Das Kelly-Kelly-Kriterium: eine Risikobewertung

Das Kelly-Kelly-Kriterium wird häufig als die effizienteste Geldverwaltungsstrategie bezeichnet, mit der Wettende für die Maximierung ihres Guthabenwachstums sorgen können. In den Wettressourcen von Pinnacle finden sich diverse Artikel zur Funktionsweise sowie den Vor- und Nachteilen des Kelly-Kriteriums. In diesem Artikel liefere ich eine einfache Risikobewertung der Einsatzmethode.

Was ist das Kelly-Kriterium?

Dominic Cortis, Autor für Pinnacle und Mathematik-Dozent an der Universität von Malta, beschreibt das Kelly-Kelly-Kriterium als Methode zur Berechnung des Anteils am eigenen Guthaben, der auf ein Ergebnis mit unerwartet hoher Quote gesetzt werden soll, sodass das eigentliche Guthaben exponentiell ansteigt.

Das von John Kelly während seiner Arbeit in den Bell Labs von AT&T im Jahr 1956 entwickelte Kelly-Kriterium liefert eine wirtschaftlich begründete und mathematisch präzise Methode zur Berechnung des optimalen Wetteinsatzes zur Maximierung des eigenen Guthabens bei gleichzeitiger Berücksichtigung der erwarteten Rendite und des Risikos. Dies wird mit der folgenden einfachen Gleichung dargestellt:

Die Chance ist hier schlicht der Vorteil, den Sie gegenüber der tatsächlichen Wettquote des Buchmachers haben (oder zu haben glauben). Wenn Sie z. B. glauben, dass die faire Quote eines Resultats 2,00 beträgt (50%ige Erfolgschance), der Buchmacher jedoch eine Quote von 2,10 anbietet, können Sie Ihre Chance wie folgt berechnen: 2,10 : 2,00 = 1,05.

Die „Chance“ ist lediglich eine andere Methode, den Erwartungswert zu beschreiben. Die Quote muss in der oben genannten Gleichung als Dezimalwert angegeben werden. In diesem Beispiel läge Ihr Kelly-Einsatz in Prozent also bei 0,05 bzw. 5 %.

Das Kelly-Kriterium ist ein Beispiel für eine proportionale Einsatzmethode, bei der Sie Beträge proportional zu Ihrem vorhandenen Guthaben setzen. Entsprechend steigen bzw. fallen die Beträge, wenn Ihr Guthaben ansteigt oder fällt. Den Gegensatz hierzu bilden Einsatzstrategien, bei denen ein fester vordefinierter Betrag gesetzt wird.

Das Besondere am Kelly-Kriterium ist, dass es auch die Größe des angenommenen Vorteils und den Umfang der Wettquote berücksichtigt. Je größer Ihr Vorteil und/oder je knapper die Wettquote, desto größer ist der Einsatz, den Sie riskieren.

Es ist offensichtlich, dass die Berechnung von Kelly-Einsätzen bei mehreren gleichzeitigen Wetten auf Ergebnisse oder Spiele Probleme bereitet. Hierzu hat Pinnacle bereits einen Artikel veröffentlicht. In diesem Artikel werde ich die vereinfachte Form des Kelly-Kriteriums mit jeweils nur einer Wette zu einem beliebigen Zeitpunkt berücksichtigen.

Wir riskant ist das Kelly-Kriterium?

Da es sich beim Kelly-Kriterium um eine proportionale Geldverwaltungsstrategie handelt, sollte relativ offensichtlich sein, dass Sie damit nicht bankrott gehen können. Je mehr Sie verlieren, desto niedriger werden Ihre Einsätze. Theoretisch fallen Sie jedoch nie auf null. 

Anders als bei Casino-Spielen, die auf bekannten mathematischen Algorithmen basieren, ist es bei einem komplexen System wie einem Fußballspiel nahezu unmöglich, die echte Wahrscheinlichkeit zu „kennen“.

In der Praxis gibt es allerdings selbstverständlich ein Limit, ab dem mögliche Verluste als inakzeptabel bewertet werden. Entsprechend ist es vielleicht angemessener, die Varianz im Guthaben zu berücksichtigen und zu prüfen, ob die gewählten Risikowerte robust genug sind, um damit umzugehen.

Joe Peta, Gastautor bei Pinnacle und Aktienhändler, hat vor kurzem argumentiert, das Problem bei der Verwendung des Kelly-Kriteriums sei, dass die Varianz, unabhängig von der berechneten erwarteten Rendite, riesig sei, weswegen er eine Investition nicht für empfehlenswert hält. Er stellte eine Überlegung an, in der ein Wettender 52 % seiner Wetten zu einer Quote von 2,00 (1:1-Wette) gewann. Das Kelly-Kriterium fordert hier einen Einsatz in Höhe von 4 %. 

Ausgehend von einer Serie von 250 Wetten behauptet Peta, dass eine mehr als 10%ige Wahrscheinlichkeit besteht, dass das Guthaben bis zum Ende um mindestens 40 % fällt. Hat er Recht? 

Wie es aussieht, hat er das. Bei Verwendung dieser Parameter in einer Monte-Carlo-Simulation mit 10.000 Durchläufen hatten 14 % der Endguthaben mehr als 60 % des Ausgangsbetrags verloren. Im Gegensatz dazu waren es bei einer gleichbleibenden Einsatzstrategie mit 250 Einsätzen von jeweils 4 Einheiten (bei einem Ausgangsguthaben von 100 Einheiten) nur 9 %.

Die Tabelle unten zeigt den breiteren Vergleich zwischen dem Kelly-Kriterium und festen Einsätzen. Wie in einem früheren Artikel erwähnt, eignen sich proportionale Einsatzmethoden zwar besser zur Gewinnmaximierung (in diesem Beispiel lag das durchschnittliche Schlussguthaben für das Kelly-Kriterium bei 149 und für feste Einsätze bei 140 Einheiten), gleichzeitig dauert es jedoch länger, sich von einer verlustreichen Phase zu erholen.

Der größere Anteil an Guthaben, die Verluste aufwiesen, liegt schlicht in der größeren Guthabenvarianz begründet, die eine proportionale Einsatzstrategie mit sich bringt. Fast vier von zehn dieser Simulationen endeten mit Verlusten bei Kelly-Einsätzen, während dies nur bei einer von vier Simulationen mit festen Einsätzen der Fall war.

Wie verändert sich das Risiko, wenn wir einen größeren Vorteil haben? Ich habe die Simulation erneut mit einer 54%igen Gewinnwahrscheinlichkeit bei jedem 1:1-Einsatz mit einem Kelly-Einsatz von 8 % durchgeführt. Nur sehr wenige Wettende sind wohl in der Lage, diese Zahlen über einen längeren Zeitraum zu erzielen.

Wenn Sie glauben, dass 52 % Ihrer 1:1-Wetten gewinnen, Sie am Ende aber nur 49 % davon tatsächlich gewinnen, verlieren Sie logischerweise langfristig Geld.

Verständlicherweise ist mit doppelter Chance bzw. doppeltem Erwartungswert für jeden Einsatz die Profitabilität für das Kelly-Kriterium verglichen mit festen Einsätzen deutlich höher (durchschnittliches Schlussguthaben 494 bzw. 260). Dies geht allerdings zu Lasten einer deutlich größeren Varianz im Abschneiden.

Das durchschnittliche oder zu erwartende Schlussguthaben ist höher, da der Wert durch eine geringe Zahl sehr hoher Guthaben verzerrt wird. Es gibt jedoch verglichen mit der Strategie mit festen Einsätzen deutlich mehr mittelmäßige und verlierende Guthaben. Der Median für das Schlussguthaben liegt lediglich bei 223. Die Wahrscheinlichkeit für den Verlust von 40 % des Guthabens nach 250 1:1-Wetten mit einem Vorteil von 8 % bei Nutzung der Kelly-Strategie beträgt noch immer 14 %. Ohne Zweifel würde Joe Peta argumentieren, dass kein Finanzinvestor mit etwas Selbstachtung und einer Rendite von 8 % ein solches Risiko eingehen würde.

Kennen wir unsere Chance wirklich?

Diese Simulationen gehen davon aus, dass wir die exakte Wahrscheinlichkeit eines Gewinns kennen und entsprechend genau wissen, welchen Vorteil wir gegenüber den Quoten des Buchmachers haben. Joe Peta erinnert uns jedoch daran, dass die Entwicklung eines Ergebnismodells für Sportwetten nicht mit dem Kartenzählen beim Blackjack verglichen werden kann.

Anders als bei Casino-Spielen, die auf bekannten mathematischen Algorithmen basieren, ist es bei einem komplexen System wie einem Fußballspiel nahezu unmöglich, die echte Wahrscheinlichkeit zu „kennen“. Die Auswirkungen der Tatsache, dass Sie Ihren präzisen Vorteil gegenüber der Quote des Buchmachers nicht kennen, auf den Erfolg der Kelly-Strategie wurden kürzlich in meinem Twitter-Feed diskutiert. Ausgehend davon beschloss ich, den genauen Einfluss zu ermitteln.

Sie müssen Ihren durchschnittlichen Vorteil nur dann präzise kennen, wenn Sie festlegen, wie viel Sie mit der Kelly-Methode setzen und das entsprechende Risiko verwalten möchten.

Wenn Sie glauben, dass 52 % Ihrer 1:1-Wetten gewinnen, Sie am Ende aber nur 49 % davon tatsächlich gewinnen, verlieren Sie logischerweise langfristig Geld, unabhängig davon, welche Einsatzstrategie Sie nutzen. Interessanter ist hier, ob es sich auf die Varianz und die Risiken des Kelly-Kriteriums auswirkt, wenn der Vorteil bei jeder einzelnen Wette nicht exakt bekannt ist.

Ihre Wettbilanz über einen längeren Zeitraum kann Ihnen einen Hinweis darauf liefern, wie Ihr durchschnittlicher Vorteil aussieht. Eine Rendite von 1.050 Euro aus 1.000 Einsätzen in Höhe von 1 Euro legt die Vermutung nahe, dass Ihr durchschnittlicher Vorteil bei 5 % liegt. Eine weitere Möglichkeit zur Einschätzung eines Vorteils bietet der Vergleich der Quoten, zu denen Sie wetten, mit den Schlussquoten für den Markt.

Wenn Sie zu einer Quote von 2,10 wetten und die Schlussquote bei Pinnacle 2,00 beträgt, haben Sie aufgrund meiner Datenanalyse einen Vorteil von 5 % (abzüglich Wettmarge). Diese Analyse basierte jedoch auf Durchschnittswerten einer großen Zahl von Fußballspielen. Während dies möglicherweise einen durchschnittlichen Vorteil impliziert, können wir ausgehend davon nicht annehmen, dass es bei jeder Wette so ist. Angesichts der großen Unsicherheit, die den Ausgang von Sportereignissen beeinflusst, wäre es vielmehr vernünftig, vom Gegenteil auszugehen.

Ich führte eine weitere Monte-Carlo-Simulation für 250 1:1-Wetten durch. Dieses Mal legte ich jedoch keine feste Gewinnwahrscheinlichkeit von 52 % für jede Wette fest, sondern variierte auf der Basis einer normalen Verteilung der Gewinnwahrscheinlichkeiten. Der Durchschnitt lag weiterhin bei 52 %, die einzelnen Werte schwankten jedoch. Einige waren höher, einige niedriger.

Ich wendete eine Standardabweichung von 5 % an, was bedeutet, dass etwa zwei Drittel der Werte zwischen 47 % und 57 % lagen und 95 % der Wette zwischen 42 % und 62 %. Tatsächlich lag etwa ein Drittel unter 50 % und hatte entsprechend einen negativen Erwartungswert. 

Das Ergebnis war eine ziemliche Überraschung. Obwohl ein Drittel der Wetten einen negativen Erwartungswert hatte, blieb das Risiko der darauf angewendeten Kelly-Strategie im Großen und Ganzen unverändert. Dies bedeutet, dass Sie, solange Sie eine präzise Vorstellung Ihres Gesamtvorteils haben, diesen Vorteil nicht exakt für jede einzelne Wette kennen müssen. 

Kelly 1 - Chance für jede einzelne Wette exakt bekannt. Kelly 2 - Durchschnittliche Chance bekannt, präzise Chance für jede einzelne Wette jedoch unbekannt. 

Um die Belastbarkeit dieses Ergebnisses zu prüfen, führte ich eine weitere Simulation durch, in der die Anzahl der Wetten mit negativem Erwartungswert deutlich erhöht war.

230 (also 92 %) der 250 Wetten hatten eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 49 %, was effektiv der Spanne von Pinnacle für den beliebten Zwei- oder Dreiweg-Markt entspricht. Die verbleibenden 20 Wetten hatten eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 86,5 %, wodurch sichergestellt wurde, dass der Durchschnitt für die 250 Wetten bei 52 % blieb. Der Ergebnisse waren exakt die gleichen.

In der Realität ist es natürlich sehr unwahrscheinlich, dass ein Wettender, der in 92 % der Fälle keine profitablen Wetten abgibt, in den verbleibenden 8 % der Fälle extrem lukrative Wettmöglichkeiten findet. Diese Übung zeigt dennoch noch einmal deutlicher, was bereits zuvor erläutert wurde: Sie müssen Ihren durchschnittlichen Vorteil nur dann präzise kennen, wenn Sie festlegen, wie viel Sie mit der Kelly-Methode setzen und das entsprechende Risiko verwalten möchten.

Für die meisten Wettenden besteht das deutlich schwierigere Problem darin, überhaupt einen Vorteil zu finden. Es ist extrem einfach, sich vom Glück in die Irre führen zu lassen oder den Illusionen der Kausalität zu erliegen, wodurch Wettende glauben, besser zu sein, als sie tatsächlich sind. Wenn Sie nur 49 % Ihrer 1:1-Wetten gewinnen und eine Kelly-Strategie mit 4 % nutzen, scheitern Sie logischerweise viel häufiger (mit einer Verlustchance von 75 % nach 250 1:1-Wetten, verglichen mit einer Verlustchance von 60 % bei festen Einsätzen).