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Nov 1, 2018
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Glück und Pech: Der schmale Grat der Erwartung

Das klassische Münzwurf-Beispiel

Die binomiale Standardabweichung

Ist das Gesetz der großen Zahlen auf Ihrer Seite oder nicht?

Glück und Pech: Der schmale Grat der Erwartung

Wetten werden häufig durch Glück beeinflusst. Manchmal profitieren wir vom Glück, manchmal jedoch können wir auch Pech haben. Es ist wichtig, zu verstehen, welche Rolle das Glück beim Wetten spielen kann, doch wie schmal ist der Grat zwischen Glück und Pech? Lesen Sie weiter, um mehr zu erfahren.

Sportwetten haben viel mit Zufall zu tun. Gewinne werden in den meisten Fällen durch Glück erzielt, doch die Buchmacher-Margen und das Gesetz der großen Zahlen besiegen am Ende fast jeden. Diejenigen von Ihnen, die meine Artikel der vergangenen Jahre kennen, wissen, dass ich eine Geschichte ohne Kompromisse erzähle, wenn es um die Wahrscheinlichkeit geht, dass Wettende tatsächlich langfristige Profite erzielen. Ich erwarte nicht unbedingt, dass Sie meine Ansicht teilen, denn sie kennzeichnet den Kampf eines jeden Wettenden zwischen Hoffnung und Realismus.

Dieser Geschichte stehen viele Artikel der Wettressourcen von Pinnacle gegenüber, die den Wettenden bessere Prognosefähigkeiten vermitteln sollen. Dennoch gelten selbst für die Wenigen mit einer langfristig profitablen Gewinnerwartung die Grundregeln der Wahrscheinlichkeit. In diesem Artikel befasse ich mich genauer damit, wie. Insbesondere erläutere ich, wie schmal der Grat zwischen Glück und Pech ist.

Das klassische Münzwurf-Beispiel

Wir alle wissen, dass der Wurf einer Münze eine Wahrscheinlichkeit von 50 zu 50 bedeutet: Kopf oder Zahl. Wir wissen ebenfalls, dass wir bei 20 Würfen nicht notwendigerweise 10 Mal Kopf und 10 Mal Zahl erhalten, wenngleich dies das wahrscheinlichste Ergebnis darstellt. Gelegentlich erhalten wir 12 Mal Kopf und 8 Mal Zahl, und manchmal das umgekehrte Resultat. Sehr selten können wir 5 Mal Kopf und 15 Mal Zahl beobachten. Um die exakten Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis zu bestimmen, können wir die Binomialverteilung nutzen. Für 20 Münzwürfe sieht diese wie folgt aus.

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Der wahrscheinlichste Ergebnisbereich liegt zwischen 5 Mal Kopf und 15 Mal Zahl sowie 15 Mal Kopf und 5 Mal Zahl. Und bei 100 Münzwürfen? Die Verteilung ist Folgende.

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Dieses Mal ist der Bereich wahrscheinlicher Ergebnisse größer. Dieser liegt bei 20 Münzwürfen zwischen 5 und 15 Mal Kopf, eine Differenz von 10. Bei 100 Münzwürfen verdoppelt sich dieser Bereich in etwa, liegt also zwischen 40 und 60 Mal Kopf. Bedeutet dies nun, dass sich bei einer größeren Stichprobe auch der Bereich möglicher Ergebnisse vergrößert? Nun, ja und nein.

Als der Mathematiker Jacob Bernoulli mit einem solchen Szenario experimentierte, beobachtete er, dass obwohl die absolute numerische Differenz zwischen der Anzahl an Kopf und Zahl mit einer größeren Stichprobe zunimmt, der Anteil an Kopfergebnissen näher an 50 % liegt. 5 von 20 Mal Kopf entspricht 25 %. 40 von 100 jedoch entspricht 40 %. Diese zweite Erklärung, welche die Grundlage für das Gesetz der großen Zahlen bildet, ist der wichtige Teil für das Verständnis der Wahrscheinlichkeit beim Wetten. 

Die binomiale Standardabweichung

Wir können den Bereich oder die Verteilung mithilfe der Standardabweichung messen. Bei einer Binomialverteilung lässt sich die Standardabweichung σ mit der folgenden einfachen Gleichung ermitteln.

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Hierbei ist n die Anzahl der binären Wiederholungen (z. B. Münzwürfe), p die Erfolgswahrscheinlichkeit (Kopf) und q die Fehlerwahrscheinlichkeit (Zahl). Da p + q =1: 

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Und für den simplen Fall, dass p = q (d. h. 0,5): 

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Bei 20 Münzwürfen ist σ = 2,24, während bei 100 Münzwürfen σ = 5 ist.

Die Standardabweichung beschreibt den Bereich der meisten möglichen Ergebnisse. Beispielsweise liegt bei 100 Münzwürfen etwas mehr als ein Drittel der Stichproben innerhalb von ±1σ oder zwischen 45 und 55 Mal Kopf.

Wir haben Bernoullis erste Erkenntnis bestätigt: je größer die Stichprobe, desto größer die absolute Spanne. Doch was, wenn wir statt absoluten Zahlen einen prozentualen Anteil an Kopfergebnissen verwenden? Um den prozentualen Anteil an Kopfwürfen zu berechnen, teilen wir ihre Anzahl durch die Gesamtzahl der Münzwürfe n. Ähnlich müssen wir zur Berechnung der Standardabweichung in Prozent ebenfalls durch n dividieren. 

Daher gilt für einfache 50:50-Wetten: 

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Nun beträgt die prozentuale Standardabweichung für Kopf bei 20 Münzwürfen 0,11 (oder 11 %), für 100 Münzwürfe jedoch lediglich 0,05 (oder 5 %).

Das Gesetz der großen Zahlen

Nach dem Gesetz der großen Zahlen sollte der Durchschnitt der erzielten Ergebnisse aus einer Anzahl von Versuchen näher in Richtung des erwarteten Werts tendieren, da mehr Versuche durchgeführt werden. Bei Münzwürfen bedeutet dies, je häufiger wir die Münze werfen, desto näher liegt der Prozentwert für das Ergebnis Kopf an dem erwarteten Wert von 50 %.

Da die prozentuale Standardabweichung proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Münzwürfe ist, bilden die zwei Variablen etwas, das als Potenzgesetzbeziehung bezeichnet wird, mit einer Standardabweichung, die mit der Potenz oder dem Logarithmus der Anzahl der Würfe variiert. In einer doppelt logarithmischen Darstellung wird sie durch eine gerade Linie repräsentier, wobei sich mit jedem Quadrat von n der Wert von σ halbiert.

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Diese Potenzgesetzbeziehung bedeutet, dass der Rückgang der Standardabweichung proportional gesehen hauptsächlich in den ersten paar Versuchen auftritt. Von σ = 0,5 nach 1 Münzwurf erfolgt nach nur 25 Würfen ein Rückgang auf lediglich 0,1. Dies entspricht vier Fünfteln des Abstands zum Grenzwert Null (nach einer unbegrenzten Anzahl an Würfen). Auf diese Weise können wir erkennen, wie schnell das Gesetz der großen Zahlen tatsächlich Anwendung findet. Eine erneute Darstellung der obigen Grafik mit linearen Skalen sollte die Geschwindigkeit besser verdeutlichen. 

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Gewinne und Verluste beim Wetten

Gewinne und Verluste beim Wetten ähneln stark Kopf und Zahl beim Münzwurf. Eine Wette ist im Wesentlichen eine binäre Ausgangsmöglichkeit: entweder, sie gewinnt oder nicht. Somit sind bei den simpelsten Wettverläufen, bei denen die erwartete Wahrscheinlichkeit für jeden Gewinn dieselbe bleibt, die möglichen Ergebnisse ebenfalls binomial verteilt.

Ein gutes Beispiel für diese binäre Ausgangswahrscheinlichkeit sind die Punkte-Handicap-Wetten der US-amerikanischen Sportwettenmärkte oder Fußball mit asiatischem Handicap, wobei die Anwendung eines Handicaps auf die eine oder andere Seite eine Ausgangswahrscheinlichkeit von 50:50 für die Wette erzeugt, mit fairen Quoten von 2,00. 

Jedoch brauchen wir uns nicht auf Wahrscheinlichkeiten von 50:50 zu beschränken. Denken Sie an die oben stehende Gleichung für die prozentuale Standardabweichung. Die allgemeinere Version ermöglicht Ihnen die Betrachtung anderer möglicher prozentualer Gewinnerwartungen wie folgt. 

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Selbst für erfahrene Wettende mit einem langfristig hohen Gewinnerwartungswert besteht das Geschehen größtenteils aus einem zufälligen Grundrauschen, in dem ein relativ schwaches Signal verborgen ist. Dies liegt schlicht an der zufälligen inhärenten Variabilität komplexer Systeme wie Sportveranstaltungen.

Selbstverständlich bleiben unerfahrene Wettende bei echten Wetten nicht verlustfrei, indem sie auf die erwarteten Ergebnisse setzen. Wenn Sie die Buchmacher-Marge einrechnen, wird unverkennbar deutlich, dass Sie nach 1.000 Wetten Geld verloren haben werden.

Stellen Sie sich einen Wettenden vor, der auf 50-50-Wetten setzt und langfristig 55 % von diesen gewinnt. Dieser Wettende hat seine Gewinnerwartung durch prädiktive Fähigkeiten von 50 % auf 55 % erhöht, dennoch gelten auch für ihn dieselben binomialen Abweichungsregeln.

Mit der obigen Gleichung konnten wir zeigen, dass seine Standardabweichung der Wettgewinne nach 275 Wetten 3 % betragen sollte, mit einer in etwa zwei Drittel betragenden Wahrscheinlichkeit für eine Gewinnrate zwischen 52 % und 58 % bei dieser Wettverlaufsgröße. 

Vorausgesetzt, unsere Wetten bleiben simpel und die Gewinnerwartungen (Quoten) für jeden Einsatz unverändert, können wir die Binomialverteilung nutzen, um relativ genau die Wahrscheinlichkeit für jedes Geschehen zu bestimmen (in Excel ist dies mithilfe der Funktion BINOM.VERT möglich).

Ich habe dies nachstehend für eine Reihe von Wettverläufen illustriert. Der erste ist ein Verlauf von lediglich 20 Einsätzen. Die numerischen Werte in der grafischen Darstellung zeigen die kumulative Wahrscheinlichkeit der tatsächlichen prozentualen Gewinnrate oberhalb eines bestimmten Werts. So haben Sie beispielsweise eine Chance von 9 %, mehr als sechs Wetten zu gewinnen (30 %), wenn Ihre langfristige Erwartung bei 20 % liegt. Sie haben eine Chance von etwa 1 %, 20 von 20 zu gewinnen, wenn Ihre typische Erwartung bei 16 Gewinnen liegt. 

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Die roten und grünen Zonen markieren grob gesagt die Verlust- bzw. Gewinnzonen bei fairen Quoten. Es ist wenig überraschend, dass Sie finanzielle Verluste erleiden, wenn Sie mehr Wetten als erwartet verlieren, doch wie Sie sehen können, ist eine signifikante Abweichung nach unten eher selten.

Selbst nach nur 20 1:1-Einsätzen können Sie während drei Vierteln der Zeit neun oder mehr Gewinne erwarten. Das Gesetz der großen Zahlen ist auf Ihrer Seite und schützt Sie vor dem Risiko signifikanter prozentualer Verluste.

Dennoch bleibt die logische Konsequenz ebenfalls nicht aus. Wenn Sie mehr Wetten gewinnen als erwartet, erzielen Sie einen Profit, es ist jedoch nicht wahrscheinlich, dass Sie hohe Gewinne erwirtschaften. Selbst, wenn Sie über große Wetterfahrung verfügen und Ihre Gewinnerwartung bei 1:1-Wetten 55 % beträgt, haben Sie lediglich eine Chance von 13 %, 14 oder mehr Wetten von 20 zu gewinnen. Nun ist das Gesetz der großen Zahlen gegen Sie und verhindert signifikante prozentuale Zuwächse. 

Die gelbe Zone repräsentiert in etwa den verlustfreien Bereich für die Wettenden. Auffällig ist, wie dünn der Bereich zwischen übermäßigem Glück und Pech ist, und wo die höchste Wett-Performance zu finden ist.

Betrachten Sie, was mit der gelben Zone nach 100 Einsätzen geschieht.

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Die Chancen, weit von Ihrer langfristigen Erwartung entfernt zu sein, sind beträchtlich gesunken. Und nach 1.000 Einsätzen?

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Selbstverständlich bleiben unerfahrene Wettende bei echten Wetten nicht verlustfrei, indem sie auf die erwarteten Ergebnisse setzen. Wenn Sie die Buchmacher-Marge einrechnen, wird unverkennbar deutlich, dass Sie nach 1.000 Wetten Geld verloren haben werden. Das Gesetz der großen Zahlen hat Sie vernichtet. Für erfahrene Wettende jedoch zeichnet sich ein deutlich anderes Bild.

Wenn Sie erwarten, 55 % von 1.000 1:1-Wetten zu gewinnen, werden Sie fast immer mindestens 50 % von diesen gewinnen. Vorausgesetzt, die Buchmacher-Marge ist geringer als die Differenz zwischen Ihrer erwarteten prozentualen Gewinnrate und der vom Buchmacher erwarteten prozentualen Gewinnrate, haben Sie eine sehr gute Chance, langfristige Gewinne zu erzielen. Die angesehene Website ProfessionalGambler.com bringt dies deutlich auf den Punkt:

“Die Differenz zwischen dem Anteil an Wetten, die von erfolgreichen Sport-Wettenden gewonnen werden, und dem Anteil an Wetten, die von chronischen Verlieren gewonnen werden, ist relativ gering.”

Nun sehen Sie, wie gering sie tatsächlich ist. Das Gesetz der großen Zahlen kann für einen Wettenden sowohl Segen als auch Fluch sein. 

Üblicherweise sind die Wetten der meisten Menschen nicht so simpel, wie es in diesem Artikel scheint, sondern beinhalten eine Vielzahl unterschiedlicher Quoten und Einsatzmöglichkeiten. Um diese zu analysieren, müssten wir weitaus anspruchsvollere Mathematik anwenden oder uns unsererMonte Carlo-Simulation zuwenden, wo dies zu komplex wird. 

Darüber hinaus habe ich die Abweichungen in den tatsächlichen Gewinnen und Verlusten nicht berücksichtigt, da diese Bestandteil eines anderen interessanten Themengebiets sind, das ich in vorherigen Artikeln bereits behandelt habe (je höher die Quoten, desto größer die Varianz in den Gewinnen und Verlusten).

Dennoch war das Ziel dieses Artikels, die Geschwindigkeit und die Macht des Gesetzes der großen Zahlen, den schmalen Grat zwischen erwarteten und tatsächlichen Ergebnissen sowie die Bereiche von Glück und Pech zu verdeutlichen.

Überprüfen der Zuverlässigkeit von Wettverläufen

Bevor ich schließe, möchte ich Ihnen ebenfalls zeigen, wie Sie Informationen über die Standardabweichung in tatsächlichen Gewinnraten nutzen können, um die Zuverlässigkeit von Wettverläufen zu überprüfen, die von obskuren Beratungsdiensten in der Hoffnung angeboten werden, Ihnen ihre Auswahlen zu verkaufen. 

Wir können ein Beispiel eines Handicapping-Unternehmens verwenden, das ein “ehrliches und führendes Konzept” für seine “Handicapping-Prinzipien” anbietet. Das Unternehmen ist sich offenbar des Zufallsprinzips bei Sportwetten bewusst, erklärt seinen Kunden, dass es so etwas wie garantierte Gewinne nicht gibt und dass “jeder Wettbewerb ein Glückselement beinhaltet.” Dennoch hat das Unternehmen mit einer veröffentlichten Gewinnquote von 76 % aus mehr als 11.000 Auswahlen nachweislich die Unbeständigkeit besiegt.

Nach dem Gesetz der großen Zahlen sollte der Durchschnitt der erzielten Ergebnisse aus einer Anzahl von Versuchen näher in Richtung des erwarteten Werts tendieren, da mehr Versuche durchgeführt werden.

Eine genauere Untersuchung der veröffentlichten Ergebnisse ergibt tatsächlich eine Gewinnquote von 75 % aus 10.312 Auswahlen (ein paar Tipps fehlen offenbar). Obwohl einige wenige niedrig- und hochpreisige Spezialwetten enthalten sind, haben 94 % von diesen Quoten zwischen 1,67 und 2,50 (oder 60 % und 40 % implizierte Gewinnwahrscheinlichkeit). Die durchschnittliche implizierte Gewinnwahrscheinlichkeit für die gesamte Stichprobe beträgt 52,2 %, die nach Abzug der Buchmacher-Marge nahezu einer 50-50-Wette entspricht.

Die Aufschlüsselung der Ergebnisse in 56 monatliche Stichproben (von März 2014 bis Oktober 2018) ergibt einen Monatsdurchschnitt von 184 Auswahlen, von denen mehr als die Hälfte zwischen 140 und 224 Auswahlen liegt. Wenn wir voraussetzen, dass die langfristig erwartete Gewinnquote bei 75 % Prozent liegt, um wie viel sollte der monatliche prozentuale Gewinn abweichen? Die Anwendung unserer obigen Gleichung zur Berechnung der erwarteten Standardabweichung bei den prozentualen Gewinnen für eine Stichprobe von 184 Auswahlen ergibt einen Wert von etwas mehr als 3 %. Nur knapp über zwei Drittel der Stichproben sollte in etwa zwischen 72 % und 78 % liegen, während 95 % circa zwischen 69 % und 81 % liegen würden.

Tatsächlich beträgt die Standardabweichungen bei den monatlichen prozentualen Gewinnen 8,6 % und liegt somit deutlich höher als sie sollte. Weniger als 40 % der Werte liegen innerhalb ±1σ von 75 % und kaum mehr als die Hälfte innerhalb von ±2σ. Dies sind schlicht zu viele Abweichungen. Selbst unter der Voraussetzung, dass jeder Monat lediglich 32 Auswahlen beinhaltet, würde der Monat mit der geringsten Anzahl lediglich eine Standardabweichung von nur 7,7 % aufweisen. 

Eine Standardabweichung von 8,6 % bei den monatlichen prozentualen Gewinnen würde üblicherweise für etwa 25 Auswahlstichproben erwartet, nicht für 184. Im Dezember 2014 gab es 151 Auswahlen mit einer durchschnittlichen implizierten Gewinnerwartung von 51,4 %. Die Gewinnrate von 46,4 % wäre nur einmal in einer Million Milliarden Jahren zu erwarten. Im Oktober 2015 gab es 168 Auswahlen (durchschnittliche implizierte Gewinnerwartung 48,5 %), von denen 154 oder 91,7 % Gewinne erzielten. Selbst ein derart erfahrener Tippgeber würde einen solchen Erfolg nur etwa einmal innerhalb von einer Million Jahren erzielen.

Ich überlasse es Ihrer Vorstellung, was diese Erkenntnisse nahelegen. Vielleicht ist es ein Argument dafür, dass sich Fähigkeitsniveaus innerhalb kürzester Zeit erheblich verändern können. Vielleicht ist es auch ein Argument für etwas anderes. Ich bin mir sicher, dass Sie auch vor meinen Ausführungen über die Grenzen der Gewinnerwartung bereits wussten dass eine Handicap-Gewinnquote von 76 % etwas ist, über das man schmunzeln kann, um sich anschließend anderen Dingen zu widmen.

Wettressourcen – Für bessere Wetten

Die Wettressourcen von Pinnacle sind eine der umfangreichsten Sammlungen von Expertenratschlägen zum Thema Wetten im Internet. Sie richten sich an alle Erfahrungslevel mit dem Ziel, den Wettenden wertvolles Wissen zu vermitteln.