La ley de los números pequeños es un sesgo cognitivo en el que la gente muestra una tendencia a creer que un número relativamente pequeño de observaciones reflejará fielmente a la población general. Sigue leyendo para poner a prueba tus poderes lógicos con la pregunta del hospital y averigua cómo los gráficos pueden resultar engañosos y lo que puedes hacer a fin de evitar pérdidas al utilizar estadísticas para realizar tus apuestas.
La pregunta del hospital
En 1974 dos psicólogos, Daniel Kahneman y Amos Tversky, presentaron sus sujetos experimentales con la siguiente situación hipotética, junto con una pregunta. Una ciudad cuenta con dos hospitales. En el hospital más grande nacen alrededor de 45 bebés cada día y en el más pequeño nacen alrededor de 15 bebés cada día.
Como sabemos, aproximadamente el 50 % de los bebés son niños. Sin embargo, el porcentaje exacto varía de un día a otro. A veces puede ser superior al 50 %, otras veces puede ser inferior. Durante un periodo de un año, cada hospital registró los días en los que más del 60 % de los bebés que nacieron fueron niños. ¿Qué hospital crees que registró más días de ese tipo?
- El hospital más grande
- El hospital más pequeño
- Aproximadamente igual (con una diferencia entre ambos del 5 %)
Según la teoría binomial, la cantidad de días en los que el número de niños nacidos supera al de niñas en una proporción de al menos seis a cuatro será casi tres veces mayor en el hospital más pequeño, en comparación con el más grande, simplemente debido a la mayor volatilidad en los índices de nacimiento. Es menos probable que una muestra mayor se aleje mucho del 50 %. Aun así, solo el 22 % de los encuestados dieron la respuesta correcta.
¿Qué son los heurísticos?
Kahneman y Tversky describieron este error como una creencia en la ley de los números pequeños. Más en general, los juicios realizados a partir de muestras pequeñas a menudo son percibidos de manera inapropiada como representativos de una población más amplia. Por ejemplo, una muestra pequeña, que parece distribuida aleatoriamente, reforzaría la creencia de que la población más amplia a partir de la cual se selecciona la muestra también estará distribuida aleatoriamente.
La pregunta del hospital: es menos probable que una muestra mayor se aleje mucho del 50 %. Aun así, solo el 22 % de los encuestados dieron la respuesta correcta.
En cambio, una muestra pequeña que demuestre un patrón aparentemente significativo (como obtener nueve caras en diez lanzamientos de moneda) hará que el observador crea que la población mostrará el mismo patrón significativo. En este caso la suposición sería que la moneda está sesgada. La experiencia de percibir patrones en datos aleatorios o sin sentido se denomina apofenia.
Creer en la ley de los números pequeños es parte de un grupo más amplio de atajos mentales que la gente toma a la hora de formarse juicios en condiciones de incertidumbre. Kahneman y Tversky llamaron a estos atajos heurísticos. Generalizar a partir de muestras pequeñas es un ejemplo de un heurístico de representatividad, en el que la gente evalúa la probabilidad de un evento concreto basándose únicamente en la generalización de anteriores eventos similares que se les ocurren fácilmente.
Otro ejemplo de heurístico de representatividad es la expresión de la falacia del apostante. De hecho, tal sesgo surge de la creencia en la ley de los números pequeños. Como indican Kahneman y Tversky:
El meollo de la falacia del apostante radica en un concepto equivocado de la imparcialidad de las leyes del azar. El apostante cree que la imparcialidad de la moneda le da derecho a esperar que cualquier desviación en una dirección será pronto cancelada por la desviación correspondiente en la otra dirección. Los sujetos actúan como si cada segmento de la secuencia aleatoria deba reflejar la proporción verdadera; si la secuencia se ha desviado de la proporción de la población, se espera un sesgo correctivo en la otra dirección.
Lectura de gráficos de tamaños de muestra desiguales
Los apostantes deportivos pueden ser particularmente propensos al reconocimiento de patrones defectuoso debido a una creencia inapropiada en la ley de los números pequeños. A largo plazo, malinterpretar la rentabilidad de pequeñas muestras de apuestas como representativas de una desviación de la aleatoriedad y un indicio de habilidad para hacer pronósticos puede conllevar consecuencias financieras desagradables. Consideremos la siguiente gráfica de rentabilidad hipotética de 100 apuestas en márgenes de puntos de la NFL. Cada apuesta se acepta con una cuota de 1,95. Resulta impresionante, ¿verdad?
¿Qué ocurriría si te digo que este registro pertenece a un famoso handicapper deportivo de Estados Unidos? Con una tendencia de crecimiento decente y un rendimiento del 15 %, se te podrá perdonar por creerme. Obviamente, estoy mintiendo. De hecho, la siguiente gráfica de 1.000 apuestas revela la perspectiva general.
En realidad, no había rentabilidad a largo plazo en absoluto. El motivo: esto fue meramente creado por un generador de números aleatorios que asumió una probabilidad del 50 % de victoria individual y una expectativa de beneficio de -2,5 %. La primera gráfica simplemente representa las primeras 100 apuestas de la segunda.
No obstante, incluso en la segunda serie temporal más larga se mantuvo una rentabilidad positiva durante varios cientos de apuestas. Además, a pesar de mostrar una pérdida general, el patrón de las series temporales puede parecer cualquier cosa menos aleatorio, ya que cuenta con un patrón similar a una onda bastante constante.
Sin embargo, como reconocieron Kahneman y Tversky, es mucho más probable que percibamos secuencias de resultados similares como no aleatorias, incluso si no hay un mecanismo subyacente tras ellas. De las dos siguientes secuencias binarias, ¿cuál parece aleatoria y cuál no?
La mayoría de la gente escogería la segunda secuencia. En realidad, la primera se generó aleatoriamente en Excel y yo hice la segunda intencionadamente con secuencias más cortas de unos y ceros. Si nos piden crear secuencias aleatorias como esta, la mayoría de nosotros pasaríamos del 1 al 0 o viceversa si considerásemos que uno de ellos se repite con demasiada frecuencia.
Ahora echa un vistazo a la siguiente gráfica de 1.000 apuestas. Todas se generaron aleatoriamente. La amplia gama de resultados posibles debería proporcionarte un indicio de lo sencillo que resulta caer en el engaño de los patrones aparentemente significativos.
Recuerda, no se trata de series de 100 apuestas, sino de 1.000. Echa un vistazo a la del medio. Tiene el sello distintivo de un tipster o apostante experto, con un rendimiento del 5 % y un sólido crecimiento del beneficio a lo largo de toda la secuencia de apuestas, la clase de rendimiento que los mejores handicappers son capaces de lograr a largo plazo. Aun así, se produjo solo por casualidad.
Utilizando la distribución binomial, podemos calcular la probabilidad de seguir obteniendo beneficios tras un periodo de apuestas a pesar de contar con una expectativa del -2,5 %.
|
Número de apuestas (cuota 1,95, 50 % de probabilidad de victoria) |
Número mínimo de victorias requeridas |
Probabilidad de tener beneficios |
|
100 |
52 |
38,22 % |
|
250 |
129 |
32,90 % |
|
500 |
257 |
28,05 % |
|
1.000 |
513 |
21,46 % |
|
2.500 |
1.283 |
9,68 % |
|
5.000 |
2.565 |
3,40 % |
|
10.000 |
5.129 |
0,51 % |
Tras 1.000 apuestas, seguimos teniendo una posibilidad superior a 1 entre 5 de tener beneficios, a pesar de que nuestras apuestas tan solo son aleatorias. Si realizáramos una apuesta tipo hándicap en cada partido jugado de la NFL, esto nos llevaría casi cuatro temporadas. Se trata de mucho tiempo para creer que solo contamos con la suerte de nuestro lado.
¿Cómo de pequeño es pequeño?
La ley de los números pequeños es un sesgo cognitivo en el que la gente muestra una tendencia a creer que un número relativamente pequeño de observaciones reflejará fielmente a la población general. Además, como ha demostrado este ejercicio, a veces lo pequeño puede ser bastante grande. Existe porque la gente prefiere la certeza a la duda, la explicación a la ignorancia, la causa a la asociación, los patrones a la aleatoriedad y la habilidad (sobre todo la habilidad que sirve a nuestros intereses) al azar. Para los apostantes deportivos, no apreciar verdaderamente su importancia puede salir caro.