oct 18, 2017
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Evaluación de la habilidad al apostar: el método bayesiano y el frecuentista

¿Cómo pueden evaluar los apostantes su nivel de habilidad?

¿Cuál es la diferencia entre un enfoque bayesiano y uno frecuentista?

¿Qué son los grados de aleatoriedad y las probabilidades esperadas de habilidad?

Evaluación de la habilidad al apostar: el método bayesiano y el frecuentista

En el nivel más básico, ganar dinero apostando requiere dos cosas: habilidad y suerte. Muchos apostantes no reconocen la influencia de la última, aunque medir la primera también se suele pasar por alto. Este artículo muestra por qué es importante comprender los distintos métodos utilizados para evaluar la habilidad al apostar y cómo los resultados pueden variar dependiendo de tu enfoque.

Los apostantes deportivos pueden usar el teorema de Bayes para hacer mejores predicciones. También podemos usarlo para ayudarnos a determinar cuál es la probabilidad de que se nos dé bien realizar esas predicciones y de encontrar un valor esperado positivo. Con anterioridad he investigado cómo evaluar la calidad de un historial de apuestas usando un enfoque frecuentista (prueba t). Este artículo comparará y contrastará ambos métodos.

Grados de creencia

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Bayes describe las probabilidades de que se produzca un evento supeditada a que otro evento también se produzca. Por ejemplo, supongamos que creo que tengo un 50 % de probabilidades de ser un apostante hábil capaz de encontrar valor. Si gano mi siguiente apuesta, ¿cómo influirá esto en mi creencia en esta proposición? En otras palabras ¿cómo la evidencia de ganar una apuesta cambia la probabilidad de que sea un apostante hábil? 

El teorema de Bayes interpreta la probabilidad como un "grado de creencia" en una proposición o hipótesis, y formula matemáticamente la relación entre el anterior grado de creencia antes de conocer la evidencia (la probabilidad anterior) y el grado de creencia después de tener en cuenta la evidencia (la probabilidad posterior). Se formula de esta manera:

{ecuación} - P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

En nuestro ejemplo:

P(A) = la probabilidad anterior de que sea un apostante hábil

P(B) = la probabilidad anterior de que gane mi apuesta

P(B|A) = la probabilidad de que gane mi apuesta supeditada a que sea un apostante hábil.

P(A|B) = la probabilidad de que sea un apostante hábil supeditada a que gane mi apuesta.

Veamos un ejemplo. Supongamos que un apostante hábil se define como alguien que puede obtener constantemente un retorno de la inversión del 110 %. En el caso de las apuestas a doble o nada, esto implicaría ganar 55 veces de cada 100. Por tanto, P(B|A) = la probabilidad de que gane mi apuesta supeditada a que sea un apostante hábil, es del 55 %.

Para un apostante no hábil, la probabilidad de ganar una apuesta justa a doble o nada, P(B), sería del 50 %. No obstante, supongamos que tengo una creencia previa según la cual cuento con una posibilidad de 50-50 de ser hábil {P(A) = 50 %}, y P(B) para tal apostante será 52,5 % (a medio camino entre el 50 % y el 55 %).

Normalmente, los mejores handicappers del sector son capaces de conseguir tasas de ganancia del 57 %. Después de aplicar el margen de la casa de apuestas, eso se convierte en aproximadamente un 110 % de retorno de la inversión.

Si ganara mi apuesta, al introducir estos números en el teorema de Bayes se obtiene una probabilidad posterior, P(A|B), del 52,38 %. Ganar mi apuesta me hace creer que hay una mayor probabilidad que antes de que sea hábil.

El teorema de Bayes se puede aplicar reiteradamente. Al ganar mi primera apuesta y actualizar mi probabilidad de ser un apostante hábil, ahora realizo otra apuesta. La probabilidad posterior calculada en el primer paso se convierte en la nueva probabilidad anterior.

La nueva probabilidad posterior de que sea un apostante hábil estará supeditada ahora a que gane (o pierda) mi siguiente apuesta. Si gano, la probabilidad de que sea hábil volverá a aumentar; si pierdo, disminuirá. En este ejemplo, si gano mi segunda apuesta, la probabilidad de que sea un apostante hábil aumenta hasta el 54,75 %. 

Este proceso se puede repetir indefinidamente y cada probabilidad condicional actualizada tendrá un valor entre 0 % y 100 %. He realizado esta reiteración 1.000 veces, es decir, 1.000 apuestas, y el gráfico siguiente muestra el historial de apuestas conseguido (línea azul) junto con las probabilidades bayesianas de que sea un apostante hábil tras cada apuesta (línea roja).

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Un problema importante que presenta la interpretación bayesiana de la probabilidad es que requiere un gran conocimiento o creencia previos acerca de un evento o situación. Pero en mi caso, ¿lo tenemos realmente a la hora de evaluar la probabilidad de que pueda tener habilidad como apostante? Mi elección del 50 % en este ejemplo fue totalmente arbitraria y se basó únicamente en conjeturas. Veamos qué sucede si ahora cambio la probabilidad anterior inicial al 1 %. 

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Además, en este contexto el significado real de hábil es totalmente arbitrario. Se puede decir que un apostante capaz de obtener un retorno de la inversión del 105 % es muy hábil si puede conseguirlo al realizar 10.000 apuestas. Lee acerca de la Ley de los números pequeños para descubrir por qué el tamaño de la muestra importa. Tampoco está muy claro cómo definir P(B) para cada paso reiterado, dado un valor actualizado de P(A). 

En mi modelo Bayesiano, he asumido sencillamente una relación lineal, tal que si P(A) = 0 %/20 %/40 %/60 %/80 %/100 %, entonces P(B) = 50 %/51 %/52 %/53 %/54 %/55 %, pero su validez es ciertamente cuestionable. Y lo que quizás sea más importante, dado que un apostante con una probabilidad inicial de ganar una apuesta del 52,5 % es claramente un apostante hábil por derecho propio (aunque no tan hábil como uno con el 55 %), lo que en realidad medimos aquí es el grado de habilidad, más que su probabilidad. 

Sin embargo, esta representación gráfica de la evolución de la probabilidad bayesiana nos da cierta medida intuitiva de la probabilidad (o valor) de la habilidad de un apostante para obtener un beneficio constante, y de cómo esto puede variar con el tiempo.

Grados de aleatoriedad

Mientras que el enfoque bayesiano se centra en la probabilidad de una hipótesis (que soy un apostante hábil) dado un conjunto de datos fijo (los beneficios y las pérdidas), el enfoque frecuentista se centra en la probabilidad (o frecuencia) de los datos dada la hipótesis. Esta vez la hipótesis es fija, es cierto (probabilidad del 100 %) o falso (probabilidad del 0 %) que sea hábil, aunque se asume que los datos son aleatorios. 

Comenzando con una creencia anterior con un 1 % de probabilidad de que soy hábil, este porcentaje se habrá incrementado a un 20 % tras 1.000 apuestas.

Por lo general, el enfoque frecuentista comienza con la hipótesis nula, en este caso, que no soy hábil y que los resultados de mis apuestas son consecuencia de la suerte. A continuación, utiliza estadísticas para intentar calcular la probabilidad (llamada comúnmente valor-p) de que los datos que hemos observado, en este caso mi historial de beneficios y pérdidas, pudieran haber sucedido suponiendo que la hipótesis nula es cierta.

Finalmente, esa probabilidad se compara con un nivel de significación aceptable (a veces llamado valor-α), de manera que si p < α (por lo general 5 % o 1 %), la hipótesis nula se rechaza en favor de la válida.

En la sección Recursos para apostar de Pinnacle he revisado anteriormente el modelo estadístico de la puntuación-t, llamado así porque se deriva de la prueba-t de Student para la significancia estadística. Suponiendo que las cuotas de apuestas son justas, la puntuación-t puede calcularse aproximadamente así: 

siendo “n” el número de apuestas, “r” el retorno de la inversión (expresado como número decimal) y “o” la cuota media de apuestas expresada como número decimal. La puntuación-t se convierte en valor-p por medio de tablas estadísticas o mediante una calculadora en línea. En Excel se puede usar la función TDIST. Veamos cómo se manifiesta esto en el historial de apuestas que utilizamos como ejemplo.

El gráfico siguiente compara la serie temporal original de la evolución de la probabilidad bayesiana, que soy un apostante hábil con una creencia anterior original de un 50 % de probabilidad de que lo sea (línea roja), con la evolución del valor-p frecuentista, la probabilidad de que lo que he conseguido pueda haber sucedido por azar suponiendo que no tengo habilidad alguna (línea verde), usando una prueba-t de muestra única y dos colas.

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En una forma cualitativa general ambas líneas son opuestas, aunque es más probable que esto se deba a la buena suerte que a cualquier otra cosa. No obstante, no se debe ignorar la cuestión de que el valor-p mide la probabilidad de no tener habilidad, y que 1-p es por tanto igual a la probabilidad de tener habilidad.

En cualquier caso, tanto el análisis frecuentista como el bayesiano deben servir además para recordar al apostante que apostar con el fin de obtener ganancias constantes es una estrategia a largo plazo.

Una probabilidad del 5 % de que nuestro historial de beneficios y pérdidas sea consecuencia del azar no es lo mismo que una probabilidad del 95 % de que sea consecuencia de la habilidad. Simplemente significa que suponiendo que la hipótesis nula (que las pérdidas y ganancias en las apuestas son puramente aleatorias) es cierta, se puede esperar que lo que hemos observado suceda un 5 % de las veces.

La debilidad del enfoque frecuentista es que trata la verdad como categórica. En cambio, el enfoque bayesiano considera implícitamente que la verdad es probabilística, provisional y siempre refutable. A pesar de este defecto, la prueba de la hipótesis frecuentista nos ofrece una herramienta igualmente útil con la cual analizar un historial de apuestas, y con la que determinar si es posible haberlo conseguido con algo más que buena suerte.

¿Cómo se comparan los modelos frecuentista y bayesiano si este último tuviera una creencia anterior original de solo un 1 % de probabilidad (en vez del 50 %) de que sea hábil?

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Esta vez está claro que nuestra prueba-t nos incitará a creer en nuestra habilidad como tipster capacitado mucho más abiertamente que el enfoque bayesiano que, en cambio, es mucho más conservador.

Esto subraya aún más la sensibilidad de la probabilidad bayesiana ante una creencia anterior inicial. En este caso, tras casi 700 apuestas, aunque la prueba-t puede indicarnos que nuestro historial de apuestas tiene solo una probabilidad del 3 % de suceder debido al azar, el teorema de Bayes implicaría que, aun así, hay una probabilidad inferior al 10 % de que seamos suficientemente hábiles como para obtener un 110 % de retorno de la inversión a largo plazo.

Como soy un apostante averso al riesgo, preferiría la opción más conservadora respecto a la creencia anterior en la habilidad; a menos que tenga una buena razón para dudarlo, siempre comenzaré suponiendo que tengo poca habilidad o ninguna habilidad en absoluto.

Probabilidades de la habilidad esperada

El anterior análisis presenta solo un ejemplo aleatorio de una serie temporal de apuestas con un hipotético retorno de la inversión del 110 %. En aras de la claridad visual, he elegido deliberadamente un historial de apuestas que me permitió transmitir las ideas tratadas.

Sin embargo, para obtener una imagen más detallada de la expectativa, es decir, de lo que deberíamos esperar ver como promedio, hay que ejecutar el modelo varias veces. Quienes estén familiarizados con la sección Recursos para apostar de Pinnacle sabrán que podemos hacerlo por medio de una simulación Monte Carlo.

El primero de los siguientes gráficos muestra los resultados de una simulación Monte Carlo de 1000 secuencias de la evolución de la probabilidad bayesiana de que soy un apostante hábil para diez tasas de ganancia hipotetizadas: del 51 % al 60 % a intervalos del 1 % (equivalente a un valor esperado del 102 % al 120 % a intervalos del 2 % suponiendo que las cuotas sean justas).

Las curvas se han trazado calculando el valor medio de la probabilidad bayesiana después de cada apuesta secuencial para el historial de 1.000 apuestas, lo que para este fin ofrece una mejor representación que la media (en la que los valores bajos y altos pueden sesgar la interpretación). 

Suponemos que la creencia anterior inicial en mi habilidad {p(A)} es del 1 %. No es sorprendente que cuanto más alta sea mi tasa de ganancia hipotetizada (y valor esperado), más rápido se aproxime la creencia en mi habilidad a la probabilidad del 100 %. (Cuanto más oscura es la curva, más alta es la tasa de ganancia hipotetizada.) 

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Normalmente, los mejores handicappers del sector son capaces de conseguir tasas de ganancia del 57 %. Después de aplicar el margen de la casa de apuestas, eso se convierte en aproximadamente un 110 % de retorno de la inversión. Este gráfico muestra que, si aspiras a convertirte en uno de ellos, necesitarás la mayoría de las 1.000 apuestas para adquirir una creencia firme y significativa en tus habilidades, suponiendo desde luego que inicialmente creyeses que tenías poca habilidad. 

En cambio, si ganas un 54 % de tus apuestas, un porcentaje menor aunque todavía rentable, necesitarás mucho más que eso para tener fe de verdad en lo que haces. Comenzando con una creencia anterior con un 1 % de probabilidad de que soy hábil, este porcentaje se habrá incrementado a un 20 % tras 1.000 apuestas. 

El gráfico final muestra un conjunto similar de valores-p esperados e idealizados del mismo historial de 1.000 apuestas y las mismas diez tasas de ganancia hipotetizadas. Como tenemos una ecuación para calcular aproximadamente la puntuación-t para cualquier combinación de número de apuestas, retorno de la inversión y cuotas de apuestas, no hace falta la simulación Monte Carlo. De nuevo, cuanto más oscura sea la curva, mayor será la tasa de ganancia hipotetizada (del 51 % al 60 %).

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Con una tasa de ganancia del 57 %, la significancia estadística (valor-p < 5 %) se consigue tras solo 200 apuestas, con una mayor significancia estadística (valor-p < 1 %) tras aproximadamente 335 apuestas. Hay que reiterar, sin embargo, que esta información no nos dice nada sobre nuestros niveles de habilidad al apostar, sino que indica simplemente la probabilidad de que este historial se produzca debido al azar, suponiendo que no poseemos ninguna habilidad. 

Además, estos niveles de significancia estadística, como las probabilidades anteriores iniciales del modelo bayesiano, se basan en poco más que juicios subjetivos. Pero, al igual que el modelo bayesiano, la prueba estadística del valor-p debe ofrecer, si se tienen en cuenta estas advertencias, un método útil para ayudar al apostante a evaluar sus habilidades a la hora de encontrar una expectativa constantemente rentable.

En cualquier caso, tanto el análisis frecuentista como el bayesiano deben servir además para recordar al apostante que apostar con el fin de obtener ganancias constantes es una estrategia a largo plazo. Nunca supongas que ganar algunas apuestas quiere decir que sabes lo que haces.

Recursos para apostar: facultando sus apuestas

La sección Recursos para apostar de Pinnacle es una de las recopilaciones más exhaustivas de consejos expertos sobre apuestas que encontrará en Internet. Dirigida a todos los niveles de experiencia, nuestro objetivo consiste simplemente en facultar a los apostantes para que estén mejor informados.