nov 1, 2018
nov 1, 2018

Buena y mala suerte. La delgada línea de la expectativa.

El clásico ejemplo de lanzar una moneda al aire.

La desviación estándar binomial.

¿La ley de los grandes números está a su favor o en su contra?

Buena y mala suerte. La delgada línea de la expectativa.

Es frecuente que la suerte influya en las apuestas. En ocasiones, podemos beneficiarnos de la buena suerte, pero en otras, podemos ser víctimas de la mala suerte. Es importante entender que la suerte puede afectar las apuestas, pero, ¿qué tan delgada es la línea entre la buena y la mala suerte? Lea a continuación para descubrirlo.

Apostar en los deportes tiene mucho que ver con la probabilidad. Quienes ganan deben su triunfo casi por completo a la suerte; pero, en última instancia, el margen del corredor de apuestas y a ley de los grandes números los vencerá a casi todos ellos. Quienes hayan leído mis artículos a lo largo de los años, saben que platico una historia bastante intransigente cuando se trata de la posibilidad de que los apostadores obtengan alguna ganancia a largo plazo. No espero necesariamente que estén de acuerdo con ella, ya que representa el campo de batalla que todo apostador enfrenta entre la esperanza y la realidad.

Para contrarrestar esta narrativa, muchos de los artículos sobre Recursos para apostar de Pinnacle tienen el propósito de educar a los apostadores para que sean mejores en la predicción. Sin embargo, las leyes de la probabilidad aplican incluso para aquellos pocos que se las arreglan para obtener una expectativa redituable a largo plazo. En este artículo trataré el cómo con más detalle. En particular, explicaré que tan delgada es la línea entre la buena y la mala suerte.

El clásico ejemplo de lanzar una moneda al aire.

Todos sabemos que al lanzar una moneda al aire la probabilidad es 50-50: águila o sol. También sabemos que, si la lanzamos 20 veces, no siempre obtendremos 10 veces águila y 10 veces sol, aunque ese sería el resultado más probable. Algunas veces obtenemos 12 águilas y 8 soles, o al revés. Muy pocas veces salen 5 águilas y 15 soles. Para determinar las probabilidades exactas de cada resultado posible, podemos recurrir a la distribución binomial. Para 20 lanzamientos de moneda, quedaría de este modo:

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La mayoría de los resultados probables varían entre 5 águilas y 15 soles y 15 águilas y 5 soles. ¿Qué pasaría si la lanzamos 100 veces? La distribución quedaría de este modo:

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Esta vez el rango de posibles resultados es mayor. Visualmente, cuando lanzamos la moneda 20 veces, el rango es entre 5 y 15 águilas, una diferencia de 10. Para 100 lanzamientos, el rango es escasamente el doble, entre 40 y 60 águilas ¿Significa eso que si el tamaño de la muestra de las veces que se lanza la moneda es mayor, el rango de posibles resultados es mayor también? Bueno, sí y no.

Cuando el matemático Jacob Bernoulli se enfrentó a este dilema, observó que aunque la diferencia numérica absoluta entre la cantidad de águilas y soles puede aumentar cuando aumenta el tamaño de la muestra, el porcentaje de águilas se acerca más a 50%. 5 de cada 20 águilas es igual a 25%; y 40 de 100, es igual a 40%. Esta segunda explicación, que representa la base de la ley de los grandes números, es la parte importante de la probabilidad que debe entender el apostador. 

La desviación estándar binomial.

Podemos usar la desviación estándar para medir el rango o dispersión que muestra una distribución. Para una distribución binomial, la desviación estándar, σ, se calcula mediante la siguiente ecuación simple.

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Donde n es el número de repeticiones binarias (por ej. lanzamientos de moneda), p es la probabilidad de éxito (águilas) y q es la probabilidad de fallar (soles). Como p + q = 1

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Y para un caso sencillo donde p = (por ej. 0.5)

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Para 20 lanzamientos de moneda, σ = 2.24, y para 100 lanzamientos, σ = 5.

La desviación estándar nos da el rango de la mayoría de los posibles resultados. Por ejemplo, para cada 100 veces que lanzamos la moneda, un poco más de los dos tercios de las muestras caerá entre ±1σ, o entre 45 y 55 águilas.

Hemos confirmado el primer hallazgo de Bernoulli: a mayor tamaño de la muestra, mayor la dispersión absoluta. Sin embargo, ¿qué sucede si usamos porcentajes de águilas en lugar de números absolutos? Para calcular el porcentaje de águilas, dividimos su número entre el número total de veces que se lanza la moneda, n. De manera similar, para calcular la desviación estándar en porcentajes, también debemos dividir entre n. 

Por consiguiente, para probabilidades simples de 50:50:

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Ahora, para 20 lanzamientos de moneda la desviación estándar en el porcentaje de águilas es 0.11 (u 11%), pero para 100 lanzamientos es solo de 0.05 (o 5%).

La ley de los grandes números

De acuerdo con la ley de los grandes números, el promedio de resultados obtenido de un número de intentos debe tender a estar más cerca del valor esperado a medida que se hacen más intentos. En el lanzamiento de monedas, mientras más veces se lance la moneda, más cerca estará el porcentaje de águilas del valor esperado de 50%.

Debido a que la desviación estándar en porcentajes es proporcional a la raíz cuadrada del número de veces que se lance la moneda, las dos variables forman lo que se conoce como una relación poder-ley, con la desviación estándar variando con el poder o el logaritmo del número de lanzamientos. En una gráfica registro-registro, la relación se muestra a sí misma como una línea recta; con cada cuadratura de n, reduciendo a la mitad la σ.

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La relación poder-ley significa que, proporcionalmente hablando, la mayoría de las veces que cae dentro de la desviación estándar ocurre en los primeros intentos. A partir de σ=0.5 después de lanzar la moneda 1 vez, ésta ha caído justo 0.1 después de solo 25 lanzamientos, cuatro quintos del camino hacia el valor límite de cero (después de una cantidad infinita de lanzamientos). De esta forma podemos apreciar qué tan rápidamente empieza realmente a funcionar la ley de los grandes números. Volver a dibujar el esquema anterior con escalas lineales ayudaría a visualizar esta velocidad. 

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Triunfos y derrotas en las apuestas

Los triunfos y las derrotas en las apuestas son muy parecidos a lanzar una moneda. Una apuesta es esencialmente una proposición binaria: se gana o no. Como tal, en las historias de apuestas más simples, donde la probabilidad esperada es que cada triunfo permanezca igual, los posibles resultados también se distribuirán de forma binomial.

Un ejemplo obvio de una propuesta binaria podría ser la distribución de punto de los mercados de apuestas deportivas en los Estados Unidos, o el hándicap asiático, donde la aplicación de un hándicap a un lado o al otro hace que la apuesta se convierta en una propuesta 50-50, con probabilidades equitativas de 2.00. 

Sin embargo, no necesariamente nos debemos restringir a solo propuestas de 50-50. Retomemos la ecuación anterior para la desviación estándar en porcentajes. La versión más genérica que le permite considerar otros posibles porcentajes esperados para ganar es la siguiente: 

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Incluso para apostadores experimentados capaces de generar valor esperado redituable a largo plazo, lo que sucede sobre todo será un sonido aleatorio alrededor de una señal relativamente débil, debido simplemente a la variabilidad aleatoria inherente de los sistemas complejos, como los eventos deportivos.

Desde luego, en el mundo real de las apuestas, los apostadores inexpertos no llegan al equilibrio cumpliendo con las expectativas. Una vez que hace un estimado en el margen del corredor de apuestas, es esencialmente inevitable que usted perderá dinero después de 1,000 apuestas.

Imagine a un apostador haciendo apuestas con probabilidades de 50-50 y ganando el 55% de ellas a largo plazo. Con sus habilidades de predicción, cambió su porcentaje de triunfos esperado de 50% a 55%, pero siguen aplicando las mismas reglas binomiales de varianza.

Con la ecuación anterior, podríamos mostrar que su desviación estándar de un porcentaje de triunfos en las apuestas sería 3% después de 275 apuestas, lo que implica aproximadamente una probabilidad de dos tercios de que su tasa de triunfos esté entre el 52% y el 58% para ese tamaño de historial de apuestas. 

Suponiendo que nuestras apuestas siguen siendo simples con las mismas probabilidades para cada apuesta, podemos usar la distribución binomial para determinar bastante bien la probabilidad de que algo suceda (en Excel esto se puede realizar usando la función BINOMDIST).

A continuación, se presenta una ilustración de lo anterior para una serie de historias de apuestas: La primera historia es de solo 20 apostadores. Los valores numéricos en la gráfica muestran la probabilidad acumulativa de que el porcentaje de triunfos real sea superior a un valor particular. Por ejemplo, usted tiene aproximadamente un 9% de probabilidades de ganar más de seis apuestas (30%) si su expectativa a largo plazo es 20%. Tiene una probabilidad aproximada de 1% de ganar 20 de 20 si en general sus expectativas han sido ganar 16. 

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En términos generales, la zona roja y la zona verde marcan respectivamente las zonas de pérdida y de ganancia, cuando las probabilidades son equitativas. Como es de esperar, si pierde más apuestas de las esperadas, tendrá una pérdida financiera, pero se da cuenta de que no es común que haya un bajo desempeño significativo.

Incluso después de solo 20 apuestas con iguales probabilidades, tres cuartos de las veces usted puede esperar ganar nueve o más. La ley de los grandes números está de su parte: lo protege contra la probabilidad de un porcentaje significativo de derrotas.

Sin embargo, el corolario es también cierto. Si gana más apuestas de las esperadas, usted obtendrá una ganancia, pero no es muy probable que obtenga grandes ganancias. Incluso si usted es un hábil apostador capaz de ganar a largo plazo 55% de apuestas con probabilidades iguales, usted solo tiene el 13% de probabilidades de ganar 14 o más de 20. Ahora la ley de los grandes números está en su contra, ya que evita que obtenga porcentajes significativos de ganancias. 

La región amarilla es aproximadamente la región donde los apostadores estarán en equilibrio. Lo que es impresionante es lo delgada que es la zona entre la buena suerte excesiva y la mala suerte, y es el área donde se encuentran la mayoría de las apuestas.

Mire lo que sucede en la zona amarilla después de 100 apuestas.

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Las probabilidades de encontrarse muy lejos de la expectativa a largo plazo se redujeron considerablemente. ¿Y después de 1,000 apuestas?

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Desde luego, en el mundo real de las apuestas, los apostadores inexpertos no llegan al equilibrio cumpliendo con las expectativas. Una vez que hace un estimado en el margen del corredor de apuestas, es esencialmente inevitable que usted perderá dinero después de 1,000 apuestas. La ley de los grandes números lo ha destruido. Para apostadores expertos, sin embargo, la imagen es muy diferente.

Si espera ganar 55% de 1,000 propuestas con probabilidades iguales, casi siempre ganará por lo menos el 50%. Siempre y cuando el margen del corredor de apuestas sea menor que la diferencia entre lo que espera que sea su porcentaje de ganancias, y lo que el corredor de apuestas considera que ese porcentaje podría ser, usted tiene una buena probabilidad de obtener ganancias a largo plazo. El respetado sitio web ProfessionalGambler.com hace referencia a este punto:

“la diferencia entre el porcentaje de apuestas ganadas por apostadores deportivos exitosos y el porcentaje de apuestas ganadas por perdedores crónicos es relativamente muy pequeño”.

Ahora puede ver lo pequeño que es. Verdaderamente, la ley de los grandes números tiene la capacidad de ser tanto una bendición como una maldición para el apostador. 

Obviamente, la forma de apostar de las personas no es tan simple como se menciona en este artículo; los apostadores eligen una variedad de probabilidades y montos de apuesta. Para analizar esto, necesitamos hacer uso de matemáticas más sofisticadas o pedir ayuda a nuestro amigo, el Simulador de Monte Carlo cuando se vuelva muy complejo. 

Además, no he considerado las varianzas en las ganancias y pérdidas reales, que es otro tema de interés que hemos tocado en artículos anteriores (cuanto más grandes sean las probabilidades, mayor será la varianza en ganancias y pérdidas).

Sin embargo, el propósito de este artículo era ilustrar la velocidad y el poder de la ley de los grandes números y de demostrar lo delgada que es la línea entre el resultado real y el esperado, y el ámbito de la buena y mala suerte.

Probar la credibilidad de historias de apuestas

Antes de terminar, quisiera mostrarles cómo pueden usar la información sobre la desviación estándar en los porcentajes reales de ganancias para probar la credibilidad de las historias de apuestas que narran los servicios de asesoría con la esperanza de venderles sus pronósticos. 

Podemos usar un ejemplo de una firma de pronósticos que proporciona un “enfoque honesto y abierto” a sus “principios”. La compañía evidentemente sabe que las apuestas deportivas son aleatorias, explican a sus clientes que no existe tal cosa como ganador garantizado y que “siempre hay un elemento de suerte en cada concurso.” Sin embargo, con una tasa de ganancias publicada de 76% sobre 11,000 pronósticos, evidentemente se las han arreglado para dominar esa volubilidad.

De acuerdo con la ley de los grandes números, el promedio de resultados obtenido de un número de intentos debe tender a estar más cerca del valor esperado a medida que se hacen más intentos.

Al examinar más detenidamente los resultados que han publicado a la fecha, en efecto muestran una tasa de ganancia de 75% de 10,312 pronósticos (evidentemente faltan algunas). Aunque hay algunas propuestas con poca y mucha apuesta, las probabilidades del 94% de ellas son entre 1.67 y 2.50 (o 60% y 40% de probabilidades de ganar implícitas). El promedio de la ganancia implícita para toda la muestra es 52.2%, la que, después de quitar el margen del corredor de apuestas, es cercana a una propuesta de 50-50, lo que no constituye una diferencia.

Si dividimos los resultados en 56 muestras mensuales (de marzo de 2014 a octubre de 2018), tenemos un pronóstico mensual promedio de 184, donde más de la mitad se sitúa entre 140 y 224 pronósticos. Si suponemos que la tasa de ganancia esperada a largo plazo es 75%, ¿en cuánto varían sus porcentajes de ganancias mensuales? Usando nuestra ecuación para calcular la desviación estándar esperada en porcentajes de ganancias para una muestra de 184 pronósticos, encontramos que la respuesta es un poco más de 3%. Solo un poco más de dos tercios de las muestras debe estar entre 72% y 78%, mientras que el 95% debería estar en alrededor del 69% y el 81%.

De hecho, la desviación estándar en porcentajes de ganancias mensuales es 8.6%, mucho más alto de lo que debería ser. Menos del 40% de los valores caen dentro de ±1σ de 75% y solo un poco más de la mitad dentro de ±2σ. Simplemente hay mucha variación. Incluso si suponemos que cada mes hacen 32 pronósticos solamente, en el mes con la menor cantidad de pronósticos, la desviación estándar esperada debería seguir siendo solo 7.7%. 

En general, una desviación estándar en porcentajes de ganancia mensuales de 8.6% se esperaría en muestras de pronósticos de alrededor de 25, no 184. En diciembre de 2014 se hicieron 151 pronósticos a una tasa esperada de ganancia promedio implícita de 51.4%. El porcentaje de ganancia de 46.4% solo se podría esperar una vez en un millón de billones de años. En octubre de 2015, con 168 pronósticos (la expectativa de ganancia promedio implícita fue 48.5%); ganaron 154 o 91.7%. Semejante desempeño de tan experto consejero normalmente ocurriría más o menos cada millón de años.

Dejo a su imaginación determinar lo que estos hallazgos podrían sugerir. Tal vez un argumento sea que los niveles de habilidad pueden fluctuar de forma dramática en periodos cortos. Tal vez esto sea un argumento para algo más. Dado, sin embargo, que anteriormente había hablado sobre los límites de la expectativa de obtener ganancias, estoy seguro de que ya sabían que una tasa de ganancia con ventaja de 76% es algo de lo que hay que reírse y pasar de largo.

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