljäsosa-Kelly

Kahdeksasosa-Kelly

<100%

38%

34 %

29 %

29 %

<80%

25 %

12%

2 %

0 %

<60%

15%

2 %

0 %

0 %

<40%

5 %

0 %

0 %

0 %

<20%

0 %

0 %

0 %

0 %

Vaikka Kellyn panoskokojen pienentäminen ei merkittävästi vähentänyt ylipäätään tappiolle päätymisen todennäköisyyttä 250 tasakertoimisella vedolla, se suojasi päätymiseltä yli 20 % tappiolle.

Kellyn panosten puolittaminen puolitti mahdollisuuden hävitä 20 % pelikassasta. Panosten puolittaminen uudelleen vähensi sen melkein nollaan. Yli 40 % tappioilla riskien pienentyminen oli vieläkin merkittävämpää. Entä miten tämä pienentää odotettua tuottoa?

Seuraavassa taulukossa esitetään keskiarvo- ja mediaanipelikassat 250 vedon jälkeen kullakin neljällä strategialla.

Pelikassat 250 vedon jälkeen

Loppupelikassa

Täysi Kelly (4 %)

Puolikas Kelly

Neljäsosa-Kelly

Kahdeksasosa-Kelly

Keskiarvo

147

121

110

105

Mediaani

122

116

109

105

Vaikka odotetun tuoton keskiarvo puoli-Kellyllä onkin paljon pienempi kuin täydellä Kellyllä, mediaaniodotusarvo on vain noin neljänneksen pienempi. Kannattaa muistaa, että koska suhteellisilla panostusmenetelmillä keskimääräinen odotustuotto vinoutuu muutaman hyvin suuren pelikassan kasvun johdosta, mediaani on parempi mittari sille, mitä voi tyypillisesti odottaa tapahtuvan. Esimerkiksi mediaani 116 tarkoittaa, että noin 50 % loppupelikassoista on pienempiä tai yhtä suuria kuin 116 ja noin 50 % pelikassoista yli 116. Vaikuttaisi siis, että riskien pienentäminen Kellyn panosten puolittamisella (tai pienentämällä enemmänkin) on hintansa arvoista.

Viimeisessä taulukossa ovat tulokset toisesta Monte Carlo -simulaatiosta, jossa vedonlyöjällä on 8 %:n etu (54 %:n voittotodennäköisyys). Johtopäätökset ovat kutakuinkin samanlaiset: tappioiden riskejä voi pienentää merkittävästi luopumalla vain pienestä osasta odotettua tuottoa (mediaanituottoa).

Suhteellinen Kelly

Loppupelikassa

Täysi Kelly (4 %)

Puolikas Kelly

Neljäsosa-Kelly

Kahdeksasosa-Kelly

<100%

28 %

16%

13%

11 %

<80%

20%

9%

3 %

0 %

<60%

13%

4 %

0 %

0 %

<40%

9%

1%

0 %

0 %

<20%

2 %

0 %

0 %

0 %

Keskiarvo

500

224

150

122

Mediaani

223

182

142

121

Onko suhteellinen versio Kellyn kaavasta paras panostusmenetelmä?

Suhteellinen Kellyn kaava vaikuttaa tarjoavan vedonlyöjälle ratkaisun, jolla täysimääräiseen Kellyn kaavaan käyttöön liittyviä epävakaisuusriskejä voi pienentää ilman, että menetetään kovin suurta osaa edusta, jonka Kellyn strategia tarjoaa suhteessa kiinteään panostukseen. Suuria tappioita kaihtaville vedonlyöjille tämä lienee tervetullut uutinen.

Tietenkin suurin haaste on aina ylipäätään edun saaminen julkaistuihin kertoimiin nähden – omaan etuun uskominen ja edun tietäminen ei ole sama asia. Varo luottamasta liikaa omiin kykyihisi.

Vedonlyöntiresurssit auttavat vedonlyönnissä

Pinnaclen Vedonlyöntiresurssit-osio on yksi netin kattavimmista asiantuntevan vedonlyöntineuvonnan kokoelmista. Tavoitteenamme on auttaa kaikentasoisia vedonlyöjiä parantamaan tietämystään.