Das Gesetz der kleinen Zahlen bei Sportwetten

Das Krankenhausquiz

1974 stellten zwei Psychologen, Daniel Kahneman und Amos Tversky, ihre Versuchsteilnehmer vor folgendes Szenario und stellten dazu eine Frage: In einer bestimmten Stadt gibt es zwei Krankenhäuser. Im größeren Krankenhaus werden pro Tag etwa 45 Babys geboren, während es im kleineren täglich etwa 15 sind.

Wir wissen, dass etwa 50% aller Babys Jungen sind. Der exakte Prozentsatz schwankt jedoch von Tag zu Tag. Manchmal ist er höher als 50%, manchmal niedriger. Über einen Zeitraum von einem Jahr hat jedes Krankenhaus die Tage erfasst, an denen mehr als 60% der geborenen Kinder Jungen waren. Was meinen Sie: In welchem Krankenhaus wurden mehr solcher Tage erfasst?

•        Im größeren Krankenhaus
•        Im kleineren Krankenhaus
•        Etwa gleich (+/- 5% Unterschied)

Gemäß dem binomischen Lehrsatz müsste die Anzahl der Tage, an denen mindestens sechs bis vier Jungen mehr geboren werden als Mädchen, im kleineren Krankenhaus fast dreimal höher sein als im größeren, einfach aufgrund der größeren Unbeständigkeit der Geburtenraten. Mit einer größeren Probe gäbe es nicht so große Abweichungen von 50%. Nur 22% der Teilnehmer haben richtig geantwortet.

Was ist Heuristik?

Kahneman und Tversky haben diesen Fehler als einen Glauben an das Gesetz der kleinen Zahlen beschrieben. Allgemeiner gesagt werden Urteile, die anhand kleiner Proben getroffen werden, oftmals fälschlicherweise als Repräsentation der breiteren Population verstanden. Zum Beispiel würde eine kleine Probenmenge, die als zufällig verteilt erscheint, den Glauben verstärken, dass die breitere Population, aus der die Auswahl getroffen wurde, ebenfalls zufällig verteilt ist. 

Zum Krankenhausquiz: Mit einer größeren Probe gäbe es nicht so große Abweichungen von 50%. Nur 22% der Teilnehmer haben richtig geantwortet.

Im Gegenzug veranlasst eine kleine Probenmenge, die ein scheinbar bedeutsames Muster zeigt – zum Beispiel 9 Mal Kopf bei 10 Münzwürfen –, den Beobachter dazu, zu glauben, dass die Population dasselbe bedeutsame Muster zeigen wird. In diesem Fall wäre die Annahme, dass die Münze parteiisch ist. Die Erfahrung der Wahrnehmung von Mustern in zufälligen oder bedeutungslosen Daten bezeichnet man als Apophänie.

Ein Glaube an das Gesetz der kleinen Zahlen ist Teil einer größeren Gruppe von gedanklichen Abkürzungen, die Menschen machen, wenn sie bei einer gewissen Unsicherheit Entscheidungen treffen müssen. Kahneman und Tversky haben diese Abkürzungen als Heuristik bezeichnet. Verallgemeinerungen basierend auf kleinen Probenmengen zu machen ist ein Beispiel für Repräsentativitätsheuristik, bei der Menschen die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses allein auf der Grundlage der Verallgemeinerung von vorherigen ähnlichen Ereignissen, die einem leicht wieder einfallen, bewerten.

Ein weiteres Beispiel für Repräsentativitätsheuristik sind Fehlschlüsse von Wettenden. Eine solche Verzerrung entsteht in der Tat aus dem Glauben an das Gesetz der kleinen Zahlen. Wie Kahneman und Tversky sagen:

Das Herzstück der Fehlschlüsse von Wettenden ist eine falsche Wahrnehmung der Gerechtigkeit der Gesetze des Zufalls. Der Wettende hat das Gefühl, dass die Gerechtigkeit der Münze ihm das Recht gibt, zu erwarten, dass jede Abweichung in die eine Richtung schon bald durch eine entsprechende Abweichung in die andere Richtung aufgehoben wird. Die Probanden handeln so, als wenn jedes Segment der zufälligen Abfolge den wahren Anteil widerspiegeln müsste; wenn die Sequenz vom Populationsanteil abweicht, wird eine korrigierende Verzerrung in die andere Richtung erwartet.

Grafiken mit ungleichen Probengrößen lesen

Sportwettende können aufgrund des falschen Glaubens an das Gesetz der kleinen Zahlen besonders anfällig für die irrtümliche Mustererkennung sein. Die Fehlinterpretation der Rentabilität basierend auf kleinen Einsatzproben als repräsentativer Wert für die Abweichung von der Zufälligkeit und Evidenz der Vorhersagefähigkeit kann auf lange Sicht unschöne finanzielle Auswirkungen haben. Betrachte einmal die folgende Grafik zur hypothetischen Rentabilität von 100 Wetten auf NFL-Punktebereiche. Für jede Wette gilt ein Preis von 1.95. Beeindruckend, oder?

 

Was wäre, wenn ich dir sagen würde, dass dieser Rekord von einem bekannten amerikanischen Sportwettenden stammt? Angesichts einer guten Wachstumstendenz und einem Ertrag von 15% sei es dir vergeben, wenn du mir glaubst. Natürlich sage ich nicht die Wahrheit. Tatsächlich zeigt die nächste Grafik mit 1000 Wettenden das größere Bild.



Es gab in Wahrheit gar keine langfristige Rentabilität. Der Grund: Dieser Wert wurde nur von einem Zufallsnummerngenerator erzeugt, der von einer 50%igen Wahrscheinlichkeit für einen individuellen Sieg und einer Gewinnerwartung von -2,5% ausgegangen ist. Die erste Grafik zeigt nur die ersten 100 Wettenden aus der zweiten Menge.

Doch selbst in der zweiten Serie, die einen längeren Zeitraum umfasste, wurde über mehrere Hundert Wettende hinweg eine gesunde Rentabilität aufrecht erhalten. Darüber hinaus sieht das Muster der Zeitreihe, obwohl es insgesamt einen Verlust zeigt, alles andere als zufällig aus und zeigt ein relativ gleichbleibendes Wellenmuster.

Wie Kahnemann und Tversky erkannt haben, verstehen wir Abfolgen von ähnlichen Ergebnissen eher als nicht-zufällig, selbst wenn ihnen kein Mechanismus zugrunde liegt. Welche der beiden binären Sequenzen unten sieht zufällig aus und welche nicht?

 

Die meisten Menschen würden die zweite Abfolge auswählen. Tatsächlich aber wurde die erste nach dem Zufallsprinzip in Excel erstellt. Die zweite habe ich absichtlich mit kürzeren Abfolgen von 1 und 0 erstellt. Wenn sie gebeten werden, zufällige Sequenzen wie diese zu erstellen, wechseln die meisten von uns zwischen 1 und 0 oder umgekehrt, wenn wir das Gefühl haben, dass eine der Zahlen zu häufig vorkommt.

Wirf jetzt einen Blick auf diese folgende Grafik von 1000 Wettenden. Sie wurden allesamt zufällig erzeugt. Die große Bandbreite der möglichen Ergebnisse sollte dir ein Gefühl dafür geben, wie leicht man sich von scheinbar bedeutenden Mustern in die Irre führen lässt.

Bedenke: Dies ist keine Reihe von 100 Wettenden, sondern von 1000. Sie dir den mittleren an. Alles weist auf einen Profi-Tippgeber oder -Wettenden hin, der über die gesamte Wettsequenz hinweg einen Ertrag von 5% und ein solides Gewinnwachstum verzeichnet – eine Leistung, die die besten Handicap-Wettenden langfristig erzielen können. Und doch ist dies nur dem Zufall zu verdanken.

Unter Verwendung der Binomialverteilung können wir errechnen, wie wahrscheinlich es ist, nach einem Wettzeitraum trotz einer Erwartung von -2,5% noch immer im Gewinnbereich zu liegen.

Anzahl der Wettenden (Quote 1.95, 50% Gewinnwahrscheinlichkeit)	Mindestanzahl der benötigten Siege	Wahrscheinlichkeit, Gewinn zu erzielen
100	52	38.22%
250	129	32.90%
500	257	28.05%
1000	513	21.46%
2500	1283	9.68%
5000	2565	3.40%
10000	5129	0.51%

Nach 1000 Wettenden haben wir mehr als eine Chance von 1:5, schwarze Zahlen zu schreiben, obwohl wir nur nach Zufall wetten. Wenn wir eine Handicap-Wette auf jedes gespielte NFL-Spiel setzen würden, bräuchten wir dafür fast vier Saisons. Das ist eine lange Zeit, um zu glauben, dass etwas anderes als das Glück auf unserer Seite ist.

Wie klein ist klein?

Das Gesetz der kleinen Zahlen ist eine kognitive Verzerrung, bei der gezeigt wird, dass Menschen dazu neigen, zu glauben, dass eine relativ geringe Anzahl von Beobachtungen die allgemeine Bevölkerung passend widerspiegelt. Darüber hinaus kann, wie dieses Beispiel gezeigt hat, klein auch manchmal recht groß sein. Das ist so, weil die Menschen die Sicherheit gegenüber dem Zweifel, Erklärung gegenüber Unwissenheit, Kausalität gegenüber Vorstellung, Muster gegenüber Zufälligkeit und Fähigkeiten (insbesondere selbstwertdienliche Fähigkeiten) gegenüber Glück bevorzugen. Für Sportwettende kann es teuer werden, diese Bedeutung nicht richtig einzuschätzen.