¿Cuánto puede durarle una mala racha a un apostador?

La sensación de acertar una apuesta es muy linda. Pero, psicológicamente, se cree que el dolor de perder tiene el doble de intensidad que la alegría de ganar. Con frecuencia, los apostadores que pierden, sobre todo si se trata de una mala racha, comienzan a actuar de modo imprudente, ya sea haciendo más apuestas o apostando más dinero en busca de recuperar lo perdido.

Ante las malas rachas, incluso los apostadores expertos que tienen las probabilidades a su favor pueden dudar de modo irracional de la eficacia de su sistema. Es mucho más fácil dudar tras no acertar con 10 apuestas que tras acertar con las 10, aunque estadísticamente sean resultados con probabilidades muy similares. Casi nadie se pone a dudar de un sistema que da mejores frutos de lo esperado.

Ya he escrito previamente sobre las pérdidas de capital y cómo afrontarlas. En este artículo, quiero complementar aquello con un modelo simple de rachas perdedoras y, más específicamente, cuánto deberían durar.

En este caso opté por usar un ejemplo sencillo, para no complicar las cosas. Pensemos en una racha de k apuestas perdedoras en una muestra de n apuestas con una misma cuota, aunque tranquilamente podríamos analizar períodos más complejos y apuestas más complejas con diferentes cuotas mediante una simulación de Montecarlo. Pero utilizando la racha perdedora más simple podremos ver unas fórmulas matemáticas básicas, lo cual sería difícil con escenarios más complejos.

Las probabilidades de perder

Pensemos en un apostador con suficientes conocimientos como para no ganar ni perder en el largo plazo. En otras palabras, alguien que está al nivel de la cuota. En ese caso, la cuota refleja las "verdaderas" probabilidades del resultado. De hecho, lo que sigue no varía mucho para un apostador sin talento ni para un apostador con talento que halla una expectativa de rentabilidad marginal, ya que la gran mayoría de lo que sucede en las apuestas es consecuencia del azar. Una cuota de 2,0 implica un 50 % de probabilidades, una cuota de 4,0 implica un 25 % y así sucesivamente. Las probabilidades de ganar k apuestas consecutivas con la cuota o se determinan así:

Por ejemplo, las probabilidades de acertar cinco apuestas consecutivas con una cuota de 2,0 son de 1 en 32.

Pero a nosotros nos importan las apuestas perdedoras. Con una cuota de 2,0, las probabilidades de perder las cinco serían también de 2,0, ya que las probabilidades de ganar y de perder son del 50 %. En general, las probabilidades de ganar y perder no son las mismas. Dado que las probabilidades de perder son de 1 menos las probabilidades de ganar, las chances de perder se obtienen de esta manera:

Por ende, las probabilidades de no acertar k apuestas consecutivas de cuota o se obtienen así:

La expectativa de secuencias de derrotas

¿Cuáles son las probabilidades de no acertar con k (o más) apuestas consecutivas en una muestra de n apuestas con cuota de o? Resulta que el nivel de matemática necesario para calcular esto es demasiado para mí. Pero podemos preguntarnos algo levemente distinto, sin necesidad de ser genios matemáticos. Veamos cuántas veces podemos esperar perder con k apuestas consecutivas en una muestra de n apuestas con cuota de o.

Usemos un ejemplo simple. ¿Cuántas veces podemos esperar perder con tres apuestas seguidas de cuota de 2,0 en una serie de 10 apuestas? Ya sabemos que las chances de perder con tres apuestas seguidas son de 1 en 8. Sin embargo, en una serie de 10 apuestas hay varias oportunidades de tener una secuencia de tres apuestas perdedoras. Podría darse en las apuestas uno, dos y tres, o en las dos, tres y cuatro, y así sucesivamente hasta llegar a las apuestas ocho, nueve y diez.

En este ejemplo, habría un total de ocho secuencias posibles, por lo cual en diez apuestas la secuencia debería darse 8/8 veces, es decir, una vez. En otras palabras, en promedio, deberíamos tener una secuencia de tres derrotas cada 10 apuestas. A veces habrá más secuencias así y otras veces no habrá ninguna, pero el promedio es una vez.

Más en general, la cantidad de posibles posiciones de secuencias en una serie de n apuestas es igual a n – (k – 1) o n – k + 1.

Por ende, en una muestra de n apuestas, las veces que deberíamos esperar perder k apuestas consecutivas, a lo que llamaremos e_k, se determinan así:

Al aumentar la cantidad de apuestas, n, con valores inferiores para k (y k siempre será mucho menor que n en las secuencias perdedoras realistas posibles, que son las que nos interesan), e_k tiende a ir hacia:

En una muestra de 1000 apuestas con cuota de 2,0, por ejemplo, la cantidad esperada de secuencias de cinco apuestas perdedoras será 31,25 (31,125 con la fórmula más precisa), lo cual redondeamos en 31 por ser el número entero más cercano.

Dado que la cantidad de apuestas, n, es aproximadamente proporcional a la cantidad esperada de secuencias de k apuestas perdedoras, esperamos alrededor de 62 rachas de cinco apuestas perdedoras en 2000 apuestas, y alrededor de 93 en 3000 apuestas.

Cuando e_k = 1, podemos decir que k es la duración de la secuencia perdedora más larga que se vería normalmente en una muestra de n apuestas. ¿Por qué? Si fuera menos de 1, no veríamos la secuencia, y si fuera más de 1 podría haber una secuencia más larga que surja menos veces.

Por ende, cuando n >> k y e_k = 1: 

Y al reescribirla:

donde representa la base del logaritmo.

En 1000 apuestas con cuota de 2,0, la secuencia perdedora esperada más larga será log₂1000 = 9,97 o 10 si redondeamos. En otras palabras, en una muestra de 1000 apuestas, deberíamos esperar que la secuencia perdedora más larga sea de 10 apuestas.

Con cuota de 3,0, la secuencia sería de 17, y con cuota de 5,0, sería de 31. Una cuota de 5,0 es bastante común para los apostadores de carreras. ¿Quién podría soportar una secuencia de 31 derrotas consecutivas sin dudar de su sistema?

Efectué una simulación de Montecarlo de 10 000 repeticiones para probar la matemática de e_k. En la siguiente tabla se comparan los resultados con diferentes valores para k. Hay una coincidencia casi exacta entre las secuencias perdedoras que se predicen con la fórmula matemática anterior y con la simulación de Montecarlo.

En el siguiente gráfico, presento la relación entre y e_k con diferentes cuotas. El eje y, e_k, es logarítmico. La línea recta confirma que k es inversamente proporcional al logaritmo de e_k, lo cual es exactamente lo esperable según la matemática. El punto en que cada línea cruza el eje x (en e_k = 1) es la secuencia perdedora esperada más larga.

Dada la aproximación de k aquí arriba, la secuencia perdedora esperada más larga en una muestra de n apuestas es, por ende, también proporcional al logaritmo de n, como se puede apreciar en el próximo gráfico. Entonces, k se duplica ante cada cuadrado de n.

Las probabilidades de una secuencia perdedora

Conocer la cantidad esperada de secuencias perdedoras es una cosa, pero aún no conocemos las probabilidades de que se dé dicha cantidad de secuencias. Como ya mencionamos, la matemática necesaria no es sencilla, ya que la distribución de la frecuencia (las probabilidades) de la cantidad de secuencias perdedoras de duración k en n apuestas no es para nada obvia y será diferente para cada valor de k.

Para tener éxito, además de hallar el valor esperado, todo apostador debe manejar con sensatez sus expectativas y aprender a sobrellevar las malas rachas, que son inevitables.

Por ejemplo, quizás sepamos que, en promedio, tendremos una secuencia de 10 apuestas perdedoras en una muestra de 1000 apuestas de cuota de 2,0, pero eso es solo el promedio. Muchas veces no sufriremos ninguna de estas secuencias, otras veces sufriremos dos, y ocasionalmente cinco o más. Mejor recurramos a nuestra confiable simulación de Montecarlo.>

En una simulación de Montecarlo de 10 000 repeticiones, conté las veces que no se dio ninguna racha perdedora cuya duración fuera k. Por ejemplo, con k = 10 en una muestra de 1000 apuestas con cuota de 2,0, la secuencia perdedora más larga fue más breve en 6086 ocasiones y fue de 10 o más apuestas en el resto de las repeticiones del modelo.

Siguiendo la ley de las grandes cifras, esto implica que hay alrededor de un 39 % de probabilidades de sufrir una secuencia perdedora de 10 o más apuestas. Esto suena correcto al recordar que la expectativa es que haya alrededor de una racha perdedora de 10 apuestas en dicha muestra. En el siguiente gráfico se ve cómo las probabilidades de que haya una racha perdedora de k o más apuestas varía junto con k.

Evidentemente, cuanto mayor sea la muestra de apuestas, más probabilidades hay de que algo salga mal en algún momento. Sabemos que las probabilidades de sufrir 10 derrotas consecutivas en 1000 apuestas con cuota de 2,0 son del 39 %. ¿Qué sucedería con muestras más pequeñas o más grandes? Lo averigüé con otra simulación de Montecarlo. El siguiente gráfico corresponde a k = 10.

Podemos volver a usar nuestro modelo con cualquier valor de k o cualquier cuota. A continuación vemos otros resultados para una cuota de 3,0 y una racha de 17 o más derrotas.

Análisis de rachas perdedoras con historiales reales

Hasta aquí, nuestro análisis ha sido más bien teórico, ya que consideramos solo muestras de apuestas donde la cuota es siempre la misma. Quizás eso sea lógico para apostadores de márgenes o hándicap asiático, pero no tanto para apostadores de línea de dinero o cuota fija, quienes quizás apuestan con mucha más variación de cuotas. Por ejemplo, mi sistema de apuestas "La sabiduría de las multitudes" propone cuotas de apenas 1,11 y hasta 67,0, con un promedio de 3,9 y una desviación estándar por encima de 4.

Sin dudas, podemos usar una simulación de Montecarlo para determinar las secuencias de derrotas esperadas, pero ¿hay alguna manera de usar la matemática? Sí, solo debemos tener cuidado de usar el valor adecuado para o, es decir, para la cuota. No podemos usar la cuota promedio en nuestra muestra, ya que nos inclinaríamos de forma desproporcionada hacia las cuotas más elevadas.

Lo que debemos hacer es utilizar el inverso del promedio de las probabilidades implícitas de todas las cuotas. Por ejemplo, si nuestra muestra consta de cinco apuestas con las cuotas 2, 3, 5, 10 y 20, calculamos las probabilidades implícitas (0,5; 0,333; 0,2; 0,1 y 0,05), tomamos el promedio (0,237) y lo invertimos (o = 4,23).

Ya lo hice con la muestra de mi sistema "La sabiduría de las multitudes", que constaba de 9436 apuestas. Al calcular un valor de o = 2,66 con el método mencionado, hay una gran coincidencia entre los valores esperados de k y las secuencias perdedoras reales.

La matemática predijo 898 secuencias perdedoras de al menos cinco apuestas, pero en realidad hubo 889. Para k = 10, la matemática predijo una cifra de 85, y hubo exactamente 85. Para k = 9, la predicción fue de 8, y hubo 9. La predicción de la secuencia perdedora esperada más larga (e_k = 1) fue de 19. Y de hecho la secuencia perdedora más larga fue de 19 y se produjo una sola vez.

¿Y las secuencias ganadoras?

Podemos usar la matemática para analizar la expectativa de secuencias ganadoras. De hecho, esto es aún más sencillo, ya que podemos usar las cuotas directamente en la fórmula, en lugar de tener que adaptarlas para reflejar las probabilidades de una derrota. Entonces:

Y para e_k = 1:

Sin embargo, con muestras de cuotas variables, no debemos olvidarnos de usar la cifra correspondiente para o, que no sería la cuota promedio, sino el inverso del promedio de las probabilidades implícitas.

¿Qué hemos aprendido sobre las malas rachas apostadoras?

A la larga, las malas rachas llegan. Ojalá este análisis más bien teórico de las secuencias de apuestas sirva para recordar que cuanto más larga sea la secuencia más probable es que se den rachas perdedoras más largas.

Para tener éxito, además de hallar el valor esperado, todo apostador debe manejar con sensatez sus expectativas y aprender a sobrellevar las malas rachas, que son inevitables y pueden tener un efecto psicológico significativo. Definir correctamente lo que deberíamos esperar nos permite prepararnos un poco para esto.