Eine große Schwäche von Poisson-Modellen ist deren mangelhafte Vorhersagefähigkeit für torlose Unentschieden. In diesem Artikel geht es darum, ein Poisson-Modell so anzupassen, dass torlose Unentschieden bessere Berücksichtigung finden. Lesen Sie weiter, um mehr zu erfahren.
Eines der beliebtesten Modelle für die Vorhersage von Fußballergebnissen ist das Poisson-Modell (oder eine Variante davon). Die einfachste Herangehensweise sieht vor, für jede Mannschaft einen Parameter für erwartete Tore festzulegen und dann die Ergebnisse entsprechend vorherzusagen.
Beim Poisson-Modell wird als Parameter für die Heimmannschaft der Ligadurchschnitt für die Trefferrate von Heimspielen genommen und mit einem Angriffsfaktor für die Heimmannschaft und einem Abwehrfaktor für die Auswärtsmannschaft multipliziert. Mit Ersterem wird der Heimvorteil an die Abwehrstärke der Gastmannschaft (stärkere Abwehr bedeutet weniger Torchancen) angepasst, während mit Letzterem die Torgefährlichkeit der Heimmannschaft einberechnet wird. Die erwartete Trefferrate der Auswärtsmannschaft wird auf ähnliche Weise bewertet, allerdings werden dabei die Torgefährlichkeit der Auswärtsmannschaft und die Abwehrstärke der Heimmannschaft einbezogen.
Die Grenzen von Poisson-Modellen
Wie jedes Modell hat auch das Poisson-Modell Grenzen, wenn es um die Vorhersage von Fußballergebnissen geht. Die Schwäche dieses Modells liegt darin, dass Ergebnisse empfindlich gegenüber Änderungen an den verwendeten Parametern sind.
Die tatsächliche Chance auf ein 0:0-Unentschieden ist bei Mannschaften, die viele Tore schießen, deutlich höher, da sie möglicherweise das Tempo herunterfahren, wenn das Spiel nach einer gewissen Zeit immer noch torlos ist.
Wenn die Parameter für die erwarteten Tore einmal festgelegt sind, geht das Poisson-Modell zudem davon aus, dass die Anzahl der von jeder Mannschaft geschossenen Tore unabhängig voneinander ist. Auch wenn dies in gewisser Weise durch Verwendung der spezifischen Abwehr- und Angriffsfaktoren berücksichtigt wird, können wir nicht wirklich erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit von fünf Toren durch die Auswärtsmannschaft unabhängig davon ist, ob die Heimmannschaft fünf Tore oder gar kein Tor geschossen hat.
Die deutlichste Einschränkung ist die Annahme, dass die Varianz der geschossenen Tore pro Mannschaft gleich der erwarteten Anzahl der Tore ist, ein typisches Merkmal der Poisson-Verteilung. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, diese Nachteile auszugleichen, zum Beispiel durch Poisson-Modelle mit besonders starker bzw. besonders schwacher Streuung und durch das bivariate Poisson-Modell. Eine nähere Betrachtung dieser Varianten würde allerdings den Rahmen dieses Artikels sprengen.
Ein Effekt dieser Einschränkungen führt zusammengenommen zu einer mangelnden Vorhersagefähigkeit der Wahrscheinlichkeit eines 0:0-Unentschiedens, die tatsächlich höher oder geringer sein kann als das Ergebnis aus einem Poisson-Modell. Meine Vermutung ist, dass das Poisson-Modell dazu tendiert, die Möglichkeit eines 0:0-Unentschiedens für Teams unterzubewerten, deren Parameterwert für erwartete Tore vergleichsweise hoch ist.
Die tatsächliche Chance auf ein 0:0-Unentschieden ist bei Mannschaften, die viele Tore schießen, deutlich höher, da sie möglicherweise das Tempo herunterfahren, wenn das Spiel nach einer gewissen Zeit immer noch torlos ist. Umgekehrt haben Mannschaften mit niedriger Torausbeute ein höheres Tempo bis das erste Tor fällt. Das Poisson-Standardmodell würde dies nicht berücksichtigen und daher die Wahrscheinlichkeit auf ein 0:0-Unentschieden überschätzen. Wie gesagt, das ist nur eine Vermutung, die nicht auf Tests basiert – falls jemand Lust hat, dies zu testen, kann er sich gern an mich wenden. Ich würde mich freuen, von Dir zu hören.
Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit von Unentschieden verstärken/abschwächen
Ein Ansatz zum Anpassen der Wahrscheinlichkeiten für ein 0:0-Unentschieden besteht darin, die Wahrscheinlichkeiten eines solchen Unentschiedens zu verstärken oder abzuschwächen und die anderen Vorhersagen entsprechend anzupassen. Dies lässt sich mit einem Fünf-Schritte-Verfahren realisieren, das im Folgenden anhand eines einfachen Beispiel erläutert wird:
Schritt 1: Berechnen des Parameters für erwartete Tore für jede Mannschaft
Dies ist vielleicht der Schritt, der die meiste Zeit beansprucht, es sei denn, Sie haben diesen Schritt automatisiert. Benjamin Cronin liefert dazu eine exzellente Erläuterung in seinem Artikel zur Poisson-Verteilung. Der Kürze halber nehmen wir an, dass der endgültige Parameterwert für die durchschnittliche Anzahl von Toren 1,7 für die Heimmannschaft und 1,2 für die Auswärtsmannschaft ist (dies sind nur zufällige Werte!).
Schritt 2: Berechnen der Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der geschossenen Tore pro Mannschaft
Dies kann mithilfe einer Formel berechnet werden. Über den Link oben finden Sie ein durchgerechnetes Beispiel für diese Formel. In diesem Fall verwenden wir die Formel, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der geschossenen Tore wie folgt zu berechnen:
Schritt 3: Berechnen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Spielergebnissen
Wir können jetzt die Wahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Ergebnisse vervielfachen. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 0:0 ist 18,3 % × 30,1 % = 5,5 %. Die Ergebnisse sind unten aufgeführt. Beachten Sie, dass diese aufgrund der Möglichkeit von weiteren Ergebnissen (zum Beispiel 5:1) zusammen nicht 100 % ergeben. Wir können hinzufügen, dass die Wahrscheinlichkeit für ein anderes Ergebnis 3,7 % ist.
Berechnen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Spielergebnissen
Schritt 4: Berechnen des Verstärkungs-/Abschwächungsparameters für ein 0:0-Unentschieden
An dieser Stelle kommt etwas Subjektivität ins Spiel. Nehmen wir zum Beispiel an, dass Spielstatistiken zu implizieren scheinen, dass ein 0:0 eine Wahrscheinlichkeit von 10 % hätte. Dann müssten wir die 5,5 % auf 10 % erhöhen.
Der Verstärkungsparameter kann wie folgt berechnet werden:
(angenommene Wahrscheinlichkeit eines 0:0) / (vorhergesagte Wahrscheinlichkeit) =(angenommene Wahrscheinlichkeit) / (Prob(0,0))
Für die Darstellung mit dem Symbol α erhalten wir:
α=10/5.5=1.82.
Das bedeutet, dass wir die Wahrscheinlichkeit eines torlosen Unentschiedens um 82 % erhöhen. Wenn sich dieses Ergebnis von 5,5 % auf 10 % erhöht, muss sich die kumulative Wahrscheinlichkeit der anderen Wahrscheinlichkeiten um denselben Betrag verringern, damit der Gesamtwert aller Ergebnisse 100 % ergibt.
Schritt 4: Berechnen des Verstärkungs-/Abschwächungsparameters für die anderen Ergebnisse
Um diesen Faktor mit dem Symbol β darzustellen, können wir folgende Gleichung verwenden:
β = (1-α[Prob(0,0)]) / (1-[Prob(0,0)]) = (1-angenommene Prob) / (1-vorhergesagte Prob)
In diesem Fall erhalten wir: β = (1-0,1) / (1-0,055) = 0,95
Schritt 5: Neubefüllen der Tabelle mit den verstärkten Ergebnissen
Wir können nun abschließend die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Spielergebnisse berechnen, indem wir die 0:0-Wahrscheinlichkeit mit α und den Rest mit β multiplizieren. Wir erhalten dann die folgenden Resultate und eine Wahrscheinlichkeit von 3,5 % für alle anderen Spielergebnisse.
Neubefüllen der Tabelle mit den verstärkten Ergebnissen
Was haben wir über das Anpassen eines Poisson-Modells gelernt?
Im diesem Artikel haben wir stets über die Anpassung des Poisson-Standardmodells diskutiert, um die Wahrscheinlichkeit eines torlosen Unentschiedens zu ändern. Dieses Modell kann erweitert werden, um jedes andere Ergebnis anzupassen. Wichtig ist nur, dass die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse immer so angepasst werden, dass sie zusammen 100 % ergeben.
Neben diesem Ansatz gibt es noch andere Ansätze, mit denen sich Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ergebnisse ändern lassen. So erläuterte beispielsweise Dr. Alun Owen während der MathSport-Konferenz letzten Juni einen möglicherweise besseren Ansatz mit einem verkürzten Poisson-Modell.
Die Anpassung führt nicht zu einer Minimierung der Einschränkungen, die bereits vorher für Poisson-Modelle diskutiert wurden. Tatsächlich werden nur andere Annahmen hinzugefügt – die vermutete Wahrscheinlichkeit eines torlosen Unentschiedens und die Anpassung aller anderen Wahrscheinlichkeiten mittels derselben β-Rate. Ungeachtet dessen kann dieses Verfahren aber eine gute Verbesserung gegenüber herkömmlichen Modellen bringen, die zu einer Über- oder Unterschätzung von torlosen Unentschieden tendieren.