Los apostadores suelen dedicar mucho tiempo a tratar de hallar una ventaja sobre el mercado. Algunos la encuentran, pero son muchos más quienes fracasan. Hallar una ventaja es importante, pero la elección de la cantidad que se va a apostar también tiene una importancia enorme. ¿Qué cantidad debería apostar si no conoce su ventaja? Continúe leyendo para averiguarlo.
En mayo de 2020, dos accionistas (Andrés Barge-Gil y Alfredo García-Hiernaux) de la plataforma de pronósticos Pyckio publicaron en Journal of Sports Economics un estudio sobre qué cantidad debería jugar un apostador para lograr rentabilidad en situaciones donde no hay disponibles estimaciones de las probabilidades verdaderas de ganar.
Es debatible si un apostador que busque rentabilidad sostenida en el largo plazo siquiera debería jugar en dichas situaciones, pero Barge-Gil y García-Hiernaux sugieren que muchos apostadores deportivos reconocen que no pueden estimar correctamente estas probabilidades.
De todas formas, el estudio es interesante porque busca dejar en evidencia que los diferentes planes para definir la cantidad apostada se pueden analizar como variantes del criterio de Kelly. En este artículo, quiero resumir dicho estudio y analizar si lo que descubrieron se puede optimizar.
Análisis de varios planes tomando Kelly como referencia
Quizás no exista un tema más popular en el mundo de la gestión del dinero para apuestas deportivas que el uso del criterio de Kelly para determinar qué cantidad apostar. De hecho, en los Recursos para apostadores de Pinnacle hay muchos artículos sobre el tema. Yo mismo he escrito un par. En particular, demostré que el método Kelly simple, mediante el cual se hace solo una apuesta por vez antes de conocerse el resultado, es una estrategia capaz de aceptar los riesgos de no conocer con precisión la ventaja que se tiene en cada apuesta, siempre y cuando la conozcamos a nivel promedio.
En su estudio, Barge-Gil y García-Hiernaux sugieren que, cuando no existen estimaciones precisas de las verdaderas probabilidades, los apostadores abandonan el criterio de Kelly y recurren a diferentes planes de gestión del dinero.
Pérdida plana
El primero de estos planes es el de pérdida plana o cantidad uniforme, con el cual el apostador juega siempre la misma cantidad en todas las apuestas, más allá de las cuotas. Cuanto más elevadas sean las cuotas, mayor es el impacto si acertamos, pero menor es la probabilidad de que acertemos.
Podríamos decir que se trata de un plan Kelly en el cual la rentabilidad, o el valor esperado, es directamente proporcional a la cuota. Dado que el tamaño de la apuesta de Kelly se determina mediante VE / cuota – 1 (donde VE es el valor esperado y todo lo que esté por encima de 0 se considera rentable), el plan de pérdida plana sugiere que esta relación se mantiene constante.
Por ejemplo, supongamos que el VE es del 10 % (0,1) y la cuota es de 2,00. La cantidad para apostar sería 0,1. Si la cuota sube a 4,00, el VE debe subir a 30 % (0,3) para garantizar que la cantidad apostada siga siendo 0,1. Con una cuota de 101,00 tendríamos un VE de 10 o 1000 %, lo cual suena poco realista. Eso sugeriría una cuota verdadera de apenas 9,18. Sin dudas, ninguna casa de apuestas cometería semejante error.
De hecho, en el límite en el que la cuota tiende a irse hacia el infinito, la cuota verdadera iría hacia un valor máximo de 1 / cantidad apostada: en este caso, 10. Una crítica importante para el método de pérdida plana es que toma muchos riesgos con opciones de baja probabilidad de acierto. Para los partidarios de Kelly, esto solo sería lógico si el VE de verdad creciera de modo directamente proporcional a la cuota, y como se puede apreciar eso no resulta creíble.
Ganancia plana
El segundo plan de gestión del dinero que suelen usar los apostadores es el de ganancia plana. En este caso, la cantidad apostada se determina pensando en obtener siempre la misma ganancia, más allá de la cuota. Si queremos ganar 100 €, con una cuota de 2,00 apostamos 100 €, mientras que con una cuota de 5,00 apostamos 25 €. La cantidad apostada es directamente proporcional al número recíproco de la cuota – 1. Tomando como referencia Kelly, la estrategia de ganancia plana sugiere que el VE no tiene ninguna relación con el criterio de Kelly, ya que todos los VE son iguales más allá de la cuota.
En cuanto al plan de ganancia plana, hay algo que no convence. ¿Puede ser real que la ventaja del apostador sea la misma con una cuota de 1,11 o de 111,00? Las lecciones de la varianza parecen sugerir que esto no es tan así. De hecho, si el VE con una cuota de 111,00 fuera del 20 % (0,2), el mismo VE con una cuota de 1,11 sugeriría una cuota verdadera de menos de 1, lo cual es totalmente ridículo. Nada puede tener una probabilidad superior al 100 %.
Impacto plano
Barge-Gil y García-Hiernaux proponen un plan alternativo: el de impacto plano, basado en la hipótesis de que se ajusta mejor al método de Kelly. El método de impacto plano mantiene constante la diferencia entre ganar y perder, y no cambia en función de la cuota.
La cantidad apostada es directamente proporcional al número recíproco de la cuota, a diferencia de lo que sucede en el plan de ganancia plana, donde se trata del número recíproco de la cuota – 1. Por ende, si apostamos 100 € con una cuota de 2,00, siguiendo el plan de impacto plano, con una cuota de 5,00 apostaríamos 40 €. En ambos casos, la diferencia entre ganar y perder es de 200 € (+100 € / -100 € en el primer caso y +160 € / -40 € en el segundo).
Con el plan de impacto plano, el VE es directamente proporcional a la cuota – 1 / cuota. Esto significa que el VE aumenta junto con la cuota, pero a un ritmo que se desacelera al acercarse a un límite, ya que esta relación enseguida tiende a ir hacia 1. Por ejemplo, si VE = 0,1 con una cuota de 2,00, el límite de VE será 0,2. Este escenario no es tan extremo como el del plan de ganancia plana, donde el VE permanece inalterable, pero parece subestimar la posibilidad de que el VE sea mayor con cuotas superiores.
Los pronosticadores exitosos de carreras suelen tener rentabilidades que como mínimo duplican las de los que se concentran en el mercado de hándicap asiático o margen de puntos, pero esto no implica necesariamente que sean más talentosos (o afortunados), sino solo que se aprovechan de una mayor varianza.
Siguiendo a Barge-Gil y García-Hiernaux, en el siguiente gráfico se ilustra cómo el VE varía con las cuotas en los tres planes, suponiendo que VE = 3 % con cuota = 2,00 en cada caso.
Como ya se mencionó, los planes de pérdida plana y ganancia plana parecen sugerir relaciones poco realistas entre la cuota y el VE.
Barge-Gil y García-Hiernaux analizaron la base de datos de pronósticos de Pyckio y creen haber confirmado que la relación VE-cuota que sugiere el plan de impacto plano refleja mejor la rentabilidad observada y la esperada de los pronosticadores (la última basada en los precios de cierre). A mí todavía no me convence. Insisto: el método de impacto plano solo es capaz de producir un VE que como máximo duplica el VE de cuota = 2,00. ¿No hay una alternativa mejor?
Repasemos la distribución t
Hace tres años, presenté en los Recursos para apostadores de Pinnacle el uso de la distribución t al evaluar a los pronosticadores y separar la suerte del talento. Al igual que la distribución normal (y en lugar de ella cuando solo se conoce la desviación estándar de la muestra en lugar de la de la población), ayuda a determinar lo poco probable que es una muestra dada, suponiendo que se conozca la media de la población.
He utilizado mucho la distribución t en mi trabajo para mostrarles a los apostadores la probabilidad de que sus resultados se hayan debido a la suerte, suponiendo que no tuvieran ningún talento. Cuanto menor es la probabilidad, más confianza subjetiva puede tener usted de que no salió ganando solo por suerte.
Esta prueba se basa en la estadística o puntuación t, de la cual puede derivarse la probabilidad. He demostrado que, con el plan de pérdida plana y cuando las cuotas con que se apostó no varían demasiado, nos podemos aproximar a esta estadística mediante la siguiente fórmula.
Allí n es la cantidad de apuestas, o es la cuota promedio y r es el retorno de la inversión o la rentabilidad + 1.
Al igual que la puntuación z, con la cual quizás los apostadores de hándicap asiático estén más familiarizados, es en esencia una medida de la cantidad de desviaciones estándar que la rentabilidad se aleja de la media esperada de cero, si el apostador no tiene talento y las cuotas son justas. Por ejemplo, una puntuación t de 2 sugiere que una rentabilidad superior a la obtenida solo debería esperarse alrededor del 2,5 % de las veces, suponiendo que no se tiene talento. Por ende, la puntuación t es un tipo de medida de probabilidad. Cuanto mayor es la puntuación t, menos probable es lo observado. Ahora usemos esto para ver la probabilidad de diferentes VE (suponiendo que no hay talento) según las cuotas con que se apuesta.
La asimetría de los retornos
Supongamos que apostamos a un equipo con 80 % de probabilidades de ganar, con una cuota justa de 1,25. Supongamos ahora que la casa de apuestas considera erróneamente que la probabilidad de que el equipo gane es del 75 %. Están ofreciendo una promoción, por lo cual no existe margen. La cuota es de 1,333. Por ende, el VE es del 6,667 % (1,333/1,25 – 1 o 0,80/0,75 – 1).
Ahora consideremos un segundo escenario: las chances verdaderas son del 20 % (cuota justa de 5,00) pero para la casa de apuestas son del 15 % (cuota publicada de 6,667). Esta vez, el VE es del 33,33 % (6,667/5,00 – 1 o 0,20/0,15 – 1). La diferencia en el porcentaje de ganancia esperado entre nuestro pronóstico y el de la casa de apuestas es la misma, pero el VE es 5 veces superior. Parece que, al hablar de VE, errores similares se castigan más cuanto mayor es la cuota. ¿Pero qué probabilidad hay de que se den esos errores?
La simetría de las probabilidades
Modifiquemos la fórmula de la puntuación t anterior (suponiendo que todas nuestras apuestas tienen la misma cuota, o). Como sabemos que r = q / p, donde p es la probabilidad implícita de la cuota de la casa de apuestas (es decir, 1/o) y q es nuestra probabilidad estimada (la cual es "verdadera" si nuestro modelo de pronóstico es correcto), se puede apreciar que:
Supongamos que n, la cantidad de apuestas, es 100. Con q = 0,8 y p = 0,75, t = 1,25. Pero con q = 0,2 y p = 0,15 también tenemos t = 1,25. Suponiendo que el modelo de la casa de apuestas, y no el nuestro, era el correcto, esa puntuación t indicaría un resultado con una probabilidad del 10,7 % (empleando la función de Excel =TDIST).
En 100 apuestas, esperaríamos una rentabilidad superior al 6,667 % con cuotas de 1,333 o superior al 33,33 % con cuotas de 6,667 el 10,7 % de las veces. Una mayor rentabilidad con cuotas más elevadas es exactamente tan probable como una rentabilidad menor con cuotas más bajas; por eso los pronosticadores de carreras tienen la sensación de que son mejores que los apostadores de hándicap asiático, o mucho peores si les va mal.
Traté de presentar esta simetría de las probabilidades mediante las siguientes tablas. Los valores son exagerados simplemente para ilustrar la idea; desde luego, a ningún apostador le irá tan bien o tan mal como en la mayoría de estos escenarios.
En la primera tabla, tenemos la asimetría de los VE con diferentes pares de p y q. En la segunda, tenemos la simetría de las puntuaciones t. Presenté las puntuaciones t absolutas (sin el signo negativo para los VE negativos cuando q < p) para que quede más claro. Un par p y q de 0,3/0,7 es tan probable como un par de 0,7/0,3, pero lo mismo sucede con pares como 0,7/0,5 y 0,3/0,1, 0,8/0,7 y 0,2/0,1 por los motivos ya mencionados.
Una nueva función VE-cuota
Con cualquier cuota y VE existe una t de probabilidad (que se duplica cuando se cuadruplica la cantidad de apuestas). Podemos modificar la fórmula de la puntuación t para expresarla en r. Esto genera una cuadrática bastante horrible con una solución aún más horrible.
Esto es mucho más difícil que cuota – 1 / cuota, pero usémoslo de todos modos con el escenario de VE = 0,03 y cuota = 2,00. Lo vemos a continuación, junto con las funciones anteriores VE-cuota de los planes de pérdida plana, ganancia plana e impacto plano.
La función es difícil de escribir pero resulta más natural, ya que interpreta la rentabilidad esperada en cuanto a la probabilidad estadística. Con el plan de impacto plano, el VE nunca puede superar el 6 % cuando es del 3 % para una cuota de 2,00. En cambio, con mi función puede crecer indefinidamente, pero no con la ridícula rapidez del plan de pérdida plana, sino al ritmo de lo que prevé la varianza estadística. Con una cuota de 10 es del 9,4 %, con cuota de 50 es del 23,3 % y con una cuota de 1000 es del 150 %.
Una crítica lógica es que esta función, al basarse en la puntuación t, supone que el apostador no tiene talento. Simplemente expresa la probabilidad de un resultado si no hay talento. Pero esa es una interpretación errónea: aunque haya talento, se aplican las mismas leyes estadísticas asociadas con la varianza.
Cambiaría la posición de la curva naranja, pero la forma seguiría siendo la misma. A continuación presento algunas trayectorias posibles para apostadores con diferentes niveles de suerte o talento, como quieran llamarlo. La curva original del apostador con VE del 3 % con cuota de 2,00 sigue siendo la naranja.
Otra crítica puede ser que suponemos que el talento sería independiente de la cuota; es decir, que no cambiaría más allá de la cuota. Esa suposición quizás no sea la correcta dadas las ineficiencias del mercado, como el sesgo improbable-favorito.
La función puesta a prueba
¿Podemos poner a prueba la validez de esta nueva función VE-cuota? Mi sistema de apuestas "La sabiduría de la multitud", el cual deben conocer bien quienes me siguen en Twitter y Football-Data, emplea las eficaces cuotas de Pinnacle para calcular el VE disponible en las cuotas de otras casas de apuestas.
Con las cuotas de una muestra de partidos de ligas de fútbol europeas que se remontaba hasta la temporada 2012/13, detecté 55 237 ocasiones en las que había disponible un VE rentable (>0). El promedio fue 2,20 % (cabe señalar que el rendimiento real del plan de pérdida plana fue de 1,77 %, cómodamente dentro de los márgenes estadísticos de error del modelo), con una cuota promedio de 3,30. Con estas cifras, podemos usar la fórmula de mi solución cuadrática para crear una curva de función VE-cuota como las anteriores. Se trata de la naranja que viene a continuación.
Comparemos esto primero con los VE del modelo real promediados con expectativas de ganancia del 1 % (presentados como cuotas en el gráfico), y luego con la curva de la función VE-cuota que pronostica el plan de impacto plano. Si bien no hay una coincidencia absoluta, se puede afirmar que la función de puntuación t VE-cuota pronostica mucho mejor los VE a partir de las cuotas.
Conclusión final
Los lectores observadores podrán decir "¿por qué querríamos usar una función VE-cuota para pronosticar el VE de diferentes cuotas si el modelo "La sabiduría de la multitud" hace eso específicamente para cada apuesta?". Es una pregunta muy válida y por eso se podría decir que gran parte de este artículo es un ejercicio teórico.
Sin embargo, hasta los modelos precisos (en promedio) presentan incertidumbre epistémica en cada apuesta. Además, la incertidumbre aleatoria (o inherente) hace prácticamente imposible evaluar las verdaderas probabilidades de ganar.
La finalidad de este ejercicio, al igual que la del trabajo de Barge-Gil y García-Hiernaux, era ilustrar cómo podemos intentar calcular aproximadamente el VE cuando reconocemos esas incertidumbres cuantitativas, cuando nuestro modelo predictivo no calcula explícitamente las probabilidades de ganar, o cuando nuestro método de pronóstico es más cualitativo y se basa más en corazonadas que en datos. Al conocer la cuota, con este método podemos calcular el VE; al conocer el VE, podemos luego determinar que apuesta de Kelly emplear.
Este método de puntuación t puede ser complicado, pero sus resultados surgen de una evaluación más razonable de la relación entre la probabilidad de ganar, el valor esperado y la probabilidad del resultado, y por ende una evaluación más razonable de cómo varía la rentabilidad real según las cuotas. Para los partidarios de Kelly, creo que funciona mejor que el plan de impacto plano y sin duda funciona mejor que los planes de pérdida plana y ganancia plana.