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jun 14, 2018
jun 14, 2018

Nueva mirada al criterio de Kelly, parte 2: Kelly fraccionado

El problema que plantea el Kelly completo

La aversión a las pérdidas y el criterio de Kelly

Una explicación evolutiva de la aversión a las pérdidas

Perfeccionamiento del criterio de Kelly con fracciones

Nueva mirada al criterio de Kelly, parte 2: Kelly fraccionado

A menudo, el criterio de Kelly es un tema de debate candente entre los apostantes. Pinnacle ha publicado numerosos artículos acerca de este tema, desde explicaciones sencillas hasta análisis complejos. ¿Cómo funciona el enfoque fraccionado en relación con el criterio de Kelly? ¿Es esta la mejor opción para los apostantes expertos? Sigue leyendo para averiguarlo.

En mi artículo del pasado mes volví a analizar el criterio de Kelly como una estrategia para la gestión del dinero. A modo de resumen, Kelly es partidario de apostar un importe proporcional a las probabilidades de ganar y a la ventaja percibida que puedas tener sobre las cuotas de la casa de apuestas.

Sorprendentemente, descubrí que Kelly era capaz de asumir los riesgos de no saber de forma precisa cuál era la ventaja siempre que la media fuera precisa. Sin embargo, aún estaba claro que Joe Peta tenía razón cuando escribió: «No importa el importe calculado de tu rentabilidad esperada ya que la variabilidad será absurdamente alta y descartará toda posibilidad de inversión» en su análisis del criterio de Kelly.

En este nuevo acercamiento, investigo qué podemos hacer para reducir esos riesgos de variabilidad y qué impacto tendrá esto en la rentabilidad esperada.

El problema que plantea el Kelly completo

Se suele decir que uno de los grandes problemas del método de Kelly es que el crecimiento de los fondos será errático y que, en ocasiones, los beneficios se verán interrumpidos por pérdidas significativas. En otras palabras, la evolución de los fondos es volátil.

Si recordamos cómo se calcula el importe de una apuesta de Kelly (ventaja – 1 / cuota – 1), se pueden producir descensos repentinos y pronunciados cuando se pierde una apuesta con un precio corto, que creemos que tiene una expectativa positiva significativa.

Un partido de la Ligue 1 de este mes nos ofrece un ejemplo de lo explicado anteriormente. Una casa de apuestas de la competencia asignó un precio al PSG de 1,35 para derrotar al Caen, mientras que Pinnacle asignó 1,20. Después de contabilizar el margen, esto suponía una ventaja esperada del 11,5 % (asumiendo que el mercado de Pinnacle es el más inteligente) y un porcentaje de importe apostado con Kelly del 32,8 %.

El partido entre el PSG y el Caen finalizó en empate y casi un tercio de los fondos jugados con el método Kelly se habrían perdido en una sola apuesta. Naturalmente, este no es el tipo de descenso que la mayoría de los apostantes puedan tolerar, incluso teniendo otras oportunidades disponibles para hacer aumentar los fondos en una magnitud similar.

Las pérdidas duelen más de lo que se disfrutan las ganancias

Para la mayoría de las personas, incluso aquellas con gusto por el riesgo, las pérdidas de esta magnitud duelen mucho más de lo que podrían disfrutar con unas ganancias de una magnitud similar. En su libro Pensar rápido, pensar despacio, Daniel Kahneman explica cómo sucede esto con un sencillo experimento de reflexión.

A) Recibes 1.000 $, además de tu riqueza actual. Ahora debes elegir una de estas dos opciones:

1) Un 50 % de probabilidades de ganar 1.000 $

2) Obtener 500 $ con total seguridad

B) Recibes 2.000 $, además de tu riqueza actual. Ahora debes elegir una de estas dos opciones:

1) Un 50 % de probabilidades de perder 1.000 $

2) Perder 500 $ con total seguridad

En términos de riqueza absoluta, los resultados de los problemas A y B son idénticos. Si eliges ir a lo seguro en A o B, acabarás con 1.500 $ (además de tu riqueza actual). Si decides jugar, acabarás con 2.000 $ o 1.000 $, dependiendo del resultado. ¿Qué elegiste?

Cuando Kahneman y su compañero Amos Tversky experimentaron con este rompecabezas, observaron que la mayoría de los participantes se decantaban por evitar el riesgo (e iban a lo seguro) cuando se trataba de la ganancia del problema A, y que buscaban el riesgo (y asumían la apuesta) cuando se enfrentaban a la pérdida en el problema B.

Enunciados equivalentes del mismo problema de toma de decisiones deberían ofrecer resultados idénticos. Dado que en este ejemplo no sucedía así, obviamente los participantes no se estaban comportando racionalmente. La explicación es que los problemas A y B tienen puntos de partida (o referencia) diferentes.

En A teníamos la riqueza actual + 1.000 $; en B teníamos la riqueza actual + 2.000 $. Kahneman propone que, ya que pocos de nosotros prestamos mucha atención a estos puntos de referencia, nuestras actitudes hacia las ganancias y las pérdidas no se derivan de nuestra evaluación de los estados absolutos de riqueza, sino de estados relativos. Y en términos de la utilidad de las ganancias y pérdidas, nos desagrada más perder de lo que nos agrada ganar.

¿Aceptarías una apuesta justa a doble o nada que pudiese hacer crecer tus fondos en una tercera parte si ganases, pero que los redujese en un tercio si perdieses? Si no la aceptas, cómo supongo que haríamos la mayoría de nosotros, estás mostrando aversión a las pérdidas. ¿Cómo de alta debería ser la probabilidad de ganar para que consideraras la opción de cambiar de opinión? ¿60 %? ¿70 %? ¿95 %? ¿Más alta?

Una explicación evolutiva de la aversión a las pérdidas

Desde un punto de vista evolutivo, no resulta sorprendente que las pérdidas nos motiven más que las ganancias. Como ha explicado Kahneman, los seres vivos que evalúan las amenazas antes que las oportunidades tienen una mayor probabilidad de supervivencia y reproducción.

Dado que somos los representantes de los ganadores en la línea de la evolución (aquí estamos, después de todo), esto implica necesariamente que la aversión a las pérdidas sea la adaptación seleccionada preferentemente en virtud de lo establecido por la selección natural.

A través de la evolución, nuestros circuitos neuronales se han ido ajustando de forma precisa para detectar cambios relativos en los estímulos en lugar de valores absolutos. Puedes confirmar esta teoría por ti mismo utilizando tres vasos de agua, uno caliente, uno frío y otro a una temperatura intermedia.

Durante más o menos un minuto, deja la mano izquierda en el vaso caliente y la derecha en el frío, antes sumergir las dos manos de forma simultánea en el vaso con una temperatura intermedia. Aunque las dos manos experimentan la misma temperatura absoluta, la izquierda notará más frío y la derecha más calor, debido a los diferentes puntos de referencia con los que ha empezado cada mano.

Perfeccionamiento del criterio de Kelly con fracciones

Si nuestra predisposición a la aversión a las pérdidas hace que necesariamente los riesgos de volatilidad asociados a las apuestas de Kelly completo sirvan para descartar toda posibilidad de inversión, la solución obvia es reducir el importe de las apuestas de Kelly. Pero ¿cómo influirá esto exactamente en la rentabilidad esperada de esta estrategia de gestión del dinero?

Muchas fuentes sugieren que al reducir a la mitad el importe de las apuestas de Kelly, el apostante puede disminuir de forma significativa la volatilidad en la evolución de los fondos y mantener al mismo tiempo la mayoría de los retornos esperados. Vamos a realizar algunas simulaciones para averiguar si esto es correcto.

Tras realizar la misma serie de 250 apuestas a doble o nada, en las que el apostante mantenía una ventaja del 4 % (porcentaje de victoria esperado del 52 %), el primer gráfico incluido a continuación muestra un ejemplo de una simulación.

Se han comparado cuatro planes de cantidad apostada: Kelly completo, medio Kelly, un cuarto de Kelly y un octavo de Kelly. Si el importe de una apuesta de Kelly completo fue del 8 %, las apuestas de medio, un cuarto y un octavo de Kelly serían del 4 %, el 2 % y el 1 %, respectivamente. Como es lógico, la volatilidad o variabilidad en la evolución de los fondos es máxima en el caso del Kelly completo, y mínima para el octavo de Kelly.

kelly-p2-in-article1.jpg

El siguiente gráfico también muestra que cuando nuestro rendimiento es mejor de lo esperado, la estrategia de Kelly completo es mucho mejor en términos relativos que sus equivalentes fraccionados.

kelly-p2-in-article2.jpg

Asimismo, cuando las cosas no vayan bien, el Kelly completo generará unas pérdidas mucho mayores. El tercer gráfico muestra una serie de 10 pérdidas consecutivas que supusieron una reducción de los fondos de un 30 %. Con las apuestas con un octavo de Kelly, la reducción de fondos fue de tan solo un 3,75 %. Tal como se ha explicado anteriormente, este tipo de pérdidas son especialmente dolorosas para la mayoría de los apostantes, a pesar de la mayor recompensa que se puede obtener con el Kelly completo.

kelly-p2-in-article3.jpg

Pero estos son solo tres posibles ejemplos para un apostante de doble o nada que tenga una ventaja del 4 %. Necesitamos realizar otra simulación de Montecarlo para determinar qué se puede esperar de media.

Realizo otra simulación de Montercarlo de 10.000 apuestas, comparando los cuatro planes de Kelly fraccionados para conocer sus probabilidades de acabar con menos fondos de los que había en un principio. Recuerda que observamos que aproximadamente el 14 % de los ejemplos finalizaron con menos del 60 % de los fondos iniciales, lo que confirma las críticas originales a esta estrategia de Joe Peta.

En esta nueva simulación, este resultado se reprodujo dentro de lo posible. El conjunto completo de probabilidades se muestra en la siguiente tabla.

Probabilidades con Kelly fraccionado

Fondos finales

Kelly completo (4 %)

Medio Kelly

Cuarto de Kelly

Octavo de Kelly

< 100 %

38 %

34 %

29 %

29 %

< 80 %

25 %

12 %

2 %

0 %

< 60 %

15 %

2 %

0 %

0 %

< 40 %

5 %

0 %

0 %

0 %

< 20 %

0 %

0 %

0 %

0 %

Aunque reducir el importe de las apuestas de Kelly no influye significativamente en la probabilidad de no obtener algún tipo de beneficio después de 250 apuestas a doble o nada, sí que ofrece una protección ante pérdidas significativamente superiores al 20 %.

Reducir a la mitad las apuestas de Kelly también reduce a la mitad la probabilidad de perder el 20 % de los fondos. Volver a reducir el importe apostado a la mitad reduce la probabilidad casi a cero. Para pérdidas del 40 %, la reducción del riesgo es todavía más significativa. Pero ¿a qué coste en términos de rentabilidad esperada?

En la siguiente tabla se muestra la media y la mediana de los fondos después de 250 apuestas con cada una de las cuatro estrategias.

Fondos después de 250 apuestas

Fondos finales

Kelly completo (4 %)

Medio Kelly

Cuarto de Kelly

Octavo de Kelly

Media

147

121

110

105

Mediana

122

116

109

105

Aunque el beneficio medio esperado para la estrategia de medio Kelly es significativamente inferior al de la estrategia de Kelly completo, la mediana esperada tan solo se ve reducida en alrededor de un cuarto. Recuerda que dado que los planes de importe apostado proporcionales se desvían de la rentabilidad media esperada debido a unos pocos fondos finales de gran tamaño, la mediana probablemente ofrezca una medición más precisa de lo que cabría esperar que pasara habitualmente. Por ejemplo, una mediana de 116 implica que aproximadamente el 50 % de los fondos finales serán inferiores o iguales a 116, y aproximadamente el 50 % serán superiores a 116. Por lo tanto, parece que reducir los riesgos disminuyendo a la mitad el importe de las apuestas (o más) de Kelly es un precio que vale la pena pagar.

La tabla final muestra los resultados de una segunda simulación de Montecarlo en la que el apostante mantiene una ventaja del 8 % (un 54 % de probabilidades de ganar). En general, las conclusiones son similares: los riesgos de pérdida se pueden reducir significativamente renunciando solamente a una pequeña proporción de la rentabilidad esperada (mediana).

Kelly fraccionado

Fondos finales

Kelly completo (4 %)

Medio Kelly

Cuarto de Kelly

Octavo de Kelly

< 100 %

28 %

16 %

13 %

11 %

< 80 %

20 %

9 %

3 %

0 %

< 60 %

13 %

4 %

0 %

0 %

< 40 %

9 %

1 %

0 %

0 %

< 20 %

2 %

0 %

0 %

0 %

Media

500

224

150

122

Mediana

223

182

142

121

¿Una versión fraccionada del criterio de Kelly es el mejor método de cantidad apostada?

El Kelly fraccionado parece ofrecer al apostante una solución a los riesgos de volatilidad asociados al Kelly completo, sin perder por ello mucha de la ventaja que la estrategia de Kelly ofrece en comparación con las apuestas con importes fijos. Esperamos que esto sea una buena noticia para los apostantes con aversión a las grandes pérdidas.

Naturalmente, y como siempre, una batalla mucho más difícil es estar seguro de tener ventaja sobre las cuotas publicadas, ya que creer y saber que se tiene esa ventaja no es lo mismo. En este sentido, no dejes que te engañe el exceso de confianza.

Recursos para apostar: facultando sus apuestas

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