Jul 10, 2020
Jul 10, 2020

Wie viel soll ich setzen, wenn ich meine Chance nicht kenne?

Einsatzpläne neu gedeutet – mit Kelly

Genaueres zu Einheitverlust, -gewinn- und -wirkung

Die Asymmetrie des Gewinns

Die Symmetrie der Wahrscheinlichkeit

Wie viel soll ich setzen, wenn ich meine Chance nicht kenne?

Wettende versuchen oft, dem Markt ein Schnippchen zu schlagen. Wenigen gelingt dies, vielen mehr bleibt diese Gunst verwehrt. Chancen aufzutun ist eine Sache, unglaublich wichtig ist aber auch der Wetteinsatz. Wie viel soll ich setzen, wenn ich meine Chance nicht kenne? Lesen Sie weiter, um mehr zu erfahren.

Die beiden Aktionäre Andrés Barge-Gil and Alfredo García-Hiernaux der Wettplattform Pyckio haben im Mai 2020 einen Artikel im Journal of Sports Economics veröffentlicht, indem sie darauf eingingen, wie viel ein professioneller Wettender setzen müsse, wenn die tatsächlichen Gewinnchancen unbekannt sind.

Fraglich ist, ob unter diesen Bedingungen langfristig überhaupt ein Profit möglich ist, Barge-Gil und García-Hiernaux wiesen allerdings darauf hin, dass viele Sportwettende offen eingestehen, die wahren Gewinnchancen nicht einschätzen zu können.

Interessanterweise gibt ihre Untersuchung aber darüber Aufschluss, wie sich unterschiedliche Einsatzpläne in Varianten des Kelly-Kriteriums umdeuten lassen. In diesem Artikel möchte ich ihre Bemühungen zusammenfassen und mir ansehen, ob sich auf Ihren Erkenntnissen aufbauen lässt.

Einsatzpläne neu gedeutet – mit Kelly 

Das Kelly-Kriterium ist als Einsatzstrategie wohl eines der beliebtesten Geldmanagement-Themen in der Welt der Sportwetten. In den Wettressourcen von Pinnacle gibt es dazu tatsächlich viele Artikel. Einige davon habe ich selbst verfasst und kam dabei insbesondere zu folgendem Ergebnis: Wird ein einfacher Kelly-Einsatz auf eine Wette gesetzt und diese gleich danach abgerechnet, so ist es für diese Strategie unerheblich, wenn der exakte Vorteil nicht bekannt ist, solange der durchschnittliche Wert präzise ist. 

Barge-Gil und García-Hiernaux zeigen in Ihrem Artikel, dass Wettende das Kelly-Kriterium gegen verschiedene Geldmanagementpläne austauschen, wenn keine genauen Schätzungen der tatsächlichen Wettchancen bekannt sind.

Einheitverlust

Als erstes wäre da die „Level Stakes“- oder Einheitverluststrategie. Hier setzt der Wettende jedes Mal den gleichen Einsatz, egal, wie die Quoten stehen. Je höher die Quote, desto mehr klingelt die Kasse bei einem Gewinn, der aber entsprechend unwahrscheinlicher wird.

Mit Kelly umformuliert entspricht der Einheitverlust einem Plan, wo sich Erwartungswert oder Ertrag direkt proportional zu den Quoten verhalten. Die Höhe des Kelly-Einsatzes entspricht EW / Quoten – 1 (EW = Erwartungswert, alles über 0 gilt als profitabel). Dieser Quotient ist beim Einheitverlustplan konstant.

Bei einem EW von 10 % (0,1) und einer Quote von 2,00 wäre der Einsatz 0,1. Bei einer Quote von 4,00 müsste der EW auf 30 % steigen, um den Einsatz sicher bei 0,1 zu halten. Bei einer Quote von 101,00 müsste der EW bei 10 oder 1.000 % liegen, was etwas unrealistisch scheint. Daraus ergäbe sich eine tatsächliche Quoten von 9,18. Einen so kapitalen Bock würde kein Buchmacher je schießen.

Im Fall einer Grenzwertberechnung mit unendlichem Argument konvergiert die tatsächliche Quote wirklich gegen den Höchstwert von 1 / Einsatz, in dem Fall 10. Gegen Einheitverlusteinsätze spricht vor allem, dass sie zu viel für Außenseiter mit niedrigen Gewinnchancen riskieren. Sinn macht das mit Kelly nur, wenn der EW wirklich proportional mit der Quote steigt. Und wie sich zeigen lässt, ist das kaum glaubhaft.

Einheitgewinn

Als zweiter wettüblicher Geldmanagementplan wäre da der Einheitgewinneinsatz. Der Einsatz wird dabei so gewählt, dass der Wettende unabhängig von der Quote immer denselben Gewinn erzielt. Bei angestrebten 100 € Gewinn und einer Quote von 2,00 müssten 100 € und bei einer Quote von 5,00 25 € gesetzt werden. Der Einsatz ist proportional zum reziproken Quotenwert – 1. Mit Kelly folgt daraus, dass der EW bei der Einheitgewinnstrategie absolut unabhängig vom Kelly-Kriterium ist. Alle EWs sind für alle Quoten gleich.  

Wie schon beim Einheitsgewinneinsatz scheint hier etwas nicht ganz zu stimmen. Wie kann denn jemand immer denselben Wettvorteil haben, egal, ob die Quote 1,11 oder 111,00 beträgt? Das gesammelte Wissen um die Varianz lassen dies nicht sehr realistisch erscheinen. Habe ich bei einer Quote von 111,00 einen EW von 20 % (0,2), dann liegt die tatsächliche Quote für diesen EW bei einer Quote von 1,11 unter 1, was absoluter Unsinn ist. Nichts auf dieser Welt tritt mit über 100 % Wahrscheinlichkeit ein.

Einheitwirkung

Barge-Gil und García-Hiernaux haben eine Aternative vorgeschlagen, die besser zur Kelly-Strategie passen soll: den Einheitwirkungsplan. Bei dieser Strategie wird die Gewinn-Verlust-Differenz unabhängig von der Quote konstant gehalten. 

Der Einheitwirkungseinsatz ist proportional zum reziproken Quotenwert (nicht Quotenwert – 1 wie bei Einheitgewinn). Beträgt der Einsatz 100 € bei einer Quote von 2,00, so liegt der Einheitwirkungseinsatz bei einer Quote von 5,00 bei 40 €. Die Gewinn-Verlust-Differenz beträgt in beiden Fällen 200 € (+100 €/-100 € im ersten Beispiel und +160 €/-40 € im zweiten).

Bei Einheitwirkungseinsätzen ist der EW proportional zum Quotenwert – 1 / Quote. Dieser Quotient konvergiert gegen 1, d. h. der EW steigt zwar mit der Quote, nähert sich dabei aber immer langsamer einem Limes. (Beispiel: EW = 0,1; Quote = 2; EW-Limes = 0,2.) Das ist zwar nicht so extrem wie beim Einheitgewinneinsatz, wo der EW unverändert bleibt, scheint aber erneut zu unterschätzen, dass bei höheren Quoten höhere EWs möglich sind.

Wer erfolgreich auf Pferderennen wettet, übertrifft den Point-Spread bzw. Asian-Handicap-Markt normalerweise um mehr als das Doppelte, was allerdings nicht unbedingt heißen muss, dass dabei mehr Geschick (oder Glück) im Spiel ist. Die größere Varianz hilft einfach nach. 

Im Sinne von Barge-Gil und García-Hiernaux zeigt das folgende Diagramm, wie der EW für die drei verschiedenen Einsatzpläne mit der Quote variiert (EW beträgt bei einem Quotenwert von 2,00 jeweils 3 %).

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Wie gesagt scheinen Einheitverlust- und Einheitgewinnpläne jeweils unrealistische Quoten-EW-Verhältnisse zu ergeben.

Barge-Gil und García-Hiernaux analysierten die Tipp-Datenbank von Pyckio und kamen zu dem Schluss, dass die beobachteten und erwarteten Gewinne der Wettenden (basierend auf Schlusspreisen) am besten von einem Quoten-EW-Verhältnis wiedergegeben wird, wie es aus Einheitwirkungseinsätzen folgt. Mich überzeugt das nicht ganz. Zur Erinnerung: Einheitwirkungseinsätze können den EW für die Quote von 2,00 höchstens verdoppeln. Gibt es eine bessere Alternative? 

Zurück zur t-Verteilung

Drei Jahre ist es her, dass ich in den Wettressourcen von Pinnacle die t-Verteilung vorgestellt habe, um Wett-Tippgeber zu bewerten und Glück von Geschick zu unterscheiden. Ähnlich wie die Normalverteilung (die verwendet wird, wenn die Standardabweichung der Stichprobe statt der Grundgesamtheit bekannt ist) kann die t-Verteilung dabei helfen, festzustellen, wie unwahrscheinlich eine gegebene Stichprobenverteilung ist, wenn man den Mittelwert der Grundgesamtheit kennt.

Ich habe Wettenden mit der t-Verteilung immer wieder zu zeigen versucht, wie wahrscheinlich ihre Wettergebnisse auch ohne Können per Zufall reproduzierbar sind. Je kleiner die Wahrscheinlichkeit, desto mehr kann ich subjektiv darauf vertrauen, dass bei meinen Wettgewinnen nicht nur Glück im Spiel war. 

Die t-Statistik oder der t-Wert, aus dem sich die Wahrscheinlickheiten ableiten, sind für diesen Test zentral. Wie ich gezeigt habe, kann ich mich dieser Statistik für Einheitverlusteinsätze mit folgender Formel nähern, wenn die Wettquoten meiner bisherigen Wettergebnisse nicht zu stark variieren.

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n entspricht dabei der Anzahl der Wetten, o der Durchschnittsquote und r der Rendite bzw. der Ausbeute + 1.

Handicappern ist der z-Wert eher ein Begriff und genauso geht es auch hier im Wesentlichen um ein Maß dafür, um wie viele Standardabweichungen mein Wettgewinn größer oder kleiner als ein Null-Mittelwert ist, der erwartet wird, wenn ohne Können und bei fairen Quoten gewettet wird. Zum Beispiel bedeutet ein t-Wert von 2, dass ein besseres Ergebnis als meins nur in 2,5 % der Fälle zu erwarten wäre, wenn ich ohne Können gewettet hätte. Der t-Wert ist also ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Je größer der t-Wert, desto unwahrscheinlicher ist er zu beobachten. Wie wahrscheinlich sind also verschiedene EWs (ohne Können) je nach unseren Wettquoten?

Die Asymmetrie des Gewinns

Angenommen ich wette auf ein Team mit einer Siegchance von 80 % bei fairen Quoten von 1,25. Angenommen der Buchmacher geht irrtümlicherweise von einer Siegchance von 75 % aus. Er macht gerade eine Aktion und verzichtet auf eine Marge. Seine Quote beträgt 1,333. Mein EW beträgt demnach 6,667 % (1,333/1,25 – 1 oder 0,80/0,75 – 1). 

Betrachten wir nun ein zweites Szenario: Die tatsächliche Chance beträgt 20 % (bei fairer Quote von 5,00), aber der Buchmacher nimmt 15 % an (veröffentlichte Quote von 6,667). Diesmal beträgt mein EW 33,33 % (6,667/5,00 – 1 oder 0,20/0,15 – 1). Die Differenz zwischen dem erwarteten Gewinnanteil meiner Schätzung und der des Buchmachers ist gleich, aber der EW ist fünfmal größer. Anscheinend werden mit Blick auf den EW gleiche Fehler umso stärker bestraft, je höher die Quoten sind. Aber wie wahrscheinlich sind diese Fehler? 

Die Symmetrie der Wahrscheinlichkeit

Was passiert, wenn man die obige Formel für den t-Wert umformt (angenommen alle Wetten haben den gleichen Quotenwert o)? Bekannt ist: r = q / p, wobei p die Wahrscheinlichkeit der Buchmacherquote (d. h. 1/o) und q meine („wahre“) Quotenschätzung ist (falls das Prognosemodell richtig ist). Daraus folgt:

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Angenommen n, die Anzahl eigener Wetten, ist 100. Bei q = 0,8 und p = 0,75, t = 1,25. Bei q = 0,2 und p = 0,15 gilt aber auch t = 1,25. Angenommen der Buchmacher hätte recht und nicht unser Modell, so entspräche dieser t-Wert (laut TDIST-Funktion von Excel) einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 10,7 %. 

Bei insgesamt 100 Wetten sollte die Ausbeute in 10,7 % der Fälle dann bei einer Quote von 1,333 über 6,667 % bzw. bei einer Quote von 6,667 über 33,33 % liegen. Höhere Erträge sind bei höheren Quoten gleich wahrscheinlich wie kleinere Erträge bei niedrigeren Quoten. Daher bilden sich Wettgewinner bei Pferderennen ein, viel besser als Handicapper zu sein (bzw. viel schlechter, wenn sie verlieren).

Die folgenden Tabellen versuchen, die Wahrscheinlichkeitssymmetrie abzubilden. Die Werte liegen weit außen, um den Punkt besser zu veranschaulichen. Natürlich kann dies kein Wettender in den meisten Szenarios weder gut noch schlecht bewerkstelligen. 

Die erste Tabelle zeigt die Asymmetrie im EW für unterschiedliche p-q-Kombinationen. Die zweite Tabelle zeigt die Symmetrie in den t-Werten. Die absoluten t-Werte (ohne das Minuszeichen für negative EW, wenn q < p) werden gezeigt, um es anschaulicher zu machen. Aus den oben genannten Gründen sind nicht nur die p-q-Kombinationen von 0,3/0,7 und 0,7/0,3 gleich wahrscheinlich, sondern auch 0,7/0,5 und 0,3/0,1, 0,8/0,7 und 0,2/0,1. 

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Eine neue EW-Quoten-Funktion

Sind Quote und EW gegeben, so ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit t (die sich jeweils bei viermal mehr Wetten verdoppelt). Die t-Wert-Formel lässt sich nach r auflösen. Dies ergibt eine fürchterlichen quadratischen Ausdruck mit einer noch schrecklicheren Lösung. 

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Das ist viel schlimmer als Quote – 1 / Quote. Aber wir stellen ihn unten trotzdem grafisch dar (für EW = 0,03 und Quote = 2,00), gemeinsam mit der vorigen EW-Quoten-Funktion für die Einsatzpläne Einheitverlust, Einheitgewinn und Einheitswirkung.

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Die Funktion geht zwar nicht so leicht von der Hand, ist aber intuitiver verständlich, denn sie drückt den erwarteten Ertrag als statistische Wahrscheinlichkeit aus. Beträgt der EW bei Einheitwirkungseinsätzen für eine Quote von 2,00 3 %, kann er nie größer als 6 % sein. Bei meiner Funktion kann er unendlich wachsen, aber nicht so unglaublich schnell wie bei Einheitverlusteinsätzen, jedoch übereinstimmend mit der statistisch vorhergesagten Varianz. Bei einer Quote von 10 beträgt er 9,4 %, bei 50 23,3 % und bei 1.000 150 %.

Offensichtlich hat diese t-Wert-Funktion den Makel, dass Können des Wettenden nicht zu berücksichtigen. Sie sagt einfach, wie wahrscheinlich Dinge eintreten, wenn kein Können im Spiel ist. Das ist aber ein Missverständnis: Auch wenn Können im Spiel ist, gelten die statistischen Gesetzmäßigkeiten der Varianz. 

Die Lage der orangefarbenen Kurve würde sich ändern, aber die Form wäre gleich. Unten sind Kurven für Wettende mit einem unterschiedlichen Maß an Glück oder (je nach Auffassung) Geschick abgebildet. Die erste Kurve für den Wettenden mit einem EW von 3 % bei einer Quote von 2,00 ist immer noch orangefarben.

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Weiter lässt sich einwenden, dass zudem angenommen wird, Können wäre unabhängig von den Quoten, also für alle Quoten immer gleich. Da Märkte ineffizient sind, wie z. B. der Favourite-Longshot Bias zeigt, ist diese Annahme womöglich unrichtig.

Test der Funktion

Können wir die Gültigkeit dieser neuen EW-Quoten-Funktion testen? Wie meine treuen Twitter- und Football-Data-Follower wissen, nutzt mein Schwarmwettsystem die effizienteren Quoten von Pinnacle, um den verfügbaren EW in den Quoten anderer Buchmacher zu schätzen. 

Anhand einer Stichprobe von Spielquoten aus europäischen Landesligen der Saison 2012/13 bin ich bei 55.237 Gelegenheiten auf einen profitablen EW (> 0) gestoßen. Der Durchschnitt lag bei 2,20 % (nebenbei bemerkt lag die tatsächliche Performance von Einheitverlusteinsätzen bei 1,77 % und damit locker innerhalb der statistischen Fehlerspanne des Modells) und die Durchschnittsquote bei 3,30. Füttert man meine quadratische Lösungsformel mit diesen Zahlen, so lässt sich eine EW-Quoten-Kurve der Funktion bilden (siehe oben). Unten ist das die orangefarbene.

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Vergleicht man dies erst mit den tatsächlichen EWs aus dem Modell mit einer durchschnittlichen Gewinnerwartung von 1 % und dann mit den vorhergesagten EWs und Quoten der Kurve für die Einheitwirkungsfunktion, dann zeigt sich, dass die t-Wert-Funktion die geschätzten EWs ausgehend von den Wettquoten zwar nicht genau, aber doch besser vorhersagt. 

Ein Grund

Aufmerksame Leser mögen jetzt sagen: Wofür soll ich EWs für verschiedene Quoten mit einer EW-Quoten-Funktion vorhersagen, wenn dein Schwarmintelligenzmodell dies explizit für jede Wette tut? Da ist was dran, und der Artikel wäre in dem Fall in weiten Teilen eher theoretisch.

Trotzdem weisen selbst richtige Modelle (im Durchschnitt) von Wette zu Wette epistemische Unsicherheit auf. Aleatorische (oder inhärente) Unsicherheit verunmöglicht zudem praktisch die Ermittlung der tatsächlichen Gewinnchancen.

Zweck der Übung war wie bei Barge-Gil and García-Hiernaux zu zeigen, wie ich versuchen kann, EWs grob zu schätzen, wenn ich mir dieser quantitativen Unsicherheiten bewusst bin, mein Prognosemodell Gewinnchancen nicht explizit schätzt, oder ich eher eine qualitative Prognose nach Gefühl vornehme, statt Daten zu wälzen. Kenne ich meine Quote, so kann ich mit dieser Methode meinen EW schätzen. Kenne ich meinen EW, so kann ich ausrechnen, welchen Kelly-Einsatz ich wählen sollte.

Diese t-Wert-Methodik ist vielleicht etwas sperrig, aber die Ergebnisse machen die Beziehung zwischen Gewinnchance, Erwartungswert und Eintrittswahrscheinlichkeit intuitiv besser verständlich. Zudem zeigt sich, wie Erträge über Quoten hinweg variieren. Wer Kelly befürwortet, für den funktioniert es so meines Erachtens besser als mit Einheitwirkungseinsätzen und ganz bestimmt besser als mit Einheitverlust- und Einheitgewinneinsätzen.

Wettressourcen – Für bessere Wetten

Die Wettressourcen von Pinnacle sind eine der umfangreichsten Sammlungen von Expertenratschlägen zum Thema Wetten im Internet. Sie richten sich an alle Erfahrungslevel mit dem Ziel, den Wettenden wertvolles Wissen zu vermitteln.