Una de las limitaciones del modelo de Poisson es la falta de poder predictivo en cuanto a la probabilidad de que se produzcan empates sin goles. Este artículo explica cómo ajustar el modelo de Poisson para abordar los empates sin goles. Sigue leyendo para obtener más información.
El principal modelo utilizado para predecir marcadores en el fútbol es el modelo de Poisson (o sus variantes). El enfoque más sencillo consiste en establecer un parámetro de goles esperados para cada equipo y, a continuación, predecir los marcadores en consecuencia.
A modo de resumen del modelo de Poisson, el parámetro del equipo local es la tasa media de goles marcados en casa en la liga multiplicada por un factor de ataque basado en el equipo local y un factor de defensa basado en el equipo visitante. El primero de los factores ajusta la ventaja de marcar en casa a la valoración defensiva del equipo visitante (una defensa más sólida supone menos oportunidades de gol), mientras que el segundo se ajusta dependiendo de la capacidad de marcar del equipo local. La tasa esperada de goles marcados del equipo visitante se calcula de manera similar, aunque utilizando los factores atacantes del equipo visitante y los factores defensivos del equipo local.
Las limitaciones del modelo de Poisson
Al igual que cualquier otro modelo, existen algunas limitaciones a la hora de predecir el marcador de un partido de fútbol con el modelo de Poisson, en concreto que los resultados son sensibles a los cambios en los parámetros utilizados.
La posibilidad real de que se produzca un empate a cero es mucho mayor para los equipos que marcan muchos goles, ya que quizás reduzcan el ritmo si el partido continúa sin goles después de que haya trascurrido un tiempo considerable.
El modelo de Poisson también supone que una vez establecidos los parámetros de goles esperados, el número de goles que marca cada equipo es independiente. Aunque esto se puede controlar hasta cierto punto utilizando las valoraciones específicas de defensa y ataque, ¿podemos esperar de verdad que la probabilidad de que el equipo visitante marque cinco goles sea la misma independientemente de si el equipo local marca cinco goles o no marca ninguno?
La limitación más significativa es la suposición de que la varianza de goles marcados por equipo es igual al número esperado de goles, una característica de la distribución de Poisson. Existen maneras inteligentes de abordar esta situación, como dispersar en exceso (o no dispersar lo suficiente) los modelos de Poisson y utilizar el modelo de Poisson bivariable, pero tratar estas opciones va más allá del ámbito de este artículo.
Uno de los efectos combinados de estas limitaciones es la falta de poder predictivo al calcular el empate a cero, que puede tener una probabilidad superior o inferior a la del resultado indicado por el modelo de Poisson. Intuyo que el modelo de Poisson tiende a subestimar la posibilidad de un empate a cero para los equipos con parámetros que indican una tasa alta de goles esperados.
La posibilidad real de que se produzca un empate a cero es mucho mayor para los equipos que marcan muchos goles, ya que quizás reduzcan el ritmo si el partido continúa sin goles después de que haya trascurrido un tiempo considerable. Por otro lado, los equipos que marcan pocos goles pueden tener un ritmo mayor hasta que se marque el primer gol. El modelo de Poisson estándar no captará esto y, por tanto, asignará una posibilidad mayor a la posibilidad real de que se produzca un empate a cero. Admito que se trata solo de una intuición que no se basa en ninguna prueba, si alguien está dispuesto a probarla y desea contactar conmigo, estaré encantado de escucharle.
Cómo desinflar o inflar la probabilidad de un empate
Un enfoque para ajustar las probabilidades de los empates a cero consiste en inflar o desinflar las probabilidades de esos empates y ajustar otras predicciones en consecuencia. Esto se puede explicar como un proceso de cinco pasos, que se expone a continuación utilizando un ejemplo sencillo:
Paso 1: Calcular los parámetros de goles esperados por equipo
Probablemente este sea el proceso que te lleve más tiempo, a menos que lo hayas automatizado. Benjamin Cronin lo explica perfectamente en su artículo sobre la distribución de Poisson. Para abreviar, suponemos que los parámetros finales para la media de goles son de 1,7 para el equipo local y de 1,2 para el visitante (estas cifras son simplemente aleatorias).
Paso 2: Calcular la probabilidad del número de goles marcados por equipo
Esto se puede calcular utilizando una fórmula. En el enlace anterior también ofrecemos un ejemplo demostrado. En este caso utilizamos la distribución de probabilidad para el número de goles marcados, utilizando la fórmula obtenemos los siguientes resultados:
Paso 3: Calcular la distribución de probabilidad por marcadores
Ahora podemos multiplicar las probabilidades para los diferentes marcadores. Por ejemplo, la probabilidad para un marcador 0-0 sería 18,3 % x 30,1 % = 5,5 %. Los resultados se muestran a continuación. Ten en cuenta que el total no llega al 100 % debido a la probabilidad de otros marcadores (por ejemplo 5-1). Podemos añadir que la probabilidad de los otros marcadores es del 3,7 %.
Cálculo de la distribución de probabilidad por marcadores
Paso 4a: Calcular el parámetro de inflación/desinflación para el empate a cero
Aquí es donde podría colarse algo de subjetividad. Por ejemplo, supongamos que las estadísticas pasadas parecen indicar que un 0-0 tendría una probabilidad del 10 %. Por tanto, tendríamos que aumentar el 5,5 % hasta el 10 %.
El parámetro de inflación se puede calcular de esta manera:
(probabilidad presunta de un 0-0)/(probabilidad predicha)=(probabilidad presunta)/(probabilidad(0,0))
Si representamos esto por mediación del símbolo α obtenemos:
α=10/5,5=1,82.
En la práctica, esto significa que estamos aumentando la probabilidad de un empate sin goles en un 82 %. Como esta probabilidad aumentó del 5,5 % hasta el 10 %, las otras probabilidades deben disminuir su probabilidad acumulada por la misma cantidad de manera que el total de todos los marcadores sea el 100 %.
Paso 4b: Calcular el parámetro de inflación/desinflación para los otros marcadores
Si utilizamos el símbolo β para este factor, podemos usar esta ecuación:
β=(1-α[prob(0,0)])/(1-[prob(0,0)])=(1-probabilidad presunta)/(1-probabilidad predicha)
En este caso obtenemos el siguiente resultado: β=(1-0,1)/(1-0,055)=0,95
Paso 5: Rellenar la tabla de marcadores inflados
Por último, ya podemos recalcular las probabilidades de los diferentes marcadores multiplicando la probabilidad del 0-0 por α y el resto por β. Obtendremos los siguientes resultados, siendo la probabilidad de otros marcadores del 3,5 %.
Rellenar los marcadores inflados
¿Qué has aprendido acerca de la manera de ajustar el modelo de Poisson?
En este artículo hemos hablado de un ajuste realizado en el modelo tradicional de Poisson que altera la probabilidad del empate sin goles. Este modelo se puede ampliar para ajustar cualquier marcador, siempre y cuando las probabilidades de todos los marcadores también se ajusten para que el total sea 100 %.
Este enfoque no es el único que existe para cambiar las probabilidades de algunos marcadores. Por ejemplo, durante la conferencia MathSport celebrada el pasado mes de junio, el Dr. Alun Owen explicó un enfoque que posiblemente sea mejor y que implica el uso de un modelo de Poisson truncado.
El ajuste no minimiza las limitaciones de los modelos de Poisson (anteriormente hemos hablado de algunas de ellas). De hecho, añade otras suposiciones: la probabilidad supuesta de un empate sin goles y que el resto de probabilidades se ajusten con la misma tasa β. No obstante, podría tratarse de una mejora válida en comparación con los modelos tradicionales que tienden a sobrestimar o subestimar los empates sin goles.