dic 10, 2019
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Cuantificación de las posibles ganancias de la apuesta de porcentaje

Cuantificación de las posibles ganancias de la apuesta de porcentaje

En este artículo, Joseph Buchdahl intenta cuantificar el rango de posibles ganancias que un apostador puede esperar si utiliza la apuesta de porcentaje como su plan de administración del dinero. ¿Cómo funciona la apuesta de porcentaje? Continúe leyendo para averiguarlo.

En febrero de 2019, Pinnacle publicó en su sección de Recursos para Apostar mi artículo sobre el rango de posibles ganancias de apuestas para un apostador. En torno a una rentabilidad esperada, hay una distribución de posibles resultados influenciados por la buena y la mala suerte, definidos por las matemáticas de la distribución normal. Para ayudar a los apostadores a visualizar esto, puse a disposición una calculadora de distribución de rentabilidad.

Este análisis solo consideró las apuestas del mismo tamaño (apuestas de nivel). Si bien soy un gran defensor de esta estrategia de administración del dinero, otros prefieren razonablemente una diferente. La más común es realizar una apuesta de porcentaje en función del tamaño actual de los fondos propios.

Como era de esperar, el método antes mencionado se conoce como apuesta de porcentaje. Es una estrategia que he discutido antes en Pinnacle en comparación con la apuesta nivelada. La versión más simple es apostar el mismo porcentaje en cada apuesta, independientemente de las cuotas. Las versiones más sofisticadas, como el criterio de Kelly, recomiendan tener en cuenta tanto las cuotas como el tamaño del valor esperado al definir el tamaño de porcentaje.

¿Cómo funciona la apuesta de porcentaje?

Supongamos que un apostador comienza con fondos de 100 unidades. Decide que quiere apostar el 1% de sus fondos en sus apuestas. La primera apuesta será, por lo tanto, de 1 unidad. Si gana con cuotas de 2,00, sus fondos tendrán ahora 101 unidades. Por lo tanto, su próxima apuesta será de 1,01 unidades, que es el 1% de 101. Si en la primera apuesta hubiera perdido, en sus fondos tendría 99 unidades y la próxima apuesta sería de 0,99 unidades.

El criterio de Kelly define específicamente la cifra de porcentaje que se debe aplicar dividiendo el valor esperado entre las cuotas decimales menos 1. Por ejemplo, a una apuesta con cuotas de 3,00 con un valor esperado de 10% o 0,1 se le asignaría una apuesta de porcentaje de 0,1 / 3 - 1 = 5%. Hay quienes sostienen que el criterio de Kelly es demasiado arriesgado para ser considerado una estrategia realista de administración del dinero, ya que a veces puede sugerir cifras de porcentaje muy grandes. Para moderar este riesgo, a menudo se considera el criterio de Kelly fraccionado.

La distribución sesgada de los posibles rendimientos de la apuesta porcentual

El cuadro a continuación (reproducido de mi artículo anterior en Pinnacle) compara la distribución de las posibles ganancias de las apuestas niveladas versus las apuestas de porcentaje para un escenario de apuestas producido a través de una simulación de Monte Carlo. En comparación con la apuesta nivelada, la apuesta de porcentaje, con un poco de suerte, puede lograr algunos fondos muy grandes.

La distribución tiene lo que llamaríamos sesgo positivo. En este escenario, algunas ganancias fueron considerablemente mayores a 7.000 unidades, pero para mayor claridad las he omitido.

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Cuantificar los retornos matemáticamente

De hecho, para el más simple de los escenarios donde las cuotas y el porcentaje de cada apuesta son los mismos, no necesitamos recurrir a una simulación de Monte Carlo. Es posible producir la distribución matemáticamente.

Consideremos el siguiente ejemplo. Un apostador realiza su primera apuesta en Pares con un porcentaje de 10%. Si gana, sus fondos ahora son 110% (o 1,1) veces sus fondos originales. Si pierde, será solo 90% (o 0,9) veces sus fondos originales. Lo mismo es cierto después de cada apuesta secuencial. En consecuencia, si el apostador apuestas 10 veces y tiene seis ganadas, podemos calcular fácilmente el crecimiento de sus fondos de la siguiente manera:

Crecimiento de fondos = 1,16 x 0,94 = 1,162 or 116,2%

No importa en qué orden lleguen las ganancias y las pérdidas. El apostador podría comenzar con seis ganadas y terminar con cuatro perdidas, o podría comenzar con cuatro perdidas y terminar con seis ganadas, o cualquiera de las 210 formas posibles de organizar esta combinación de ganadas y perdidas. Todavía terminará con el 116,2% de lo que comenzó.

Por lo tanto, para n apuestas de A% y g ganadas:

Crecimiento de fondos = (1 + A)g(1 – A)n-g

El mayor crecimiento de fondos en mi simulación de Monte Carlo anterior fue de 948,8. No he mantenido las cifras reales de ganadas/perdidas, pero sabiendo que había 1.000 apuestas con cuotas de 2,0 y apuestas del 5%, puedo usar esta fórmula para determinar que el número real de ganadas fue de 581.

Además, si conocemos el valor esperado (VE) de nuestras apuestas, podemos calcular la tasa esperada de crecimiento de los fondos de la siguiente manera:

Crecimiento esperado de fondos = {(VE x A) +1}n

Por ejemplo, si el VE de este apostador es del 20% o 0,2, el crecimiento esperado (o promedio) de fondos será dado por {(0,2*0,1)+1}10 = 1,0210 = 1,219 or 121,9%. Los lectores pueden observar que esto es mayor que el crecimiento de los fondos asociados con ganar seis de cada diez apuestas even-money, que es lo que implica un VE del 20%.

Esto se debe a que el crecimiento de los fondos por más ganancias contribuye desproporcionadamente más al promedio que por menos ganancias: recuerde que la distribución de las posibles ganancias está sesgada positivamente. Por lo tanto, mientras que el crecimiento de fondos más típico (mediano) en este ejemplo será del 116,2%, el valor esperado (o promedio) será del 121,9%.

Obviamente, esto supone que VE es igual para cada apuesta, una gran simplificación excesiva pero necesaria para definir las matemáticas.

Si reescribimos (VE x A) + 1 como el factor de crecimiento de fondos esperado, F, entonces tenemos:

Crecimiento esperado de fondos = Fn

, y por lo tanto:

n = LogF(Crecimiento esperado de fondos)

, donde F es la base del logaritmo.

Para las apuestas con el mismo porcentaje de participación y VE, el logaritmo del crecimiento esperado de los fondos será proporcional al número de apuestas. Del mismo modo, el logaritmo del crecimiento real de los fondos también será proporcional al número de apuestas ganadas. Esto se demuestra visualmente para nuestro apostador de ejemplo aquí. El segundo gráfico es el mismo que el primero pero con un eje Y logarítmico.

Es posible que haya notado que cinco ganadas y cinco perdidas, lo que para un jugador de nivel resultaría en una ganancia de equilibrio de apuestas even-money, da como resultado una ligera pérdida con una apuesta de porcentaje (crecimiento de fondos = 0,951). Se necesita un mayor crecimiento porcentual para recuperar una pérdida anterior, pero si los porcentajes de las apuestas siguen siendo los mismos, una apuesta ganada después de una perdida no recuperará la apuesta inicial perdida. Del mismo modo, una apuesta perdida tras una ganada hará perder más de lo que ganó inicialmente en su primera apuesta. Lo mismo es cierto sobre 10 apuestas (o cualquier número de apuestas). Si el crecimiento de los fondos por una apuesta ganada y una perdida es de 0,99 (1,1 x 0,9), entonces por cinco ganadas y cinco perdidas es de 0,995 = 0.951.

La distribución sesgada de las ganancias de la apuesta de porcentaje es logarítmica normal.

Si el número de apuestas ganadas en una serie de apuestas es proporcional al logaritmo del crecimiento de los fondos, deberíamos esperar ver una distribución logarítmica normal del posible crecimiento de los fondos.

Una distribución logarítmica normal es aquella en la que el logaritmo de los datos se distribuye normalmente (la familiar curva en forma de campana). A continuación, he trazado la distribución de frecuencias del logaritmo natural (Ln) de los 10.000 crecimientos de fondos observados de la misma simulación de Monte Carlo a la que me referí anteriormente.

En lugar de transformar las cifras de crecimiento de los fondos de forma logarítmica, puedo mostrar las cifras originales usando una escala logarítmica. Los resultados son visualmente equivalentes.

El crecimiento de fondos promedio o esperado para esta muestra de Monte Carlo fue de 12,2. ¿Cómo se compara eso con la cifra calculada a partir de los primeros principios usando la ecuación anterior? Con un VE del 5% (0,05) para las 1.000 apuestas y el tamaño de apuesta de 5% (o 0,05), la respuesta es 1,00251000 = 12,1, una excelente combinación. Como era de esperar, el crecimiento medio de los fondos (el centro de la distribución) fue considerablemente más bajo en 3,49, con solo 21,7% de las cifras de crecimiento de fondos superiores a la cifra esperada de 12,2. Recuerde, algunos fondos muy grandes sesgan positivamente el promedio.

La estimación de la probabilidad de crecimiento de los fondos

¿Hay alguna manera de calcular la probabilidad de lograr un crecimiento específico de fondos? Uno puede mirar el cuadro de arriba y hacer estimaciones visuales, aunque dada la escala logarítmica, esa no es una tarea fácil. Alternativamente, podemos contar la cantidad de veces que los fondos terminaron más altos que cierto umbral. En esta muestra de Monte Carlo, por ejemplo, unos fondos terminaron con más de lo que comenzaron con (crecimiento de fondos = 1) el 78,5% del tiempo, y al menos se duplicó el 63,5% del tiempo.

Sin embargo, usando Excel hay un método más fácil. Después de calcular el logaritmo natural (usando la función = Ln) para todas las cifras de crecimiento de fondos simuladas, entonces es posible usar la siguiente función:

1 – LOGNORM.DIST(x,mean,SD,true)

donde x es su valor de umbral de crecimiento de fondos elegido (por ejemplo, 2 para duplicar), "mean" (promedio) y "SD" son la desviación promedio y estándar respectivamente de sus valores de logaritmo natural, y "true" (verdadero) garantiza una probabilidad acumulativa. Con esta fórmula, la probabilidad de terminar con más de lo que había comenzado (x = 1) se estimó en 78,2%, la probabilidad de duplicar sus fondos (x = 2) fue de 63,6% y la probabilidad de exceder las expectativas (x = 12,2) fue del 21,7%, casi las mismas cifras del conteo.

Una calculadora de fondos de apuestas de porcentaje

Siempre que todas nuestras apuestas tengan las mismas cuotas y porcentaje de apuesta, podemos construir una calculadora para poner en funcionamiento nuestra ecuación de crecimiento de fondos, trazando la distribución de posibles cifras de crecimiento de fondos para diferentes tasas de ganancias/pérdidas. Usando una calculadora de Excel que he creado para mi propio sitio web, los gráficos a continuación muestran los resultados de varios escenarios de apuestas.

El primero compara el rendimiento de tres cuotas de apuestas diferentes utilizando un plan de apuestas de Kelly en más de 1.000 apuestas. Con apuestas con un VE del 5%, los porcentajes de las apuestas para cuotas de 1,5, 2,0 y 5,0 respectivamente son del 10%, 5% y 1,25%. El crecimiento esperado de los fondos para estos tres escenarios de cuotas es de 147, 12,1 y 1,87, mientras que las cifras de crecimiento medio de los fondos son 12,7, 3,49 y 1,36. La distribución verde es efectivamente una coincidencia para la distribución de Monte Carlo anterior, dado que las entradas para el modelo eran las mismas.

El siguiente gráfico muestra cómo la distribución del crecimiento de fondos varía con VE. Se muestran tres escenarios: 1%, 3% y 5%, todos con cuotas de 2,0 y 1.000 apuestas y nuevamente con un plan de apuestas de Kelly (1%, 3% y 5% respectivamente). El crecimiento esperado y mediano de los fondos para estos fue de 1,11, 2,46 y 12,1, y 1,05, 1,57 y 3,49.

El tercer gráfico ilustra cómo cambia la distribución del crecimiento de los fondos cuando reducimos el tamaño de la fracción de Kelly. Con cuotas de 2,0 y VE de 5%, las apuestas de Kelly total, media y cuarta son de 5%, 2,5% y 1,25% respectivamente. El crecimiento esperado y mediano de los fondos para estos fue de 12,1, 3,49 y 1,87 y 3,49, 2,55 y 1,73.

Como se mencionó anteriormente, Kelly fraccional a menudo aboga por moderar los riesgos. La distribución anterior ilustra por qué. Si bien la probabilidad de un rendimiento deficiente se reduce significativamente (compare el área a la izquierda del crecimiento de fondos = 1 para las distribuciones azul y verde), los fondos medianos son solo marginalmente menores (2,55 en comparación con 3,49).

Por supuesto, su crecimiento esperado (promedio) de fondos es mucho mayor con Kelly completo, pero la mayoría de las veces no lo verá. La mediana es posiblemente una mejor medida de lo que debe esperar que suceda en este contexto. Con Kelly completo todavía tiene un 21,5% de posibilidades de perder. Para Kelly medio, eso se reduce al 11,8%.

Crecimiento esperado y mediano de fondos

Podemos usar la calculadora para ver cómo el crecimiento esperado de fondos variará con el número de apuestas. Ya sabemos por nuestras ecuaciones anteriores que esto será logarítmico. El crecimiento medio de los fondos también varía logarítmicamente.

Finalmente, vea cómo el crecimiento medio de los fondos varía con su VE. Nuevamente, este escenario es para cuotas de 2,0, pero podría crear gráficos similares para otras cuotas de apuestas.

Cuotas variables, apuestas variables

Las ecuaciones y la calculadora describieron confiar en que todas las apuestas tienen las mismas cuotas y el mismo porcentaje de apuesta. ¿Cuán robustos serán bajo escenarios del mundo real, donde ambos pueden variar? Las pruebas basadas en simulaciones de Monte Carlo revelan que las cuotas pueden variar considerablemente sin tener demasiado impacto en la confiabilidad de los resultados de la calculadora, pero solo si los porcentajes de apuesta son todos iguales. Obviamente, ese no será el caso con el criterio de Kelly.

La calculadora también es robusta para porcentajes de apuesta variables, por ejemplo, los recomendados por el criterio de Kelly, siempre que las cuotas no varíen demasiado. Un ejemplo típico sería el Hándicap Asiático o la diferencia de puntos, donde la mayoría de las cuotas están cerca de 1,95, con una desviación mínima.

La confiabilidad es más débil cuando el VE para estos tipos de apuestas también varía, pero una vez más, ni las cuotas ni el VE para esas apuestas varían demasiado, la calculadora ofrece un método razonable para proporcionar estimaciones rápidas de las expectativas de rentabilidad.

Sabemos que definir expectativas a partir de las apuestas niveladas es relativamente sencillo. Sin embargo, este artículo ha demostrado que también podemos hacer lo mismo con las apuestas de porcentaje. Mientras que la rentabilidad de las apuestas niveladas se distribuirá normalmente, la de las apuestas de porcentaje e distribuye de forma logarítmica normal. Con esta información, he podido desarrollar una calculadora simple para ayudar a los apostadores a definir su rango de expectativas si eligen seguir esta estrategia de administración del dinero.

Recursos para apostar: facultando sus apuestas

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