Nov 2, 2015
Nov 2, 2015

Wie Sie Bootstrapping für begrenzte Daten nutzen

Wie Sie Bootstrapping für begrenzte Daten nutzen
Was tun Sie, wenn wir noch am Anfang der Saison stehen und es noch nicht genügend Daten gibt, um stichhaltige Schlüsse zu ziehen? In diesem Artikel erläutert Dominic anhand von zwei Beispielen, wie man Bootstrap nutzen kann, um die Auswirkungen von parametrischen Fehlern aufgrund kleiner Probengrößen zu minimieren.

Eine wichtige Methode zur Entwicklung von Spielerwartungen im Fußball ist die Poisson-Verteilung, die bereits in einem früheren Pinnacle-Artikel erklärt wurde. Erfahren Sie hier mehr darüber, wie unter Verwendung der Poisson-Verteilung ein Fußballwettsieger vorhergesagt werden kann..

Dabei wird im Wesentlichen einem Heimteam in Abhängigkeit von dessen Angriffsfähigkeiten und den Verteidigungsfähigkeiten der Auswärtsmannschaft ein erwarteter Ergebnisdurchschnitt zugeteilt.  Zudem wird ein erwarteter Ergebnisdurchschnitt für das Auswärtsteam angewandt.

Am Anfang der Saison ist unser Problem bei der Anwendung dieser Methode jedoch, dass es noch nicht genug Spiele gab, die als Grundlage dienen könnten. Darüber hinaus hat es einen großen Einfluss auf unsere Schätzung, wenn wir ein extremes Spiel sehen, zum Beispiel eines mit sehr vielen Toren, oder eine Serie torloser Begegnungen.

Dann hätten wir einen hohen parametrischen Fehler. Mehr Informationen dazu, wie man ein Modell für Sport-Wetten entwickeln kann, finden Sie hier.

Ein Vorschlag zur Messung des Ausmaßes eines parametrischen Fehlers ist die Verwendung von sogenannten Bootstrapping-Techniken. Bootstrapping bezeichnet eine Lösung, in der wir die Probengrößen erfinden.

Zum Zeitpunkt des Schreibens dieses Artikels haben die meisten Teams der Premier League weniger als 5 Heim- und 5 Auswärtsspiele absolviert.

Als Beispiel kann ich zwei Methoden empfehlen.

Methode 1: Der direkte Ansatz

Bei dieser Methode wird die Probenahme mit Ersetzen vorgenommen, d.h. man erstellt vergleichbare Probengrößen, indem man denselben Wert mehr als einmal auswählen kann.

Wenn man also die Heimspiele von Leicester City nimmt, hat die Mannschaft bisher gegen Aston Villa, West Ham, Arsenal und Crystal Palace 3, 2, 2 und 1 Tor geschossen. Diese Probe hat einen Durchschnitt von 2 Heimtoren pro Spiel. 

Lassen Sie uns nun anhand dieser Werte eine andere zufällige Probe erstellen. Diese Methode ist vergleichbar mit der Erstellung zufälliger Werte aus der Monte Carlo-Simulation. Zusätzliche Probensätze könnten daher sein:

  •       Probe 1: 2,2,2,1
  •       Probe 2: 1,1,3,2
  •       Probe 3: 3,3,2,2
  •       Probe 4: 1,2,1,1

 Beachten Sie, dass zwei Tore die doppelte Wahrscheinlichkeit haben, gezogen zu werden, als ein Tor oder drei Tore, und dass wir in jedem Fall einen anderen Mittelwert haben können; er beträgt nicht immer zwei.

 In diesem Fall ist der Durchschnitt pro Probe 1,75; 1,75; 2,5 bzw. 1,25. Wir denken, dass der Durchschnitt 2 ist, doch unsere Werte zeigen, dass er zwischen 1,25 und 2,5 liegen kann.

Wir können dies noch erweitern, indem wir eine hohe Anzahl von unterschiedlichen Bootstrap-Beispielen berechnen und dann die Standardabweichung der Ergebnisse betrachten.

Methode 2: Probieren wir etwas Verrücktes

Für die Spiele von Leicester hätten wir also ein erwartetes Ergebnis erzeugt. Dieses kann genauso erzeugt werden wie die Poisson-Methode, aber anhand der Daten aus der vorherigen Saison.

 Nehmen wir zum Beispiel das Spiel gegen Aston Villa.   Die durchschnittliche Anzahl von Toren, die im Heimspiel erzielt wurden, lag in der Saison 2014/15 in der Premier League bei 1,474. Leicester hat in 19 Heimspielen 28 Tore geschossen, während Aston Villa in 19 Auswärtsspielen nur 32 Tore kassiert hat.

Dies führt dazu, dass die Angriffsstärke von Leicester 1 ist, was bedeutet, dass das Team wie eine typische Heimmannschaft spielt. Aston Villa hat demgegenüber im Durchschnitt 1,684 Gegentore hinnehmen müssen.

Wenn wir diesen Wert durch 1,474 teilen, ist das Ergebnis 114,29%, was bedeutet, dass Aston Villa 14% bei Auswärtsspielen mehr Tore kassiert hat als üblich. Daher wäre zu erwarten, dass Leicester zu Hause im Durchschnitt 1*1,1429*1,474 = 1,684 Tore gegen Aston Villa schießt. 

Wiederholt man dieses Verfahren für alle Spiele, ergibt dies die erwartete Anzahl von Toren, die pro Spiel geschossen wird, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. Hier sehen wir, dass Leicester überdurchschnittlich gespielt hat, indem das Team mehr Tore schoss als erwartet, mit Ausnahme des Spiels gegen Crystal Palace.

Diese Ergebnisse werden in der Zeile „Differenz“ dargestellt, die technisch als „Rest“ bezeichnet wird.

Team Aston Villa West Ham Arsenal Crystal Palace
Erwartete Tore 1.684 1.526 1.158 1.263
Tatsächlich erzielte Tore 3 2 2 1
Differenz 1.316 0.474 -0.842 -0.263

Ähnlich wie bei Methode 1 haben wir nun eine Probe, bei der einige der Restwerte ersetzt wurden. Somit sind einige mögliche ausgewählte Restwerte:

  •        Probe 1: 1,316, 1,316, 0,474, 0,474
  •        Probe 2: 0,474, -0,263, -0,263, 0,474

Wir addieren diese Probenrestwerte nun zu den erwarteten Toren, um weitere Proben für Heimtorergebnisse zu erhalten:

  •        Probe 1: 3,000, 2,842, 1,632, 1,737
  •        Probe 2: 2,158, 1,263, 0,895, 1,737

Jede Probe hat ihren eigenen Durchschnitt, und wir können diesen nutzen, um die durchschnittliche Anzahl von Toren, die die Heimmannschaft erzielt, für verschiedene Parameter zu berechnen.

Schlussfolgerung

Dies ist keine exakte Überschlagsrechnung, aber man braucht dafür keine umfassenden Programmierkenntnisse. Nehmen Sie sich Ihre Tabelle und testen Sie die Bandbreite der möglichen Parameter. Beachten Sie jedoch, dass Sie auch die Restwerte hinsichtlich der erwarteten Anzahl von Toren, die das Auswärtsteam erzielt, analysieren müssen, wenn Sie die zweite oben beschriebene Methode anwenden. 

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