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Feb 1, 2019
Feb 1, 2019

Modellieren des Bereichs möglicher Wettrenditen

Die Mathematik hinter der Verteilung von Wettrenditen

Welche Informationen erhalten wir aus der Standardabweichung des Ertrags?

Wie lange können Wettkarrieren ohne Fähigkeiten andauern?

Modellieren des Bereichs möglicher Wettrenditen

Wettende werden häufig von dem Gedanken daran verzehrt, wie viel sie wetten und wie viel sie gewinnen könnten (manchmal mit umgekehrter Reihenfolge der Prioritäten). Wie viel Sie bei einer Wette gewinnen können, ist wichtig, doch Wettende müssen die Rendite in Bezug auf eine größere Anzahl von Wetten betrachten. Wie können Sie den Bereich möglicher Wettrenditen modellieren? Lesen Sie weiter, um mehr zu erfahren.

Kürzlich überprüfte ich in einer Twitter-Diskussion die Renditen eines bekannten Twitter-Tippgebers für den Rennsport. Von 1.015 täglichen Naps (ihre besten Tipps für den Tag) betrug ihr Gewinn vom Umsatz -4,3 %.

"Dies ist eine geeignete Stichprobe zum Testen ihrer Gesamtprofitabilität",

merkte ich an, ohne lange darüber nachzudenken. Eintausend Tipps sind doch schließlich eine angemessene Anzahl, oder nicht? Ich möchte nochmals darauf hinweisen, dass ich mich erst letzten Monat erneut damit beschäftigt habe, wie der Zufall die Ergebnisse von Stichproben dieser Größe beeinflussen kann.

Sagt uns dies nicht dennoch, dass wir hinreichenden Grund zu der Annahme haben, dass uns der betreffende Tippgeber vermutlich nicht die "besten Tipps zu Pferderennen im Internet" gibt, wie behauptet?

Einer meiner Twitter-Follower wandte ein: "Nicht, dass ich Dir nicht zustimmen würde... Aber sind 1.000 Wetten genug, um irgendeine Schlussfolgerung zu ziehen?"

Nachdem ich einen Moment darüber nachgedacht hatte, kam ich zu dem Schluss, dass sie es wahrscheinlich nicht sind. Ich verfasste eine Antwort.

"Tatsächlich hast Du nicht ganz Unrecht. Die Durchschnittsquote der gewinnenden Naps lag bei 2,62. Nehmen wir an, die anderen zwei Drittel, die verloren haben (für welche die Quoten nicht angezeigt wurden), hatten etwas höhere Quoten (weshalb sie verloren), die zu einer Gesamtquote von 3,00 führten.

Die erwartete Standardabweichung im Ertrag für eine Stichprobe von 1.015 Wetten läge bei 0,045 (4,5 %). Unterstellen wir, ihre langfristige Erwartung liegt bei -4,5 %. Dann würden sie zu nahe an diesem Wert liegen. Nehmen wir stattdessen an, ihre Erwartung wäre ausgeglichen. Sie wären etwa eine Standardabweichung davon entfernt - unglücklicherweise, doch sehr wohl innerhalb des Bereichs natürlicher Variationen.

Gehen wir stattdessen nun davon aus, sie lägen bei +4,5 %. Dies wäre zwei Standardabweichungen von dem entfernt, wo sie sich befinden, entsprechend einer Wahrscheinlichkeit von 2,5 %. Sie könnten weiterhin einfach behaupten, dass ihre langfristige Erwartung bei +4,5 % lag, sie jedoch Pech hatten. Für noch höhere erwartete Renditen jedoch wird es zunehmend schwieriger zu argumentieren, dass das Ergebnis von 1.015 lediglich auf Pech zurückzuführen ist." 

Wie bin ich zu einem Wert von 4,5 % für eine erwartete Standardabweichung vom Ertrag gelangt? Dieser Artikel soll genau dies erklären sowie verdeutlichen, wie es uns helfen kann, unsere tatsächliche Wett-Performance im Vergleich zu jeglichen möglichen Erwartungen zu beurteilen.

Die Mathematik hinter der Verteilung von Wettrenditen

Wetten sind binäre Vorschläge: entweder sie gewinnen oder sie verlieren. Im November 2018 habe ich untersucht, wie die Binomialverteilung genutzt werden kann, um uns Informationen über die mögliche Verteilung von Gewinnen und Verlusten für eine Stichprobe von Wetten zu liefern, die den Launen des Zufalls unterliegen. Für eine Stichprobe von n Wetten, bei denen jede eine "echte" Gewinnwahrscheinlichkeit p aufweist, wird die Standardabweichung oder Verteilung möglicher prozentualer Gewinne mithilfe der folgenden Formel ermittelt:

modelling-returns-formula1.png

Bei 100 Wetten mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von jeweils 50 % sollten wir 50 % Gewinne erwarten, wobei die Standardabweichung 5 % beträgt. Anders ausgedrückt liegen etwa zwei Drittel aller möglichen Ergebnisse zwischen 45 % und 55 %, von denen etwa 95 % zwischen 40 % und 60 % liegen. 

Doch wie sieht es abgesehen von Gewinnen und Verlusten mit tatsächlichen Profiten aus? Wir müssen lediglich die obenstehende Formel etwas anpassen, indem wir die Wettquoten einschließen. Nun lässt sich bei einer Quote o für jede Wette eine Standardabweichung möglicher Renditen (oder Gewinn vom Umsatz) wie folgt bestimmen: 

modelling-returns-formula2.png

Nehmen wir an, unsere "echte" Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Beispiel betrug 60 % für vom Buchmacher angebotene 1:1-Quoten, in der Tat ein sehr großzügiger Münzwurf. Die Standardabweichung in den möglichen Erträgen aus 100 Einsätzen entspräche bei 9,798 % oder einer erwarteten Rendite von etwa 20 %.

Für faire Quoten mit o = 1/p reduziert sich die obige Formel auf:

modelling-returns-formula3.png

Wenngleich dieser besondere Fall nur dann wirklich eintritt, wenn ein Wettender eine ausgeglichene Erwartung (Ertrag = 0 %) hat, ist die Differenz zwischen o und 1/p üblicherweise gering, und zwar sowohl für unerfahrene Wettende, welche die Buchmacher-Marge zu tragen haben, als auch für erfahrene Wettende, die dieses Problem überwinden, daher kann dieses Beispiel aus Gründen der Einfachheit gewählt werden. Dies wird durch die nachstehende Abbildung verdeutlicht.

modelling-returns-in-article1.jpg

Für dieses Beispiel unter Verwendung der Kurzformel würde die Standardabweichung stets 10 % betragen, unabhängig vom Wert für p. Doch dies liegt ziemlich nah an der tatsächlichen Standardabweichung für Gewinnwahrscheinlichkeiten zwischen 40 % und 60 %. Für keinen Wettenden, zumindest bei Pinnacle, sollte die Gewinnwahrscheinlichkeit für 1:1-Wetten lediglich 40 % betragen. 

Die meisten Pinnacle-Margen betragen zwischen 1 und 3 %. Quoten von 2,00 mit einer Marge von 2 % implizieren eine Gewinnwahrscheinlichkeit von etwa 49 %. (Die tatsächliche Standardabweichung für den Ertrag aus 100 Wetten läge bei 9,998 %.) Entsprechend weisen die besten Handicap-Wettenden der Welt Gewinnwahrscheinlichkeiten von etwa 55 % bis 56 % auf. (Die tatsächliche Standardabweichung für den Ertrag aus 100 Wetten läge bei 9,928 %.) 

Welche Informationen erhalten wir aus der Standardabweichung des Ertrags?

Kehren wir zurück zu dem anfangs von mir genannten Beispiel, um zu erfahren, welche Informationen uns die Standardabweichung des Ertrags liefern kann. Unter Voraussetzung einer durchschnittlichen Wettquote (o) von 3,00 für die 1.015 Einsätzen für die jeweiligen Wetten (n) und einer "echten" Gewinnwahrscheinlichkeit von 32 % (p), impliziert durch eine Erwartung von -4,3 % ergibt sich aus unserer obigen Gleichung eine Standardabweichung für den Ertrag von 4,39 % (oder 4,44 % unter Verwendung der Kurzformel). 

Die Verteilung möglicher Wetterträge im Bereich der Erwartung stellt sich wie nachstehend abgebildet dar. Sie können dies problemlos selbst mithilfe der NORMVERT-Funktion in Excel erstellen. Wenngleich diese Verteilungen in der Theorie binomial und somit eigenständig sind, ist die (kontinuierliche) Normalverteilung bei Stichproben größer ca. 30 ein sehr zuverlässiger Näherungswert und kann problemlos zur Erstellung dieser Diagramme in Excel verwendet werden. 

modelling-returns-in-article2.jpg

Der Bereich unter der blauen Kurve summiert sich auf 100 %. In diesem Szenario haben wir vorausgesetzt, dass der tatsächliche Ertrag der Erwartung entspricht. Da die Quoten jedoch recht hoch sind, ist das Spektrum möglicher Ergebnisse vergleichsweise groß und gewährleistet, dass auch das wahrscheinlichste Ergebnis von -4,3 % seltener als in 10 % der Fälle eintritt. 

Hat dieser Twitter-Follower meine anfängliche Beobachtung mit Recht in Frage gestellt? Ich denke schon. Wenngleich diese Daten nicht unbedingt den besten Tipp für Pferderennen repräsentieren, wird nicht ersichtlich, dass der Beratungsdienst einen negativen Erwartungswert aufweist. 13,65 % der möglichen Erträge in diesem Szenario sind profitabel und liegen durchaus innerhalb statistischer Akzeptanzgrenzen. Möglicherweise weist der Tippgeber eine bessere Erwartung als -4,3 % auf und hatte schlicht Pech.

Nehmen wir stattdessen an, die Erwartung des Tippgebers wäre ausgeglichen, wie bereits in der Einleitung von mir argumentiert. Nun würde sich die Verteilung wie folgt darstellen: 16,13 % der Erträge in diesem Szenario lägen unterhalb der tatsächlichen Performance, deutlich zu hoch, um die Möglichkeit von Pech zu untermauern.

modelling-returns-in-article3.jpg

Was wäre, wenn die Erwartung +4,3 % betragen würde? Nun ergibt sich die folgende Verteilung. Noch immer sind 2,76 % der Ergebnisse schlechter als die tatsächlichen Daten. Dies ist wenig, doch können wir das Pech wirklich vollständig ausschließen? Dies ist mehr als 1 von 40 Tippgebern, und bei beispielsweise 4.000 Tippgebern geschieht es.

modelling-returns-in-article4.jpg

Nehmen wir schließlich an, dieser Tippgeber hätte zu Recht behauptet, die besten Rennsport-Tipps im Internet anzubieten und würde allgemeiner betrachtet einen Gewinn vom Umsatz in Höhe von 10 % aufweisen. Die möglichen Erträge würden sich wie folgt verteilen.

modelling-returns-in-article5.jpg

Nahezu 2 % sind nicht profitabel, doch weniger als 1 von 1.000 liegt unterhalb der beobachteten 4,3 %. Nun wäre es wohl an der Zeit, diesem Tippgeber übermäßiges Selbstvertrauen zu unterstellen.

Wenn wir unsere Durchschnittsquoten, unseren Ertrag sowie die Anzahl der Wetten kennen, können wir unsere erwartete Standardabweichung in den möglichen Erträge berechnen und jede gewünschte Verteilung darstellen. Wie ich hier gezeigt habe, ist es möglich das tatsächlich durch uns Erreichte von dem zu unterscheiden, was wir denken, erreichen zu können.

Wenn nur eine geringe Chance besteht, dass unser tatsächlicher Ertrag möglich ist, sollten wir vor dem Hintergrund unserer Meinung darüber, was geschehen sollte (sagen wir, weniger als 1 % oder sogar 0,1 %), unsere Erwartungen neu bewerten.

Veränderung der Wettquoten

Wie variiert die Verteilung innerhalb der möglichen Wetterträge bei unterschiedlichen Quoten? Die nachstehende Darstellung gilt für Szenarien mit ausgeglichener Erwartung.

modelling-returns-in-article6.jpg

Es überrascht nicht, dass mit steigenden Quoten die Varianz oder Verteilung in den Ergebnissen ebenfalls zunimmt. Selbstverständlich ist die Varianz (oder Quadrat der Standardabweichung) für diese erwarteten ausgeglichenen Szenarien direkt proportional zu den Quoten minus 1.

Auf höhere Quoten zu setzen bedeutet, dass Sie schlicht aufgrund von Glück eine größere Chance haben, die Erwartung zu übertreffen (die Verteilungsschweife sind bei höheren Erträgen größer). Natürlich gilt umgekehrt leider dasselbe, da die Verteilungen symmetrisch sind.

Veränderung der Länge des Wettverlaufs

Wir können ebenfalls sehen, wie die Größe des Wettverlaufs unsere Verteilung beeinflusst. Die obige Formel sagt uns, dass die Standardabweichung des Ertrags umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Wetten ist. Somit weist eine ausgeglichene Erwartung bei 100 1:1-Wetten (10 %) eine zehnfach größere Verteilung im Vergleich zu einem Datensatz von 10.000 Wetten (1 %) auf. Weitere Beispiele sind nachstehend dargestellt. 

modelling-returns-in-article7.jpg

Die Eingrenzung der Verteilungen mit zunehmender Länge des Wettverlaufs sowie der Anstieg ihrer Höhe ist im Wesentlichen eine visuelle Interpretation des Gesetzes der großen Zahlen. Je größer unsere Stichprobe, desto wahrscheinlicher ist es, dass unser Ergebnis einen Messwert unseres echten Erwartungswerts darstellt.

Wie lange können Wettkarrieren ohne Fähigkeiten andauern?

Überlegen Sie in einem letzten Gedankenexperiment, wie lange es dauern könnte, bis einem unerfahrener Pinnacle-Handicapper mit einer Erwartung von -2,5 % klar wird, dass er unerfahren ist. Die erwartete Standardabweichung des Ertrags einer Person zu können, kann Hinweise liefern.

Die nachstehende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Handicapper nach einer Reihe von Wetten mit unterschiedlichen Wettquoten weiterhin profitabel ist.

Wahrscheinlichkeit, nach n Wetten mit o Wettquoten Gewinn zu erzielen

Wahrscheinlichkeit, nach n Wetten mit o Wettquoten Gewinn zu erzielen

-

Wettquoten (o)

Anzahl Wetten (n)

1,5

2

3

5

10

100

36.34%

40.13%

42.94%

44.98%

46.64%

500

21.73%

28.80%

34.54%

38.89%

42.53%

1,000

13.46%

21.45%

28.68%

34.49%

39.49%

5,000

0.67%

3.85%

10.42%

18.61%

27.56%

10,000

0.02%

0.62%

3.76%

10.35%

19.97%

Bei Buchmachern mit geringen Margen können Sie mit etwas Glück weit kommen, insbesondere bei höheren Quoten. Wenn Sie jedoch Pech haben, führen höhere Quoten natürlich wesentlich schneller in den Ruin.

Dies ist eine ähnliche Tabelle, dieses Mal jedoch für die Wahrscheinlichkeit, 10 % Verluste zu erleiden. Dies ist schlicht eine Konsequenz ihrer größeren Varianz (und breiter gefächerten Verteilungen möglicher Erträge).

Wahrscheinlichkeit, nach n Wetten mit o Wettquoten 10 % Verlust zu erleiden

Wahrscheinlichkeit, nach n Wetten mit o Wettquoten 10 % Verlust zu erleiden

-

Wettquoten (o)

Anzahl Wetten (n)

1,5

2

3

5

10

100

14.73%

22.66%

29.68%

35.25%

40.02%

500

0.95%

4.67%

11.63%

19.86%

28.59%

1,000

0.05%

0.88%

4.57%

11.56%

21.20%

5,000

0.00%

0.00%

0.01%

0.37%

3.69%

10,000

0.00%

0.00%

0.00%

0.01%

0.57%

Wie beständig ist die Formel für echte Wettverläufe?

Sie fragen sich möglicherweise, wie beständig meine Formel bei der Bestimmung der Standardabweichung des Ertrags bei Wetten mit einer Bandbreite verschiedener Quoten ist. Bisher habe ich lediglich vorausgesetzt, dass alle Wetten über dieselben Quoten verfügen. Selbstverständlich setzen die meisten Wettenden auf alle Arten von Quoten. Können wir einfach einen Durchschnittswert für die Wettquoten nehmen und einen zuverlässigen Wert für die Standardabweichung erhalten? 

Bei Buchmachern mit geringen Margen können Sie mit etwas Glück weit kommen, insbesondere bei höheren Quoten. Wenn Sie jedoch Pech haben, führen höhere Quoten wesentlich schneller in den Ruin.

Kehren wir zurück zu den Daten des Tippgebers am Anfang dieses Artikels. Ich habe die fehlenden Quoten (für die Tipps, die niemals veröffentlicht wurden) künstlich ergänzt um eine Durchschnittsquote von 3,00 zu erhalten. Meine tatsächliche Quotenverteilung war beachtlich, mit niedrigsten Quoten von 8/11 (1,73) bis hin zu den höchsten Quoten mit 14/1 (15,0).

Mithilfe des Zufallszahlengenerators von Excel zur Simulation der Ergebnisse mit einer Erwartung von -4,3 % für jede Wette führte ich eine Monte-Carlo-Simulation mit 100.000 Iterationen durch, die mir 100.000 unterschiedliche Erträge für die Stichprobe von 1.015 Wetten lieferte. Der Durchschnittsertrag betrug -4,297 % und die Standardabweichung dieser Erträge lag bei 4,373 %. Innerhalb akzeptabler Fehlermargen entspricht dies effektiv dem von meiner Formel prognostizierten Wert von 4,389 %.

Einige von Ihnen haben möglicherweise die Ähnlichkeit zwischen dieser Methodologie und meiner t-Test-Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit erkannt, dass ein Wettdatensatz durch Zufall entstehen kann. Im Wesentlichen sind die Ansätze beider Methoden sehr ähnlich. Tatsächlich sind die Binominal-, Normal- und t-Verteilungen selbst kleinsten Sticproben (n > 30) im Wesentlichen gleich.

Ich hoffe, dieser Artikel liefert eine bessere Veranschaulichung der Erwartungsbereiche eines Wettenden in Abhängigkeit von seinen Präferenzen und seiner Performance.

Zusätzlich zu meinem t-Test-Rechner zur Überprüfung von Wettdaten stelle ich nun ebenfalls einen Rechner für die Ertragsverteilung zur Verfügung, mit dem Sie Ihre eigenen Datensätze überprüfen können.

Wettressourcen – Für bessere Wetten

Die Wettressourcen von Pinnacle sind eine der umfangreichsten Sammlungen von Expertenratschlägen zum Thema Wetten im Internet. Sie richten sich an alle Erfahrungslevel mit dem Ziel, den Wettenden wertvolles Wissen zu vermitteln.