abr. 14, 2022
abr. 14, 2022

Por qué el sesgo improbable-favorito no es un sesgo

Entérese por qué el sesgo improbable-favorito no es un sesgo

¿Cómo aplican sus márgenes las casas de apuestas?

¿Por qué aceptar una ventaja menor en los favoritos?

Por qué el sesgo improbable-favorito no es un sesgo

Durante varios años, se ha debatido mucho sobre cómo determinar las probabilidades reales de un evento simplemente al examinar el precio del mercado. En este artículo explicaremos por qué el sesgo improbable-favorito no es un sesgo Continúe leyendo para saber más.

Para hacerlo con precisión, primero debemos determinar qué cuotas parecen reflejar mejor las probabilidades reales de un evento y luego debemos restarles el margen de la casa de apuestas. En muchos mercados, Pinnacle es un excelente recurso para obtener una mirada precisa de las probabilidades reales porque invierte su tiempo y dinero en solicitar la opinión de los apostadores que ganan en lugar de detectarlos y restringirles el acceso.

Sin embargo, el proceso se complica a la hora de restar el margen de la casa de apuestas, por lo que debemos encontrar la mejor forma de hacerlo a partir de las líneas de un mercado en particular. Para ello, debemos tratar de pensar como lo hacen las casas de apuestas y descubrir, en primer lugar, cómo aplican su margen.

La creencia general es que lo más conveniente para las casas de apuestas es aplicar el margen de manera equitativa en todas sus líneas. En otras palabras, si reducen las cuotas al 91 % de las probabilidades reales para esa línea, tendrán que reducir la otra línea (o varias en los mercados de opciones múltiples) en la misma proporción. Por ejemplo, para los márgenes y totales de la NFL, la mayoría de los mercados aplican un margen de aproximadamente el 4,8 %. Los márgenes se diseñaron para que las probabilidades de ambas opciones o candidatos sea de 50/50, por lo que las cuotas se determinan sumando el margen al 100 % para crear un porcentaje y luego multiplicar dicha cifra por el porcentaje real de victoria para generar un porcentaje real de victoria equitativo para los apostadores:

50 % * 104,8 % = 52,4 %

Esto da como resultado una línea de -110/-110 para ambas opciones, decido a lo siguiente:

100 * [(52,4 %/(52,4 % - 100 %)] ≈ -110

Al hacerlo de esta forma, las casas de apuestas obtienen la misma ventaja o valor esperado (VE) con respecto a los apostadores, independientemente de la línea en la que apuesten o con qué cuotas lo hagan. Entonces a la casa de apuestas le resulta indiferente en qué extremo del mercado tiene mayor riesgo porque, en teoría, tiene la misma ventaja sobre el dinero no ajustado, pase lo que pase. ¿O no?

El problema con esta teoría tradicional es que, en muchísimos casos, se ha demostrado que es falsa. Al analizar los resultados de eventos deportivos reales y compararlos con las cuotas finales más precisas disponibles, muchos autores calificados han demostrado que existe un «sesgo improbable-favorito». Esto quiere decir que existe un sesgo en la forma en la que las casas de apuestas añaden su margen a las cuotas porque hay un monto mucho mayor de lo que debería en el ganador menos probable y uno mucho menor en el favorito. Esto trae aparejadas dos preguntas: cómo aplican el margen y, sobre todo, por qué aceptan una ventaja menor para el favorito, pero insisten en otorgarle una ventaja mayor al ganador menos probable.

Hay una pequeña diferencia entre equilibrar el VE de un mercado y equilibrar el crecimiento máximo esperado.

Hay tantas teorías sobre el motivo por el que esto ocurre como sobre el método que utilizan las casas de apuestas para añadir el margen de esta manera. Sin embargo, voy a aportar una teoría más que intenta responder ambas preguntas al mismo tiempo.

Mi teoría es la siguiente: el principal objetivo de las casas de apuestas tradicionales (es decir, los creadores de mercados que pueden asumir los riesgos con su propio dinero si existe una acción no equilibrada) no se logra cuando le otorga la misma ventaja a ambas opciones o candidatos de un mercado. Por el contrario, el objetivo principal se logra cuando es indiferente cuál de las opciones de un mercado recibe un mayor riesgo y esto ocurre cuando se genera el mismo crecimiento máximo esperado para ambas opciones del mercado. El crecimiento máximo esperado de una línea es el crecimiento que se espera obtener al apostar con la fracción completa de Kelly, que se determina con la teoría de Kelly.

Hay una pequeña diferencia entre equilibrar el VE de un mercado y equilibrar el crecimiento máximo esperado, y se necesitarían muchos cálculos matemáticos para crear una fórmula que permita eliminar el margen si la casa de apuestas lo aplica de esta manera. Tendremos que usar algunos logaritmos y muchas operaciones de álgebra para responder a estas preguntas utilizando mi método de la fracción óptima de Kelly. Si estoy en lo cierto, obtendremos un método preciso para eliminar el margen de un serie de líneas y determinar mejor la magnitud de la ventaja que podemos tener al apostar. Además, descubriremos por qué el objetivo principal de las casas de apuestas es hacerlo de esta forma.

Para probar mi teoría, debemos demostrar que el crecimiento esperado del capital para ambos extremos de un mercado de dos opciones debe ser la misma cuando la fracción óptima del capital de la casa de apuestas está en riesgo en cada uno de dichos extremos. Esta fracción se determina, obviamente, mediante la teoría de Kelly. Por casualidad, este método es similar al concepto de la teoría que estableció Jonathon Brycki en su artículo «Quién es el responsable del sesgo improbable-favorito» que escribió para Pinnacle en marzo de 2019, aunque al parecer nunca llega a la respuesta final de cuál sería la porción óptima del margen. El equilibrio del crecimiento máximo esperado se logra cuando la siguiente ecuación para los valores esperados del logaritmo de riqueza de ambas opciones del mercado es verdadera:

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)

En la que:

p, q = probabilidad real del favorito y del improbable de ganar, respectivamente.

f1, f2 = fracción óptima de capital en riesgo para el favorito y el improbable, respectivamente

b1, b2 = cuotas publicadas para el favorito y el improbable, respectivamente (es decir, cuotas decimales – 1)

Asimismo, podemos determinar las probabilidades reales para ambas opciones del mercado (como función de las probabilidades implícitas de las cuotas publicadas) de la siguiente manera:

p1, p2 = probabilidad implícita del favorito y del improbable, respectivamente

b0 = cuotas netas reales fraccionadas del improbable

1/b0 = cuotas netas reales fraccionadas del favorito

Para calcular las probabilidades reales, asumiremos que las fracciones de capital que la casa de apuestas pone en riesgo son óptimas para poder usar la fórmula de la teoría de Kelly para reemplazar las cuotas y probabilidades de las fracciones f1, f2 de la siguiente manera:

E = p * log(1 + f1b1) + q * log(1 – f1) = q * log(1 + f2b2) + p * log(1 – f2)
p * log(1 + f1b1) - p * log(1 – f2) = q * log(1 + f2b2) - q * log(1 – f1)
p [log(1 + f1b1) - log(1 – f2)] = q [log(1 + f2b2) - log(1 – f1)]

Dado que:

f1* = p – q/b1   y     f2* = p – q/b2
 Podemos sustituirlo por f1, f2 y simplificarlo:
p [log(1 + pb1 - q) - log(1 – q + p/b2)] = q [log(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(1 + pb1 - q)/(1-p+q/b1)]
= q log[(1 + qb2 - p) - log(1 – p + q/b1)]
p log[(p + pb1)/(p + p/b2)] = q log[(q + qb2)/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1))/(p + p/b2)] = q log[(q (1 + b2))/(q + q/b1)]
p log[(p (1 + b1) * b2)/((p (1 + b2))] = q log[(q (1 + b2) * b1)/((q (1 + b1))]
p log[((1 + b1) * b2)/(1 + b2)] = q log[((1 + b2) * b1)/(1 + b1)]

En este punto, podemos convertirlo en cuotas decimales (O1, O2) por comodidad y luego convertirlo en probabilidades implícitas (porque las probabilidades implícitas son exactamente lo opuesto a las cuotas decimales):

p log[O1(O2 - 1)/O2] = q log[O2(O1 - 1)/O1]
p log[p2(1/p2 - 1)/p1] = q log[p1(1/p1 - 1)/p2]
p log[(p2/p1) * ((1 - p2)/p2)] = q log[(p1/p2) * ((1 - p1)/p1)]
p log[(1 - p2)/p1] = q log[(1 - p1)/p2]
b0 = p/q = log[(1 - p1)/p2] / log[(1 - p2)/p1]
b0 = log[p2/(1 - p1)] / log[p1/(1 - p2)]

b0 = log[p2/q1]
/ log[p1/q2]

Ahora bien, esta es la respuesta si la casa de apuestas pone en riesgo la fracción óptima de Kelly, que es un gran monto para un solo mercado. ¿Esta respuesta sirve para las fracciones de Kelly más pequeñas para cada opción? Luego de insertar esta fórmula simple en Excel y examinar el crecimiento esperado para las fracciones más pequeñas pero iguales de la fórmula completa de Kelly, llegué a la conclusión de que el crecimiento esperado de cada opción del mercado coincide en gran medida independientemente de que la casa de apuestas arriesgue dinero en el favorito o el improbable. De esta manera, incluso cuando la casa de apuestas arriesga un monto mucho menor al óptimo en un mercado individual, sigue siendo indiferente en cuál de las opciones del mercado lo hace porque obtiene el mismo crecimiento esperado. Y los montos pequeños de crecimiento esperado de cientos (o miles) de mercados simultáneos diferentes se combinan para crear el equilibrio óptimo entre ventaja y riesgo.

Ahora contamos con una fórmula que nos permite hacer pronósticos comprobables. Esta es la forma de saber si una teoría es la más probable cuando los datos reales la respaldan. Si bien no soy un experto en datos, conozco a varios que sí lo son. Uno de ellos, Joseph Buchdahl, ha recopilado información de varios años sobre los resultados de los partidos de fútbol y los comparó con los distintos métodos para calcular las cuotas sin los márgenes en su artículo, «La sabiduría de la multitud». 

Otro de ellos es Matt Buchalter, @PlusEVAnalytics en Twitter, quien hace varios años investigó distintos métodos para eliminar el margen y descubrió que el método que utiliza la función probit es el que mejor se ajusta a los datos. No tengo idea de lo que es la función probit, pero Matt tuvo la generosidad de publicar la fórmula en una hoja de cálculo de Excel, así que comparé su método con el mío que se basa en la fracción óptima de Kelly para lograr un crecimiento máximo esperado equilibrado, además del proporcional del margen para las cuotasla función logarítmica y los diferentes métodos del índice de cuotas que investigó Buchdahl. Evalué las cifras de una amplia variedad de probabilidades implícitas y, con un margen total de 1,8 % para un mercado de dos opciones (como sucede en los mercados eficaces de Pinnacle), realicé un gráfico con el porcentaje del margen implícito añadido a cada uno de los candidatos. Los resultados son los siguientes:

inarticle-graph.jpg

La línea de color negro del margen equilibrado muestra lo que sucede si no hay sesgo improbable-favorito. Es muy distinto al resto. La curva de la función logarítmica también es diferente, aunque al menos desciende en la misma dirección que los otros métodos basados en el sesgo improbable-favorito, pero con un mayor margen para la probabilidad implícita de los improbables y uno menor para los favoritos. No hice un gráfico del método de Buchdahl del margen proporcional a las cuotas porque era tan simple como trazar una línea horizontal con un margen implícito del 0,9 % para cada candidato, dado que al aplicar el margen de esta forma se añade un porcentaje a la probabilidad implícita de cada opción. Cuando las probabilidades van del 10 al 90 %, la diferencia entre esta respuesta y la mía es insignificante, por lo que no quise sumar una línea que tape las pequeñas diferencias entre el resto de los métodos, las cuales son realmente diminutas.

Para este tipo de mercados de dos opciones, el índice de cuotas y los métodos con la fórmula probit siguen casi el mismo recorrido que el método con la fracción óptima de Kelly. Esto quiere decir que todos son muy precisos o que la mayoría son incorrectos. De hecho, como el método con la fórmula probit se basa en puntajes z, en el nuevo libro de Buchdahl, «Monte Carlo or Bust», hay evidencia de que podría ser matemáticamente igual al método con la fracción óptima de Kelly.

Ahora, en el artículo de Buchdahl, su análisis de los datos muestra que el modelo de la función logarítmica se asemeja mucho más al suyo y por eso genera los mismos resultados superiores. Entonces, ¿por qué luce tan distinto en mi gráfico? Porque la función logarítmica está se adapta mucho mejor a la creación de mercados de tres opciones (como los 1X2 para el fútbol inglés que analizó Joseph) y el método del índice de cuotas funciona mejor con los mercados de dos opciones.

Entonces, si el método con la fracción óptima de Kelly se acerca mucho a las tres mejores aproximaciones de la distribución del margen según el sesgo improbable-favorito, creo que encontramos la respuesta a ambas preguntas: cómo y por qué las casas de apuestas aplican su margen de esa manera. Asimismo, cuando analizamos la ventaja que tiene la casa de apuestas con respecto al apostador desde la perspectiva del crecimiento esperado (que influye en su varianza) descubrimos que el llamado sesgo improbable-favorito no solo no es un sesgo basado en el VE, sino que no siquiera es un «sesgo». Es exactamente la manera en la que la casa de apuestas debería aplicar su margen para obtener una ganancia igual a la del apostador, independientemente del extremo del mercado en el que decida apostar.

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