Okt 18, 2017
Okt 18, 2017

Bewerten der Wettkompetenz: Vergleich von bayesschem und frequentistischem Ansatz

Wie können Wettende ihr Kompetenzniveau einschätzen?

Was ist der Unterschied zwischen bayesschem und frequentistischem Ansatz?

Was sagen Zufallsgrad und erwartete Kompetenzwahrscheinlichkeit aus?

Bewerten der Wettkompetenz: Vergleich von bayesschem und frequentistischem Ansatz

Grob gesagt sind für das Geldverdienen mit Wetten zwei Dinge erforderlich: Können und Glück. Während viele Wettende nicht in der Lage sind, den Einfluss von Letzterem zu erkennen, bleibt auch das Messen von Ersterem oft unberücksichtigt. In diesem Artikel werden die Unterschiede zwischen den verschiedenen Methoden zur Bewertung der Wettkompetenz erläutert und wie die jeweiligen Ergebnisse zu interpretieren sind.

Den Satz von Bayes können Sportwettende verwenden, um bessere Vorhersagen zu treffen. Mithilfe dieses Satzes können wir aber auch ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir tatsächlich gute Vorhersagen treffen und so einen positiven Erwartungswert finden. Ich habe in einem vorherigen Artikel bereits untersucht, wie sich mithilfe eines frequentistischen Ansatzes (t-Test) die Qualität der Wettbilanz einschätzen lässt. In diesem Artikel werden wir die beiden Methoden vergleichen und die Unterschiede herausstellen.

Überzeugungsgrad

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt der Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis in Abhängigkeit vom Eintreten eines anderen Ereignisses stattfinden kann. Hier ein Beispiel: Ich bin überzeugt, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % ein kompetenter Wettender bin, der in der Lage ist, erfolgreiche Wetten abzuschließen. Wenn ich meine nächste Wette gewinne, wie wird dies meine Überzeugung hinsichtlich dieser Aussage beeinflussen? Mit anderen Worten, wie wird die Tatsache des Gewinns einer Wette die Wahrscheinlichkeit ändern, dass ich ein kompetenter Wettender bin? 

Der Satz von Bayes interpretiert die Wahrscheinlichkeit als Überzeugungsgrad (degree of belief) bezüglich einer Aussage oder Hypothese und formalisiert auf mathematische Weise die Beziehung zwischen dem Überzeugungsgrad vor Bekanntwerden der Tatsache (A-priori-Wahrscheinlichkeit) und dem Überzeugungsgrad nach Belegen der Tatsache (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit). Dies wird wie folgt ausgedrückt:

{equation} - P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)

Bezogen auf unser Beispiel gilt:

P(A) = die A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass ich ein kompetenter Wettender bin

P(B) = die A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass ich meine Wette gewinne

P(B|A) = die Wahrscheinlichkeit, dass ich meine Wette gewinne, falls ich ein kompetenter Wettender bin.

P(A|B) = die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein kompetenter Wettender bin, falls ich meine Wette gewinne.

Lassen Sie uns ein Beispiel durchgehen. Angenommen, dass ein kompetenter Wettender jemand ist, der regelmäßig eine Rendite von 110 % erzielt. Für Eins-zu-Eins-Einsätze würde dies besagen, dass von 100 Wettversuchen 55 gewonnen werden. Daher ist die Wahrscheinlichkeit P(B|A) (Ich gewinne meine Wette, falls ich ein kompetenter Wettender bin) 55 %.

Bei einem unerfahrenen Wettenden beträgt die Wahrscheinlichkeit P(B), eine faire Eins-zu-Eins-Wette zu gewinnen, 50 %. Lassen Sie uns dennoch annehmen, dass ich eine A-priori-Überzeugung hinsichtlich einer 50:50-Chance habe, dass ich ein kompetenter Wettender {P(A) = 50%} bin. Damit ist P(B) für einen solchen Wettenden 52,5 % (Hälfte zwischen 50 % und 55 %).

Die besten Handicapper in diesem Business sind in der Lage, Gewinnraten von 57 % zu erreichen. Nach Abzug der Buchmachermarge bedeutet dies eine Rendite von etwa 110 %.

Sollte ich meine Wette gewinnen, kommt bei Eingabe dieser Zahlen in den Satz von Bayes eine A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B) von 52,38 % heraus. Der Gewinn meiner Wette führt mich zu der Überzeugung, dass es einen größere Wahrscheinlichkeit als vorher gibt, dass ich ein kompetenter Wettender bin.

Der Satz von Bayes kann iterativ angewendet werden. Da ich meine erste Wette gewonnen habe und die Wahrscheinlichkeit, ein kompetenter Wettender zu sein, aktualisiert wurde, platziere ich jetzt eine weitere Wette. Die im ersten Schritt berechnete A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird die neue A-priori-Wahrscheinlichkeit.

Die neue A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, ein kompetenter Wettender zu sein, hängt jetzt davon ab, ob ich meine nächste Wette gewinne oder verliere. Falls ich gewinne, erhöht sich erneut die Wahrscheinlichkeit, ein kompetenter Wettender zu sein; falls ich verliere, verringert sich die Wahrscheinlichkeit. Für das Beispiel gilt also: Sollte ich meine zweite Wette gewinnen, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein kompetenter Wettender bin, auf 54,75 %. 

Dieses Verfahren kann unendlich oft wiederholt werden, wobei mit jeder Aktualisierung die abhängige Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0 % und 100 % liegt. Ich habe diese Iteration 1.000 Mal, also mit 1.000 Wetten ausgeführt. Das Diagramm unten zeigt die erreichte Wettbilanz (blaue Linie) zusammen mit meiner nach jeder Wette erreichten bayesschen Wahrscheinlichkeit, ein kompetenter Wettender zu sein (rote Linie).

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Ein signifikantes Problem bei einer bayesschen Interpretation der Wahrscheinlichkeit besteht darin, dass diese ein sicheres A-priori-Wissen oder eine feste Überzeugung hinsichtlich eines Ereignisses oder einer Situation voraussetzt. Aber kann ich wirklich mit einer solchen Sicherheit die Wahrscheinlichkeit bewerten, dass ich ein kompetenter Wettender bin? Meine Wahl von 50 % in diesem Beispiel war völlig willkürlich und basierte nur auf Spekulation. Schauen wir, was passiert, wenn ich jetzt die anfängliche A-priori-Wahrscheinlichkeit auf 1 % ändere. 

 

Weiterhin ist es komplett willkürlich, was in diesem Kontext „kompetent“ bedeutet. Fakt ist, dass ein Wettender, der bei 1.000 Wetten eine Rendite von 105 % erzielt, als besonders kompetent angesehen werden kann. Lesen Sie über das Gesetz der kleinen Zahlen, wenn Sie mehr über die Bedeutung der Stichprobengröße erfahren möchten. Es ist auch gleichermaßen unklar, wie P(B) für jeden Iterationsschritt definiert wird, wenn ein aktualisierter P(A)-Wert gegeben ist. 

In meinem bayesschen Modell nehme ich einfach eine lineare Beziehung an, sodass gilt: Wenn P(A) = 0%/20%/40%/60%/80%/100%, dann P(B) = 50%/51%/52%/53%/54%/55%. Aber diese Annahme muss auch hinterfragt werden. Vielleicht wichtiger scheint der Fakt, dass eine Person mit einer Ausgangsgewinnwahrscheinlichkeit von 52,5 % klar als kompetenter Wettender angesehen werden kann (nur nicht so kompetent, wie ein Wettender mit 55 %) und wir hier somit eher den Kompetenzgrad als die Wahrscheinlichkeit messen. 

Dennoch bietet die folgende grafische Darstellung zur Entwicklung der bayesschen Wahrscheinlichkeit ein intuitives Maß für die Wahrscheinlichkeit (oder Stärke) der Fähigkeit eines Wettenden, eine regelmäßige Rendite zu erzielen, und wie sich das über die Zeit ändern könnte.

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Zufallsgrade

Während beim bayesschen Ansatz der Fokus auf der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese (dass ich ein kompetenter Wettender bin) unter Verwendung eines festen Satzes von Daten (zu Gewinnen und Verlusten) liegt, konzentriert sich der frequentistische Ansatz auf die Wahrscheinlichkeit (oder Häufigkeit) der Daten bei gegebener Hypothese. Dieses Mal ist die Hypothese also fest definiert: Es ist entweder wahr (100 % Wahrscheinlichkeit) oder falsch (0 % Wahrscheinlichkeit), dass ich ein kompetenter Wettender bin. Dagegen wird angenommen, dass die Daten zufällig sind. 

Beginnend mit einer A-priori-Überzeugung von 1 % Wahrscheinlichkeit, dass man kompetent ist, wird dieser Wert nach 1.000 Wetten auf nur 20 % gestiegen sein.

Der frequentistische Ansatz beginnt normalerweise mit der Nullhypothese, die besagt, dass ich über keinerlei Kompetenz verfüge und alle meine Wettererfolge nur auf Glück basieren. Danach wird versucht, mittels eines statistischen Werts die Wahrscheinlichkeit (p-Wert genannt) zu berechnen, mit der die von uns erfassten Daten, hier also meine Gewinn/Verlust-Bilanz, unter der Annahme eintreten könnten, dass die Nullhypothese wahr ist.

Abschließend wird diese Wahrscheinlichkeit mit einem akzeptablen Signifikanzwert (manchmal auch α-Wert genannt) verglichen, sodass gilt: Wenn p < α (üblicherweise 5 % oder 1 %), dann wird die Nullhypothese zugunsten der gültigen Hypothese abgelehnt.

Bei dem statistischen Wert handelt es sich um den t-Wert, der vom bekannten t-Test für statistische Signifikanz abgeleitet ist und den ich bereits unter „Wettressourcen“ näher erläutert habe. Unter der Annahme, dass die Wettquoten fair sind, kann der t-Wert wie folgt approximiert werden: 

wobei n = Anzahl der Wetten, r = Rendite (als Dezimalwert ausgedrückt) und o = durchschnittliche dezimale Wettquote. Der t-Wert wird mithilfe von statistischen Tabellen oder einem Online-Rechner in einen p-Wert umgewandelt. In Excel kann die TDIST-Funktion verwendet werden. Lassen Sie uns nun schauen, welches Bild sich damit für unsere im Beispiel verwendete Wettbilanz ergibt.

Das Diagramm zeigt einen Vergleich der ursprünglichen Zeitreihen der sich entwickelnden bayesschen Wahrscheinlichkeit (rote Linie: Ich bin ein kompetenter Wettender mit einer A-priori-Überzeugung von 50 % Wahrscheinlichkeit, dass ich es bin) mit der Entwicklung des frequentistischen p-Werts (grüne Linie: Die Wahrscheinlichkeit, dass das, was ich erreicht habe, auf Zufall basiert unter der Annahme, dass ich über keinerlei Kompetenz verfüge) unter Verwendung eines zweiseitigen t-Tests mit einer Stichprobe.

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Aus allgemeiner, qualitativer Sicht sind die beiden Linien spiegelbildliche Gegensätze, obwohl dies wahrscheinlich eher das Ergebnis von Glück als von irgendetwas anderem ist. Man sollte dabei aber nicht vergessen, dass der p-Wert die Wahrscheinlichkeit misst, dass man ein unerfahrener Wettender ist, und dass daher 1-p die Wahrscheinlichkeit ist, dass man ein kompetenter Wettender ist.

Nicht zuletzt sollten bayessche und frequentistische Analyse auch dazu dienen, den Wettenden daran zu erinnern, dass sich regelmäßiger Profit aus Wetten erst nach längerer Zeit einstellt.

Eine Wahrscheinlichkeit von 5 %, dass unsere Gewinn/Verlust-Bilanz auf Zufall basiert, bedeutet umgekehrt nicht, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % die Bilanz auf Kompetenz basiert. Es bedeutet einfach nur, dass das, was wir unter der Annahme beobachtet haben, dass die Nullhypothese (Gewinne und Verluste beim Wetten sind rein zufällig) wahr ist, in 5 % der Fälle erwartet werden kann.

Die Schwäche des frequentistischen Ansatzes liegt darin, dass er die Wahrheit als absolut betrachtet. Dagegen geht der bayessche Ansatz implizit davon aus, dass die Wahrheit probabilistisch, vorläufig und stets falsifizierbar ist. Trotz seiner Defizite ist der frequentistische Hypothesentest ein gleichermaßen hilfreiches Mittel, um eine Wettbilanz zu analysieren und zu ermitteln, ob diese Bilanz wahrscheinlich auch durch etwas anderes als nur Glück erreicht wurde.

Wie schneiden frequentistisches und bayessches Modell ab, wenn Letzteres eine ursprüngliche A-priori-Überzeugung von nur 1 % Wahrscheinlichkeit (anstatt 50 %) hat, dass ich ein kompetenter Wettender bin?

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Dieses Mal ist es klar, dass der t-Test uns dazu bringen wird, bereitwilliger von unseren Fähigkeiten als kompetenter Tippgeber überzeugt zu sein als beim bayesschen Ansatz, der wesentlich konservativer ist.

Außerdem wird die Empfindlichkeit der bayesschen Wahrscheinlichkeit gegenüber der anfänglichen A-priori-Überzeugung unterstrichen. In diesem Fall würde uns der t-Test nach fast 700 Wetten sagen, dass unsere Wettbilanz nur mit einer 3%igen Wahrscheinlichkeit auf Zufall basiert, während der Satz von Bayes implizieren würde, dass die Chance, dass wir zu einer langfristigen Rendite von 110 % fähig sind, immer noch unter 10 % liegt.

Ein risikoscheuer Wettender, wie ich es bin, würde hinsichtlich der eigenen Fähigkeiten eher die konservativere A-priori-Überzeugung bevorzugen: Falls es keine guten Gründe gibt, die auf etwas anderes hindeuten, sollte ich anfangs immer davon ausgehen, dass ich nur geringe oder gar keine Kompetenz besitze.

Erwartete Kompetenzwahrscheinlichkeiten

Die obige Analyse zeigt nur ein beliebiges Beispiel für eine Wettzeitreihe mit einer angenommenen Rendite von 110 %. Damit es visuell deutlich wird, habe ich absichtlich eine Wettbilanz herausgegriffen, mit der sich die diskutierten Ideen gut vermitteln lassen.

Um ein genaueres Bild der Erwartung zu erhalten, also was wir durchschnittlich zu erwarten haben, müssen wir das Modell viele Male ausführen. Diejenigen unter Ihnen, die regelmäßig die Artikel unter „Wettressourcen“ lesen, werden wissen, dass wir dies mithilfe einer Monte-Carlo-Simulation erreichen können.

Das erste Diagramm unten zeigt die Ergebnisse einer Monte-Carlo-Simulation mit 1.000 Durchläufen zur Entwicklung der bayesschen Wahrscheinlichkeit, mit der ich für zehn angenommene Gewinnquoten ein kompetenter Wettender bin: 51 % bis 60 % in Schritten von 1 % (entsprechend für Erwartungswert von 102 % bis 120 % in Schritten von 2 % bei fairen Wettquoten).

Die Kurven wurden durch Berechnung des Median-Wertes der bayesschen Wahrscheinlichkeit nach jeder Wette einer Wettbilanz von 1.000 Wetten erstellt. Der Median bietet für diesen Zweck eine bessere Repräsentation als der Durchschnitt, bei dem niedrige und hohe Werte die Interpretation verzerren können. 

Für die anfängliche A-priori-Überzeugung in meine Kompetenz {p(A)} wird 1 % angenommen. Je höher also meine angenommene Erfolgsquote und damit auch der Erwartungswert sind, desto schneller nähert sich die Überzeugung in meine Fähigkeiten der Wahrscheinlichkeit von 100 % an. (Je dunkler die Kurve, desto höher die angenommene Erfolgsquote.) 

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Die besten Handicapper in diesem Business sind in der Lage, Gewinnraten von 57 % zu erreichen. Nach Abzug der Buchmachermarge bedeutet dies eine Rendite von etwa 110 %. Dieses Diagramm verdeutlicht, dass Sie, wenn Sie ein Profi werden möchten, den besten Teil von 1.000 Wetten nehmen sollten, um eine feste und berechtigte Überzeugung in Ihre Fähigkeiten zu entwickeln, angenommen natürlich, dass Sie anfangs davon überzeugt waren, nur geringe Fähigkeiten zu besitzen. 

Wenn Sie im Gegensatz dazu nur 54 % Ihrer Handicaps gewinnen und dennoch profitabel sind, wird es viel länger dauern, als wenn Sie wirkliches Vertrauen in Ihre Fähigkeiten hätten. Beginnend mit einer A-priori-Überzeugung von 1 % Wahrscheinlichkeit, dass man kompetent ist, wird dieser Wert nach 1.000 Wetten auf nur 20 % gestiegen sein. 

Das letzte Diagramm zeigt eine ähnlichen Satz an idealisierten, erwarteten p-Werten aus derselben 1.000-Wetten-Wettbilanz und denselben zehn angenommenen Erfolgsquoten. Da wir für jede Kombination aus Wettzahl, Rendite und Wettquote eine Gleichung zum Approximieren des t-Wertes haben, ist keine Monte-Carlo-Simulation erforderlich. Und wieder gilt, dass je dunkler die Kurve, desto größer die angenommene Erfolgsquote (von 51 % bis zu 60 %).

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Bei einer Erfolgsquote von 57 % ist die statistische Signifikanz (p-Wert < 5 %) nach nur 200 Wetten erreicht, wobei eine stärkere statistische Signifikanz (p-Wert < 1 %) erst ab etwa 335 Wetten besteht. Aber um es noch einmal zu betonen: Diese Informationen sagen nichts über unser Kompetenzniveau beim Wetten aus, sondern geben einfach nur die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Bilanz auf Zufall basiert, wenn von keinerlei Kompetenz ausgegangen wird. 

Zudem basieren diese statistischen Signifikanzniveaus genau wie die anfänglichen, bayesschen A-priori-Wahrscheinlichkeiten fast nur auf subjektiven Einschätzungen. Aber wie auch das bayessche Modell kann der statistische p-Wert-Test unter Einbeziehung dieser Vorbehalte eine nützliche Methode sein, damit der Wettende seine Fähigkeiten beim Auffinden einer konstant profitablen Erwartung besser einschätzen kann.

Nicht zuletzt sollten bayessche und frequentistische Analyse auch dazu dienen, den Wettenden daran zu erinnern, dass sich regelmäßiger Profit aus Wetten erst nach längerer Zeit einstellt. Gehen Sie niemals davon aus, dass ein paar Gewinne darauf schließen lassen, dass Sie wissen, was Sie tun.

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