Hacer una apuesta: el costo de la varianza

Hace poco, expliqué el concepto de «intercambio equivalente», una cifra muy útil para los apostadores serios. El objetivo es calcular la relación entre el valor esperado (VE) de las posiciones riesgosas y los equivalentes de certeza (EC) correspondientes. Si multiplica el VE de su posición por el intercambio equivalente, obtendrá el equivalente de certeza (es decir, la cantidad de dinero que aceptaría recibir en lugar de hacer una apuesta abierta). Sin embargo, además de realizar esa conversión tan importante, puede utilizar este concepto para calcular el costo de la varianza.

Si bien para la mayoría de la gente el concepto de varianza es algo confuso y misterioso, para los apostadores experimentados este concepto representa los altibajos inevitables que sufren las ganancias durante el proceso para encontrar la gallina de los huevos de oro a largo plazo. La cuestión es que no solo es una molestia que debemos soportar para saber cuál será el posible retorno sobre la inversión (RSI), sino que también tiene un costo. ¿Cómo es posible? Si no lo tuviera, el equivalente de certeza de cualquier apuesta existente sería el mismo que su valor esperado actual. Y ya expliqué en varios artículos que no son lo mismo.

Podemos definir el costo actual de la varianza (CdV) como la diferencia entre el VE y el EC, y aunque suele representar un pequeño porcentaje del dinero del que dispone para las apuestas individuales, a largo plazo puede generar una gran ganancia. Usemos ecuaciones para representar el intercambio equivalente. Podemos decir que las siguientes dos ecuaciones son verdaderas:

Podemos combinarlas para ver que el verdadero costo de la varianza es el VE multiplicado por (1 - el intercambio equivalente).

Por ejemplo, digamos que la casa de apuestas XYZ tiene una línea para el partido de béisbol entre Diamondbacks y Rockies de +130 para D’backs y -150 para Rockies (o 2,30 para D’backs y 1,60 para Rockies, en cuotas decimales). En función de las líneas de Pinnacle, calculamos que Rockies tiene exactamente un 60 % de probabilidad de ganar. En teoría, podría apostar por Rockies en la casa de apuestas XYZ y tener un VE neto de 0 (es decir que el valor esperado de su apuesta sería exactamente igual a su valor monetario). De hecho, es posible que crea que luego de hacer esta apuesta con VE neutral una y otra vez las cosas terminarán por equilibrarse, y esto tiene la misma eficiencia que quedarse con el dinero en el bolsillo.

No obstante, estos números no muestran el panorama completo. Nos dicen únicamente lo que está sucediendo en una de las dimensiones de la apuesta: la dimensión del valor. Existe otra dimensión que impacta en el resultado: el riesgo. Si apuesta cualquier monto a Rockies, independientemente del VE, pondrá en riesgo su dinero y será necesario que haya cierta varianza para recuperarlo. ¿Cuánto le cuesta la varianza? Bien, veamos.

Digamos que tiene $1000 y como no está perdiendo VE, decide seguir adelante y apostar $50 a Rockies. Ganará el 60 % de las veces (es decir que recuperará $83,33) y perderá el 40 % de las veces (es decir que no recuperará nada). El valor esperado de su dinero luego del partido es el siguiente:

Pero, ¿cuál es el intercambio equivalente de su boleto una vez que realiza la apuesta? Podemos calcularlo de la misma manera:

Donde:

w = el pago de la apuesta que realizó como un porcentaje del dinero con el que cuenta

p = probabilidad de que su apuesta gane (en este ejemplo es del 60 %)

Su pago, w, será de $83,33/$950 = 0,088, dado que el dinero disponible luego de hacer la apuesta es de $950. Es decir que, si bien el VE de su boleto es de $50, el EC es de solo ($50 * 98,5 %) o $49,25. Ahora podemos mostrar que el costo que le genera la varianza que aceptó es el siguiente:

Un callejón sin salida para su dinero

Aunque pueda parecer un monto insignificante, si hiciera esta apuesta constantemente, cada vez le costaría un poco más en relación con el posible crecimiento, y lo más probable es que tarde o temprano termine en la ruina. Es más, en una simulación en la que esta apuesta se repite 10 000 veces, se pierde todo el dinero en un 81,6 % de las ocasiones (a continuación se muestra la trama de cinco simulaciones típicas).

Para pensarlo de forma más instintiva, imagine cuánto dinero le quedaría si ganara y cuánto le quedaría si perdiera. Si ganara, le quedarían $1033, por lo que la siguiente apuesta de $50 representaría solo un 4,8 % del dinero disponible. Por el contrario, si perdiera le quedarían solo $950 y la siguiente apuesta de $50 representaría un 5,3 % del dinero disponible. Por lo tanto, terminaría apostando una fracción menor del dinero que le queda cada vez que gane y una mayor cada vez que pierda, con la pequeña diferencia de que, con el paso del tiempo, estas fracciones serían cada vez más grandes en relación con dinero que le queda cuando perdiera. Esta no es la fórmula para ganar una fortuna y ni siquiera para cubrir las pérdidas.

Como nunca apuesta el 100 % del dinero que tiene, es imposible que quede en la ruina, ¿o no? Es una buena teoría, sin dudas. La pregunta es si tiene sentido.

Es posible que crea que la solución a este problema es hacer apuestas proporcionales, es decir apostar un 5 % del dinero que tiene en lugar de $50 en cada oportunidad y arriesgar más cantidad cuando gana y menos cantidad cuando pierde para equilibrar el panorama. Además, como nunca apuesta el 100 % del dinero que posee, es imposible que quede en la ruina, ¿o no? Es una buena teoría, sin dudas. La pregunta es si tiene sentido. Primero hablemos sobre el concepto de «quedar en la ruina». Si bien es cierto que, técnicamente, es imposible perder la totalidad del dinero que tiene haciendo apuestas proporcionales, ¿cómo se sentiría si le quedaran solo $10? Probablemente se sentiría como si estuviese en la ruina. Hagamos otra simulación en la que apuesta el 5 % del dinero que tiene con las mismas condiciones que mencionamos antes, excepto que si se queda con menos de $10 se considerará que está en la ruina. ¿Cuál es el resultado de esta simulación?

Es aún peor. Al apostar mucho más luego de ganar, las caídas posteriores son más pronunciadas, incluso si al inicio tiene suerte (que es probablemente la única forma de no quedar en la ruina luego de hacer 10 000 apuestas). De esta forma, seguramente verá un resultado similar al que se muestra en el siguiente cuadro (con el eje Y en escala logarítmica para mayor claridad), y quedará en la ruina más del 88 % de las veces.

Esto no debería sorprenderle. Con un porcentaje de apuesta tan elevado y sin contar con una ventaja, el crecimiento esperado (CE) al hacer esa apuesta una sola vez es de -0,083 %. Puede parecer poco, pero luego de 5600 apuestas, lo más probable es que sus $1000 se reduzcan a menos de $10. Si calcula el RSI esperado para las mismas cuotas pero con una ventaja del 3,3 %, descubrirá que la fracción de Kelly óptima es del 5 % para apostar por Rockies y el CE es de +0,083 %. Es exactamente igual y opuesto al CE negativo que obtiene en mi ejemplo. Esto significa que la tristeza al hacer una apuesta con VE neutral y la felicidad de hacer una apuesta con una ventaja del 3,3 % deberían ser iguales.

Ahora bien, esto no quiere decir que apostar en líneas con un VE neutral es el peor error que puede cometer o que es igual de malo que hacer una apuesta al azar en un mercado con un margen igual o superior al 4 %. No obstante, cuanto uno no cuenta con fondos ilimitados, no debería apuntar a que los resultados sean equivalentes al VE matemático. El foco debería estar puesto en arriesgar la cantidad que ameritan las posibles ganancias.

Si en lugar de ser un apostador promedio fuese Jeff Bezos y tuviera $100 mil millones en su cuenta bancaria, el intercambio equivalente de su boleto sería, básicamente, del 100 % y sus apuestas no tendrían costo económico. Las ecuaciones de su intercambio equivalente y costo de varianza serían las siguientes:

Conclusión

Cuando entendemos que la varianza tiene un costo real, es mucho más fácil comprender por qué no deberíamos enfocarnos solo en encontrar apuestas con VE positivo e ignorar las que tienen VE negativo o neutral. El riesgo de la varianza le cuesta dinero, equivalente a los cargos o comisiones por comprar o vender acciones, por lo que puede obtener un beneficio real al reducir este riesgo. A veces, esto implica apostar menos, como primera medid, pero incluso si determinara correctamente los montos a arriesgar (la cantidad óptima o menos), existen otras situaciones en las que el VE de la apuesta cambia y supera notablemente al equivalente de certeza.

En estas situaciones, protegerse del riesgo (al apostar de la manera contraria en una casa de apuestas con un margen inferior como Pinnacle o intercambiar algunas o todas sus posiciones) funciona como una póliza de seguros. Además, si el costo de esa póliza es menor al costo de la varianza, comprarla es la jugada más rentable.

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El presente artículo fue escrito por Dan Abrams.